Сызықтық алгебрадағы векторлық кеңістіктер құрылымы

Векторлық кеңістіктер: сызықтық алгебраның негізгі құрылымы. Скалярлар, векторлар, аксиомалар, физикадағы қолданысы. Математика, физика үшін маңызды!

16 мин оқу

100%

Дереккөз: Vector space — Wikipedia

Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.

Мазмұны

Кіріспе

Сызықтық алгебрадағы алгебралық құрылым. Математика мен физикада векторлық кеңістік (сонымен қатар сызықтық кеңістік деп аталады) – элементтері, көбінесе векторлар деп аталатын, жиынтық. Олардың элементтерін қосуға және скалярлар деп аталатын сандарға көбейтуге (өлшеуге) болады. Скалярлар көбінесе нақты сандар болады, бірақ кешенді сандар немесе, жалпы алғанда, кез келген өрістің элементтері де болуы мүмкін. Векторларды қосу және скалярлық көбейту операциялары вектор аксиомалары деп аталатын белгілі бір талаптарды қанағаттандыруы керек. Нақты векторлық кеңістік және кешенді векторлық кеңістік – скалярлардың әртүрлі түрлеріне негізделген векторлық кеңістіктердің түрлері: нақты координаттық кеңістік немесе кешенді координаттық кеңістік. Векторлық кеңістіктер Евклидтік векторларды жалпылайды, бұл физикалық шамаларды, мысалы күштер мен жылдамдықты, модельдеуге мүмкіндік береді, олардың тек шамасы ғана емес, бағыты да болады. Векторлық кеңістіктер ұғымы сызықтық алгебра үшін, матрицалар ұғымымен бірге, векторлық кеңістіктерде есептеулер жасауға мүмкіндік беретін негізгі ұғым болып табылады. Бұл сызықтық теңдеулер жүйесін манипуляциялау және зерттеудің ықшам және синтетикалық тәсілін ұсынады. Векторлық кеңістіктер олардың өлшемдерімен сипатталады, бұл кеңістіктегі тәуелсіз бағыттардың санын көрсетеді. Яғни, егер екі векторлық кеңістік берілген өріс үстінде жатса және бірдей өлшемге ие болса, онда векторлық кеңістік құрылымына ғана байланысты қасиеттері дәл бірдей болады (техникалық тұрғыдан алғанда, векторлық кеңістіктер изоморфты болады). Векторлық кеңістік шекті өлшемді болып есептеледі, егер оның өлшемі табиғи сан болса. Әйтпесе, ол шексіз өлшемді болады, ал оның өлшемі шексіз кардинал болады. Шекті өлшемді векторлық кеңістіктер геометрия және оған байланысты салаларда жиі кездеседі. Шексіз өлшемді векторлық кеңістіктер математиканың көптеген салаларында кездеседі. Мысалы, полиномдық сақиналар санаулы шексіз өлшемді векторлық кеңістіктер болып табылады, ал көптеген функциялық кеңістіктер өлшем ретінде континуумның кардиналдығына ие. Математикада қарастырылатын көптеген векторлық кеңістіктер басқа құрылымдармен де жабдықталады. Бұл алгебралардың жағдайына қатысты, оларға өріс кеңейтімдері, полиномдық сақиналар, ассоциативтік алгебралар және Ли алгебралары кіреді. Бұл сондай-ақ функциялық кеңістіктерді, ішкі көбейту кеңістіктерін, нормаланған кеңістіктерді, Гильберт кеңістіктерін және Банах кеңістіктерін қамтитын топологиялық векторлық кеңістіктерге де қатысты.

