Введение

Топологическое пространство с понятием равномерных свойств.

В математической области топологии равномерное пространство — это топологическое пространство с дополнительной структурой, используемой для определения равномерных свойств, таких как полнота, равномерная непрерывность и равномерная сходимость. Равномерные пространства обобщают метрические пространства и топологические группы, но эта концепция разработана для формулирования наиболее слабых аксиом, необходимых для большинства доказательств в анализе. Помимо обычных свойств топологической структуры, в равномерном пространстве формализуются понятия близости точек и относительной близости. Иными словами, утверждения вроде «x ближе к a, чем y к b» имеют смысл в равномерных пространствах. Для сравнения, в общем топологическом пространстве, для заданных множеств A и B, осмысленно говорить, что точка x произвольно близка к A (то есть принадлежит замыканию A), или, возможно, что A является меньшей окрестностью точки x, чем B, но понятия близости точек и относительной близости недостаточно хорошо описываются только топологической структурой.

Определение

Существует три эквивалентных определения равномерного пространства. Все они состоят из пространства, снабженного равномерной структурой.

Определение псевдометрии

Однородные пространства могут быть определены альтернативно и эквивалентно с использованием систем псевдометрик, подход, который особенно полезен в функциональном анализе (где псевдометрики задаются полунормами). Более точно, пусть – псевдометрика на множестве . Образы для можно показать, что они образуют фундаментальную систему окрестностей однородности. Однородность, порожденная псевдометрикой , – это однородность, определяемая этой единственной псевдометрикой. Некоторые авторы называют пространства, топология которых определяется в терминах псевдометрик, измеримыми пространствами. Для семейства псевдометрик на однородная структура, определяемая этим семейством, является наименьшей верхней гранью однородных структур, определенных отдельными псевдометриками . Фундаментальная система окрестностей этой однородности задается множеством конечных пересечений окрестностей однородностей, определенных отдельными псевдометриками. Если семейство псевдометрик конечно, то можно увидеть, что та же однородная структура определяется одной псевдометрикой, а именно верхней огибающей этого семейства. Менее тривиально можно показать, что однородная структура, допускающая счетную фундаментальную систему окрестностей (а следовательно, в частности, однородность, определяемая счетным семейством псевдометрик), может быть определена одной псевдометрикой. Следствием этого является то, что любая однородная структура может быть определена вышеуказанным образом счетным (возможно, несчетным) семейством псевдометрик (см. Бурбаки: Общая топология, глава IX, §1, № 4).

Топология однородных пространств

Каждое однородное пространство становится топологическим пространством, определяя подмножество открытым, если и только если для каждого ε существует антураж V такой, что V ⊆ U. В этой топологии окрестностный фильтр точки x равен {V ∈ U : x ∈ V}. Это можно доказать рекурсивным использованием существования антуража "половинного размера". По сравнению с общим топологическим пространством, наличие однородной структуры позволяет сравнивать размеры окрестностей: U и V считаются "одинакового размера". Топология, определенная однородной структурой, называется индуцированной единообразием. Однородная структура на топологическом пространстве совместима с топологией, если топология, определенная однородной структурой, совпадает с исходной топологией. В общем случае несколько различных однородных структур могут быть совместимы с заданной топологией на пространстве.

Примеры

Каждое метрическое пространство можно рассматривать как однородное пространство. Действительно, поскольку метрика является, по сути, псевдометрикой, псевдометрическое определение наделяет пространство однородной структурой. Основная система антуражей этой однородности задается множествами. Эта однородная структура генерирует обычную топологию метрического пространства. Однако различные метрические пространства могут иметь одну и ту же однородную структуру (тривиальный пример – постоянное кратное метрики). Эта однородная структура также предоставляет эквивалентные определения равномерной непрерывности и полноты для метрических пространств. Используя метрики, можно построить простой пример различных однородных структур с совпадающими топологиями. Например, пусть – обычная метрика на , а тогда обе метрики индуцируют обычную топологию на , но однородные структуры различны, поскольку является антуражем в однородной структуре для , но не для . Неформально, этот пример можно рассматривать как взятие обычной однородности и ее искажение посредством действия непрерывной, но не равномерно непрерывной функции. Каждая топологическая группа (в частности, каждое топологическое векторное пространство) становится однородным пространством, если мы определяем подмножество как антураж тогда и только тогда, когда оно содержит множество для некоторой окрестности единичного элемента . Эта однородная структура называется правой однородностью на , поскольку для каждого правое умножение является равномерно непрерывным относительно этой однородной структуры. Можно также определить левую однородность на ; они не обязательно совпадают, но оба генерируют заданную топологию на . Для каждой топологической группы и ее подгруппы множество левых смежных классов является однородным пространством относительно однородности , определенной следующим образом. Множества , где пробегает окрестности единицы в , образуют фундаментальную систему антуражей для однородности . Соответствующая индуцированная топология на равна фактор-топологии, определенной естественным отображением . Тривиальная топология принадлежит к однородному пространству, в котором весь декартов квадрат является единственным антуражем.

История

До того, как Андре Вейль дал первое явное определение равномерной структуры в 1937 году, понятия, связанные с равномерностью, такие как полнота, обсуждались с использованием метрических пространств. Николас Бурбаки дал определение равномерной структуры в терминах окрестностей (антуражей) в книге Topologie Générale, а Джон Таки – определение через равномерное покрытие. Вейль также характеризовал равномерные пространства с помощью семейства псевдометрик.