Біртектес кеңістіктер және біртекті қасиеттер

Кіріспе

Топологиялық кеңістік бірыңғай қасиеттер ұғымымен

Топология математикасының саласында бірыңғай кеңістік – толықтық, бірыңғай үздіксіздік және бірыңғай жинақтылық сияқты бірыңғай қасиеттерді анықтау үшін қолданылатын қосымша құрылымы бар топологиялық кеңістік. Бірыңғай кеңістіктер метрикалық кеңістіктер мен топологиялық топтарды жалпылайды, бірақ бұл ұғым талдаудағы көптеген дәлелдер үшін қажетті ең әлсіз аксиомаларды қалыптастыруға бағытталған. Топологиялық құрылымның қалыпты қасиеттеріне қоса, бірыңғай кеңістікте нүктелердің салыстырмалы жақындығы және жақындығы туралы ұғымдар формалданады. Яғни, "x, y-дан b-ға қарағанда a-ға жақын" сияқты идеялар бірыңғай кеңістіктерде мағыналы. Керісінше, жалпы топологиялық кеңістікте A және B жиындары берілгенде, x нүктесінің A-ға (яғни A-ның жабылуында) кездейсоқ жақын екенін айтудың мәні бар, немесе A, B-ға қарағанда x-тің кіші маңызы болуы мүмкін, бірақ нүктелердің жақындығы және салыстырмалы жақындық ұғымдары тек топологиялық құрылыммен толық сипатталмайды.

Анықтама

Біркелкі кеңістікке үш теңдес анықтама бар. Олардың бәрі біркелкі құрылыммен жабдықталған кеңістіктен тұрады.

Псевдометрияның анықтамасы

Бірыңғай кеңістіктерді псевдометрия жүйесін пайдалана отырып, баламалы және эквивалентті түрде анықтауға болады, бұл функционалдық талдауда ерекше пайдалы (семинормалармен берілген псевдометриялармен). Нақтырақ айтқанда, болсын – жиынтақтағы псевдометрия. -ның кері бейнелері үшін бірліктің негізгі жүйесін құрайтынын көрсетуге болады. -мен туындаған бірлік – бұл жалғыз псевдометрия арқылы анықталған бірлік. Кейбір авторлар псевдометриялық өлшемдермен анықталған топологияға ие кеңістіктерді өлшемдік кеңістіктер деп атайды. -тағы псевдометриялар отбасы үшін, отбасымен анықталған біркелкі құрылым – жеке псевдометриялар анықтаған біркелкі құрылымдардың жоғарғы шегі болады. Бұл бірліктің негізгі жүйесі жеке псевдометриялар анықтаған бірліктердің шекті қиылыстары жиынтығымен беріледі. Егер псевдометриялар отбасы шекті болса, сол біркелкі құрылымды жалғыз псевдометриямен, атап айтқанда отбасының жоғарғы қабығымен анықтауға болатынын көруге болады. Күрделірек жағдайда, entourages-тің саналатын негізгі жүйесін қабылдайтын (соның ішінде, псевдометрияның саналатын отбасымен анықталған бірлік) біркелкі құрылымды бір псевдометриямен анықтауға болатынын көрсетуге болады. Салдарынан, кез келген біркелкі құрылымды жоғарыда көрсетілгендей (мүмкін санаусыз) псевдометриялар отбасымен анықтауға болады (Бурбаки: Жалпы топология IX тарау §1 No. 4 қараңыз).

Бірыңғай кеңістіктердің топологиясы

Кез келген біркелкі кеңістік, бір жиынтық ашық деп саналып, әрбір үшін осындай жанұя табылатын жағдайда, топологиялық кеңістікке айналады. Бұл топологиядағы нүктенің көршілік сүзгісі болып табылады. Бұл, "жартылай өлшемді" жанұяның болуын рекурсивті түрде пайдаланып дәлелдеуге болады. Жалпы топологиялық кеңістікпен салыстырғанда, біркелкі құрылымның болуы көршіліктердің өлшемдерін салыстыруға мүмкіндік береді: және "бірдей өлшемде" деп есептеледі. Біркелкі құрылыммен анықталған топология біркелкілік арқылы туындаған деп айтылады. Топологиялық кеңістіктегі біркелкі құрылым, егер біркелкі құрылыммен анықталған топология бастапқы топологиямен сәйкес келсе, топологиямен үйлесімді болады. Жалпы алғанда, берілген топологиямен үйлесімді болатын бірнеше түрлі біркелкі құрылымдар болуы мүмкін.