Algebraic structure in linear algebra

In mathematics and physics, a vector space (also called a linear space) is a set whose elements, often called vectors, may be added together and multiplied ("scaled") by numbers called scalars. Scalars are often real numbers, but can be complex numbers or, more generally, elements of any field. The operations of vector addition and scalar multiplication must satisfy certain requirements, called vector axioms. Real vector space and complex vector space are kinds of vector spaces based on different kinds of scalars: real coordinate space or complex coordinate space. Vector spaces generalize Euclidean vectors, which allow modeling of physical quantities, such as forces and velocity, that have not only a magnitude, but also a direction. The concept of vector spaces is fundamental for linear algebra, together with the concept of matrices, which allows computing in vector spaces. This provides a concise and synthetic way for manipulating and studying systems of linear equations. Vector spaces are characterized by their dimension, which, roughly speaking, specifies the number of independent directions in the space. This means that, for two vector spaces over a given field and with the same dimension, the properties that depend only on the vector space structure are exactly the same (technically the vector spaces are isomorphic). A vector space is finite dimensional if its dimension is a natural number. Otherwise, it is infinite dimensional, and its dimension is an infinite cardinal. Finite dimensional vector spaces occur naturally in geometry and related areas. Infinite dimensional vector spaces occur in many areas of mathematics. For example, polynomial rings are countably infinite dimensional vector spaces, and many function spaces have the cardinality of the continuum as a dimension. Many vector spaces that are considered in mathematics are also endowed with other structures. This is the case of algebras, which include field extensions, polynomial rings, associative algebras and Lie algebras. This is also the case of topological vector spaces, which include function spaces, inner product spaces, normed spaces, Hilbert spaces and Banach spaces.

Тарих

Векторлық кеңістіктер координаттарды жазықтықта немесе үш өлшемді кеңістікте енгізу арқылы аффиндік геометриядан туындайды. 1636 жылы француз математиктері Рене Декарт пен Пьер де Ферма екі айнымалы теңдеудің шешімдерін жазық қисықтағы нүктелермен байланыстыру арқылы аналитикалық геометрияның негізін қалады. Координаттарды қолданбай геометриялық шешімдерге қол жеткізу үшін Болцано 1804 жылы нүктелер, түзулер және жазықтықтар бойынша операциялар енгізді, бұл векторлардың алға куәгерлері болды. Ол барицентрлік координаттар ұғымын енгізді. Бірдей ұзындығы мен бағыты бар бағытталған түзу кесінділері үшін эквиваленттілік қатынасын енгізді, оны ол теңдестіру деп атады. Евклидтік вектор – бұл қатынастың эквиваленттілік класы. Векторлар Арган мен Гамильтонның комплекс сандарды ұсынуымен және соңғысының кватерниондарды құруымен қайта қарастырылды. Олар R2 және R4 элементтері болып табылады; оларды сызықтық комбинациялар арқылы қарастыру 1867 жылы Лагерге дейін жетеді, ол сондай-ақ сызықтық теңдеулер жүйесін анықтады. 1857 жылы Кейли матрицалық жазбаны енгізді, бұл сызықтық түрлендірулерді үйлестіруге және оңайлатуға мүмкіндік берді. Шамамен сол уақытта Грассман Мёбиус бастаған барицентрлік есептеуді зерттеді. Ол операциялармен жабдықталған абстрактілі объектілер жиынтығын қарастырды. Оның еңбегінде сызықтық тәуелсіздік және өлшем, сондай-ақ скалярлық көбейту ұғымдары кездеседі. Грассманның 1844 жылғы жұмысы векторлық кеңістіктердің шеңберінен асып түседі, өйткені оның көбейтуді қарастыруы бүгінгі күні алгебра деп аталатын нәрсеге әкелді. Итальяндық математик Пеано 1888 жылы векторлық кеңістіктер мен сызықтық түрлендірулердің қазіргі заманғы анықтамасын алғаш рет берді, бірақ оларды «сызықтық жүйелер» деп атады. Пеаноның аксиоматизациясы шексіз өлшемді векторлық кеңістіктерге мүмкіндік берді, бірақ Пеано бұл теорияны одан әрі дамытқан жоқ. 1897 жылы Сальваторе Пинчерле Пеаноның аксиомаларын қабылдады және шексіз өлшемді векторлық кеңістіктер теориясына алғашқы қадам жасады. Векторлық кеңістіктердің маңызды дамуы Анри Лебегтің функциялық кеңістіктерді құруымен байланысты. Бұл кейін 1920 жылдары Банах және Гильбертпен ресми түрде бекітілді. Сол кезде алгебра және функционалдық анализдің жаңа саласы өзара әрекеттесе бастады, әсіресе p-интегралданатын функциялар кеңістіктері және Гильберт кеңістіктері сияқты маңызды ұғымдармен.

