Кіріспе
Санауға келмейтін шексіз жиын. Математикада санауға келмейтін жиын – бұл, ресми емес тұрғыдан алғанда, санауға келмейтін элементтер саны шексіз жиын. Жиынның санауға келмеуі оның кардиналдық санымен тығыз байланысты: жиынның кардиналдық саны алеф-нөлден, яғни натурал сандардың кардиналдық санынан үлкен болса, ол санауға келмейтін болып есептеледі.
In mathematics, an uncountable set, informally, is an infinite set that contains too many elements to be countable. The uncountability of a set is closely related to its cardinal number: a set is uncountable if its cardinal number is larger than aleph null, the cardinality of the natural numbers.
Қасиеттері
Есепке алынбаушылықты сипаттаудың көптеген теңдес жолдары бар. X жиыны есепке алынбас болса, да, және тек қана келесі шарттардың бірі орындалса: X-тен натурал сандар жиынына инъекциялық функция (соның салдарынан биекция) жоқ. X бос емес және X элементтерінің кез келген ω тізбегі үшін, X жиынында сол тізбекке кірмейтін кем дегенде бір элемент болады. Яғни, X бос емес және натурал сандардан X-ке сюръективті функция жоқ. X жиынының кардиналдығы шекті емес және (алеф нөлге) тең емес. X жиынының кардиналдығы қатаң түрде үлкен. Осы сипаттамалардың алғашқы үшеуі Zermelo-Fraenkel жиындар теориясында таңдау аксиомасын қолданбай дәлелдене алады, бірақ үшінші және төртінші шарттардың теңдігін дәлелдеу үшін қосымша таңдау принциптері қажет.
There is no injective function (hence no bijection) from X to the set of natural numbers. X is nonempty and for every ω sequence of elements of X, there exists at least one element of X not included in it. That is, X is nonempty and there is no surjective function from the natural numbers to X. The cardinality of X is neither finite nor equal to (aleph null). The set X has cardinality strictly greater than
The first three of these characterizations can be proven equivalent in Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice, but the equivalence of the third and fourth cannot be proved without additional choice principles.
Қасиеттері
Егер X санауға келмейтін жиын Y жиынының ішкі жиыны болса, онда Y санауға келмейтін жиын болады.
Мысалдар
Санауға келмейтін жиынның ең танымал мысалы — барлық нақты сандардың R жиыны; Кантордың диагональдық аргументі осы жиынның санауға келмейтінін көрсетеді. Диагонализация дәлелдеу техникасы басқа да бірнеше жиынтықтардың санаусыз екенін көрсету үшін де қолданылуы мүмкін, мысалы, барлық шексіз табиғи сандар тізбектерінің жиынтығы және табиғи сандар жиынтығының барлық кіші жиынтықтарының жиынтығы. R-дің кардиналдығы жиі континуумның кардиналдығы деп аталады және , немесе , немесе (бет бір) арқылы белгіленеді. Кантор жиыны — R-дің санауға келмейтін қосалқы жиыны. Кантор жиыны фрактал болып табылады және Хаусдорф өлшемі нөлден үлкен, бірақ бірден кіші (R өлшемі бір). Бұл келесі фактіге мысал: Хаусдорф өлшемі нөлден үлкен кез келген R-дің қосалқы жиыны санауға келмейтін болуы керек. Санауға келмейтін жиынның тағы бір мысалы — R-ден R-ге дейінгі барлық функциялардың жиынтығы. Бұл жиын R-ден тіпті "көбірек санауға келмейтін" болып табылады, себебі осы жиынның кардиналдығы (бет екі) болады, бұл -дан үлкен. Санауға келмейтін жиынның абстрактілі мысалы — барлық санайтын реттік сандардың жиынтығы, Ω немесе ω1 арқылы белгіленеді. Ω-ның кардиналдығы (алеф бір) деп белгіленеді. Таңдау аксиомасын қолдана отырып, ең кіші санаусыз кардиналдық сан екенін көрсетуге болады. Осылайша, нақты сандардың кардиналдығы , немесе оған тең, немесе одан үлкен. Георг Кантор бірінші болып осы сұрақты қойды, ал 1900 жылы Дэвид Гилберт осыны өзінің 23 проблемасының біріншісі ретінде қойды. -ның теңдігі қазір континуум гипотезасы деп аталады және жинақ теориясы үшін (таңдау аксиомасын қоса алғанда) Зермело-Франкель аксиомаларынан тәуелсіз екені белгілі.
A more abstract example of an uncountable set is the set of all countable ordinal numbers, denoted by Ω or ω1. The cardinality of Ω is denoted (aleph one). It can be shown, using the axiom of choice, that is the smallest uncountable cardinal number. Thus either , the cardinality of the reals, is equal to or it is strictly larger. Georg Cantor was the first to propose the question of whether is equal to In 1900, David Hilbert posed this question as the first of his 23 problems. The statement that is now called the continuum hypothesis, and is known to be independent of the Zermelo–Fraenkel axioms for set theory (including the axiom of choice).