Мысалдар

Әрбір метрикалық кеңістікті біркелкі кеңістік ретінде қарастыруға болады. Шындығында, метрика псевдометрияның арнайы жағдайы болғандықтан, псевдометриялық анықтама біркелкі құрылымды қамтамасыз етеді. Бұл біркелкі құрылым метрикалық кеңістіктің әдеттегі топологиясын тудырады. Дегенмен, әртүрлі метрикалық кеңістіктерде бірдей біркелкі құрылым болуы мүмкін (тривиальды мысал – метриканың тұрақты еселігі). Бұл біркелкі құрылым метрикалық кеңістіктер үшін біркелкі үздіксіздік және толықтық туралы эквивалентті анықтамаларды да береді. Метрикаларды пайдалана отырып, сәйкес топологиялары бар ерекше біркелкі құрылымдардың қарапайым мысалын құруға болады. Мысалы, болсын – кеңістіктегі әдеттегі метрика, ал болсын . Осы екі метрика да кеңістіктегі әдеттегі топологияны тудырады, бірақ біркелкі құрылымдары әртүрлі, себебі біреуі біркелкі құрылым үшін антураж болып табылады, ал екіншісі жоқ. Бұл мысал, әдеттегі біркелкілікті алып, оны үздіксіз, бірақ біркелкі үздіксіз емес функцияның әсерімен бұрмалау ретінде қарастыруға болады. Кез келген топологиялық топ (әсіресе, кез келген топологиялық векторлық кеңістік) біркелкі кеңістікке айналады, егер біз бір жиынды антураж деп анықтасақ, оның ішінде біреулік элементтің кез келген аймағының жиынтығы бар болса ғана. Бұл біркелкі құрылым оң біркелкілік деп аталады, өйткені кез келген элементті оңнан көбейту осы біркелкі құрылымға қатысты біркелкі үздіксіз. Сол сияқты, сол жақ біркелкілікті де анықтауға болады, олар бір-бірімен сәйкес келмеуі мүмкін, бірақ екеуі де берілген топологияны тудырады. Кез келген топологиялық топ және оның ішкі тобы үшін сол жақ косеттер жиыны біркелкі кеңістік болып табылады, оның біркелкілігі былай анықталады: біреулік элементтің аймақтарынан жүретін жиындар осы біркелкілік үшін антураждардың негізгі жүйесін құрайды. Осыған сәйкес туындаған топология табиғи бейнелеумен анықталған бөлік топологиясына тең. Тривиальды топология бүкіл картезиан көбейтімінің жалғыз антураж болатын біркелкі кеңістікке жатады.

Every metric space can be considered as a uniform space. Indeed, since a metric is a fortiori a pseudometric, the pseudometric definition furnishes with a uniform structure. A fundamental system of entourages of this uniformity is provided by the setsThis uniform structure on generates the usual metric space topology on However, different metric spaces can have the same uniform structure (trivial example is provided by a constant multiple of a metric). This uniform structure produces also equivalent definitions of uniform continuity and completeness for metric spaces. Using metrics, a simple example of distinct uniform structures with coinciding topologies can be constructed. For instance, let be the usual metric on and let Then both metrics induce the usual topology on yet the uniform structures are distinct, since is an entourage in the uniform structure for but not for Informally, this example can be seen as taking the usual uniformity and distorting it through the action of a continuous yet non uniformly continuous function. Every topological group (in particular, every topological vector space) becomes a uniform space if we define a subset to be an entourage if and only if it contains the set for some neighborhood of the identity element of This uniform structure on is called the right uniformity on because for every the right multiplication is uniformly continuous with respect to this uniform structure. One may also define a left uniformity on the two need not coincide, but they both generate the given topology on
For every topological group and its subgroup the set of left cosets is a uniform space with respect to the uniformity defined as follows. The sets where runs over neighborhoods of the identity in form a fundamental system of entourages for the uniformity The corresponding induced topology on is equal to the quotient topology defined by the natural map
The trivial topology belongs to a uniform space in which the whole cartesian product is the only entourage.

Тарих

Андре Вейль 1937 жылы біркелкі құрылымның алғашқы нақты анықтамасын бергенге дейін, толықтығы сияқты біркелкі ұғымдар метрикалық кеңістіктерді қолдану арқылы талқыланды. Николас Бурбаки "Topologie Générale" кітабында жан-жақтылықтар арқылы біркелкі құрылымның анықтамасын берді, ал Джон Туки біркелкі жабудың анықтамасын берді. Вейль сондай-ақ псевдометриялар жинағы тұрғысынан біркелкі кеңістіктерді мінеледі.