Vector spaces stem from affine geometry, via the introduction of coordinates in the plane or three dimensional space. Around 1636, French mathematicians René Descartes and Pierre de Fermat founded analytic geometry by identifying solutions to an equation of two variables with points on a plane curve. To achieve geometric solutions without using coordinates, Bolzano introduced, in 1804, certain operations on points, lines, and planes, which are predecessors of vectors. introduced the notion of barycentric coordinates. introduced an equivalence relation on directed line segments that share the same length and direction which he called equipollence. A Euclidean vector is then an equivalence class of that relation. Vectors were reconsidered with the presentation of complex numbers by Argand and Hamilton and the inception of quaternions by the latter. They are elements in R2 and R4; treating them using linear combinations goes back to Laguerre in 1867, who also defined systems of linear equations. In 1857, Cayley introduced the matrix notation which allows for harmonization and simplification of linear maps. Around the same time, Grassmann studied the barycentric calculus initiated by Möbius. He envisaged sets of abstract objects endowed with operations. In his work, the concepts of linear independence and dimension, as well as scalar products are present. Grassmann's 1844 work exceeds the framework of vector spaces as well since his considering multiplication led him to what are today called algebras. Italian mathematician Peano was the first to give the modern definition of vector spaces and linear maps in 1888, although he called them "linear systems". Peano's axiomatization allowed for vector spaces with infinite dimension, but Peano did not develop that theory further. In 1897, Salvatore Pincherle adopted Peano's axioms and made initial inroads into the theory of infinite dimensional vector spaces. An important development of vector spaces is due to the construction of function spaces by Henri Lebesgue. This was later formalized by Banach and Hilbert, around 1920. At that time, algebra and the new field of functional analysis began to interact, notably with key concepts such as spaces of p integrable functions and Hilbert spaces.

Ұшақтағы жебелер

Векторлық кеңістіктің бірінші мысалы – бір тұрақты нүктеден басталатын, белгілі бір жазықтықтағы жебелер жиынтығы. Бұл физикада күштерді немесе жылдамдықтарды сипаттау үшін қолданылады. Егер екі "v" және "w" жебесі берілсе, осы екі жебемен құрылған параллелограмның бір диагоналі де сол бастапқы нүктеден шығады. Бұл жаңа жебе екі жебенің қосындысы деп аталады және "v" + "w" деп белгіленеді. Егер екі жебе бір түзудің бойында жатса, олардың қосындысы сол түзудегі, ұзындығы жебелердің ұзындықтарының қосындысына немесе айырымына тең жебе болады, бұл жебелердің бағыттары бірдей болған жағдайда ғана мүмкін. Жебелермен жасалатын тағы бір амал – масштабтау. Кез келген оң нақты сан "a" берілгенде, "v" жебесімен бір бағыттағы, бірақ ұзындығы "a" еселенген немесе қысқартылған жебе "v" мен "a" көбейтіндісі деп аталады. Ол "a'v" деп белгіленеді. Егер "a" теріс сан болса, "a'v" жебесі кері бағытқа қарай бағытталған болады. Мысалы, егер a = 1 немесе a = 2 болса, "a'w" векторының бағыты "w" векторының бағытына тең, бірақ ұзындығы "w" векторынан екі есе артық (екінші суретте). Сондай-ақ, 2'w' = 'w' + 'w' теңдігі орындалады. Сонымен қатар, 1⋅'v' = (−1)⋅'v' = −'v' векторы "v" векторына қарама-қарсы бағытталған, бірақ ұзындығы бірдей (екінші суреттегі көк жебе төмен қарай бағытталған).

