Введение
Характеризующее свойство математических конструкций
В математике, в особенности в теории категорий, универсальное свойство — это свойство, которое однозначно определяет с точностью до изоморфизма результат определенных построений. Таким образом, универсальные свойства могут быть использованы для определения некоторых объектов независимо от выбранного метода их построения. Например, определения целых чисел из натуральных чисел, рациональных чисел из целых чисел, действительных чисел из рациональных чисел и кольца многочленов из поля коэффициентов могут быть даны в терминах универсальных свойств. В частности, концепция универсального свойства позволяет просто доказать эквивалентность всех конструкций действительных чисел: достаточно показать, что они удовлетворяют одному и тому же универсальному свойству. Технически, универсальное свойство определяется в терминах категорий и функторов посредством универсального морфизма (см. ниже). Универсальные морфизмы также можно рассматривать более абстрактно как начальные или конечные объекты в категории запятой (см. ниже). Универсальные свойства встречаются повсеместно в математике, и использование этой концепции позволяет применять общие свойства универсальных свойств для упрощенного доказательства некоторых утверждений, которые в противном случае потребовали бы утомительных проверок. Например, для коммутативного кольца R поле дробей факторкольца R по простому идеалу p можно отождествить с полем вычетов локализации R в p; то есть (все эти построения могут быть определены универсальными свойствами). Другие объекты, которые могут быть определены универсальными свойствами, включают: все свободные объекты, прямые произведения и прямые суммы, свободные группы, свободные решетки, группу Гротендика, завершение метрического пространства, завершение кольца, завершение Дедекинда — Макнейла, топологии произведений, компактификацию Стоуна — Чеха, тензорные произведения, обратный предел и прямой предел, ядра и коядра, факторгруппы, факторные векторные пространства и другие факторпространства.
Мотивация
Прежде чем дать формальное определение универсальных свойств, мы приведем некоторую мотивацию для их изучения. Конкретные детали конкретной конструкции могут быть громоздкими, но если конструкция удовлетворяет универсальному свойству, все эти детали можно отбросить: вся необходимая информация о конструкции уже содержится в универсальном свойстве. Доказательства часто становятся короче и элегантнее, если использовать универсальное свойство, а не углубляться в детали реализации. Например, тензорная алгебра векторного пространства несколько сложна в построении, но гораздо проще анализируется с помощью её универсального свойства. Универсальные свойства определяют объекты с точностью до единственного изоморфизма. Поэтому один из способов доказать изоморфность двух объектов — показать, что они удовлетворяют одному и тому же универсальному свойству. Универсальные конструкции по своей природе функториальны: если можно выполнить конструкцию для каждого объекта в категории C, то получается функтор на C. Более того, этот функтор является правым или левым сопряженным к функтору U, используемому в определении универсального свойства. Универсальные свойства встречаются повсеместно в математике. Понимая их абстрактные свойства, можно получить информацию обо всех этих конструкциях и избежать повторного проведения одного и того же анализа для каждого отдельного случая.
Примеры
Ниже приведено несколько примеров для иллюстрации общей концепции. Читатель может привести множество других примеров, обратившись к статьям, упомянутым во введении.
Пределы и колимиты
Категорические произведения — это особый вид предела в теории категорий. Можно обобщить вышеуказанный пример на произвольные пределы и колимиты. Пусть и — категории с малой индексной категорией, а — соответствующая категория функторов. Диагональный функтор
is the functor that maps each object in to the constant functor (i. e. for each in and for each in ) and each morphism in to the natural transformation in defined as, for every object of , the component
at In other words, the natural transformation is the one defined by having constant component for every object of
Given a functor (thought of as an object in ), the limit of , if it exists, is nothing but a universal morphism from to Dually, the colimit of is a universal morphism from to .
— это функтор, который отображает каждый объект из в постоянный функтор (то есть для каждого из и для каждого из ) и каждый морфизм из в естественное преобразование в , определяемое для каждого объекта из компонентой
is the functor that maps each object in to the constant functor (i. e. for each in and for each in ) and each morphism in to the natural transformation in defined as, for every object of , the component
at In other words, the natural transformation is the one defined by having constant component for every object of
Given a functor (thought of as an object in ), the limit of , if it exists, is nothing but a universal morphism from to Dually, the colimit of is a universal morphism from to .
Иными словами, естественное преобразование определяется тем, что имеет постоянную компоненту для каждого объекта из .
При заданном функторе (рассматриваемом как объект в ), предел , если он существует, является универсальным морфизмом из в . Двойственно, колимит — это универсальный морфизм из в .
is the functor that maps each object in to the constant functor (i. e. for each in and for each in ) and each morphism in to the natural transformation in defined as, for every object of , the component
at In other words, the natural transformation is the one defined by having constant component for every object of
Given a functor (thought of as an object in ), the limit of , if it exists, is nothing but a universal morphism from to Dually, the colimit of is a universal morphism from to .
История
Универсальные свойства различных топологических конструкций были представлены Пьером Самуэлем в 1948 году. Позднее они получили широкое применение в работах Бурбаки. Тесно связанное понятие адъюнктных функторов было независимо введено Даниэлем Каном в 1958 году.