Нөмірлердің реттелген жұптары

Векторлық кеңістіктің екінші маңызды мысалы – нақты сандардың x және y жұптары болып табылады. x және y компоненттерінің реті маңызды, сондықтан мұндай жұптар реттелген жұптар деп аталады. Мұндай жұп (x, y) түрінде жазылады. Мұндай екі жұптың қосындысы және жұпты санмен көбейту мынадай түрде анықталады:

Жоғарыда келтірілген бірінші мысал, егер бағытталған кесінді оның соңғы нүктесінің декарттық координаттарының жұбы арқылы көрсетілсе, осы мысалға келтіріледі.

Координаттық кеңістік

F өрісі бойынша векторлық кеңістіктің ең қарапайым мысалы – F өрісінің өзі, онда қосынды векторлық қосынды, ал көбейту скалярлық көбейту ретінде қарастырылады. Көбірек жалпылай келгенде, F өрісінің элементтерінен алынған кез келген n-тік (n ұзындығындағы тізбек) Fⁿ деп белгіленетін және координаттық кеңістік деп аталатын векторлық кеңістік құрайды. Егер n=1 болса, онда бұл жоғарыда аталған ең қарапайым мысалға сай келеді, онда F өрісі өзіне қатысты да векторлық кеңістік ретінде қарастырылады. Егер F – нақты сандар өрісі (R) және n=2 болса (яғни R²), онда бұл жағдай алдыңғы мысалмен толық сәйкес келеді.

Күрделі сандар және басқа да өрістер кеңейтулері

Күрделі сандар жиынтығы 'C', нақты сандар x және y үшін 1=x + iy түрінде жазылатын сандар, i – жолғаныс бірлігі болатын, нақты сандарға қатысты әдеттегі қосу және көбейту арқылы векторлық кеңістік құрайды: 1=(x + iy) + (a + ib) = (x + a) + i(y + b) және 1=c ⋅ (x + iy) = (c ⋅ x) + i(c ⋅ y), мұнда x, y, a, b және c – нақты сандар. Векторлық кеңістіктің әртүрлі аксиомалары күрделі сандар арифметикасы үшін осы ережелердің орындалуынан туындайды. Күрделі сандар мысалы, жоғарыда аталған нақты сандардың реттелген жұптарының векторлық кеңістігімен бірдей (яғни, изоморфты): егер күрделі сан x + i y күрделі жазықтықтағы реттелген жұпты (x, y) көрсететін болса, онда қосу және скалярлық көбейту ережелері бұрынғы мысалдағылармен дәл сәйкес келетінін көреміз. Әдетте, өріс кеңейтулері векторлық кеңістіктердің тағы бір класын ұсынады, әсіресе алгебра мен алгебралық сандар теориясында: кішірек өріс E-ні қамтитын өріс F, F-тің берілген көбейту және қосу операциялары арқылы E векторлық кеңістігі болып табылады. Мысалы, күрделі сандар 'R' үстінен векторлық кеңістік, ал өріс кеңейтуі 'Q' үстінен векторлық кеңістік болып табылады.

Функционалдық кеңістіктер

Кез келген тұрақты Ω жиынынан F өрісіне дейінгі функциялар да векторлық кеңістіктерді құрайды, қосу және скалярлық көбейтуді нүкте бойынша орындау арқылы. Яғни, екі функцияның – f және g – қосындысы былай беріледі:

және көбейту де осылай. Мұндай функциялық кеңістіктер көптеген геометриялық жағдайларда кездеседі, егер Ω нақты түзу, аралық немесе 'R' жиынының басқа да ішкі жиындары болса. Топология және талдау салаларындағы сабақтастық, интегралданушылық немесе дифференциалданушылық сияқты көптеген ұғымдар сызықтық қағидаларға қатысты жақсы қасиеттерге ие: мұндай қасиеттері бар функциялардың қосындылары мен скалярлық еселіктері де сол қасиеттерді сақтайды. Сондықтан, мұндай функциялар жиыны векторлық кеңістік болып табылады, оның зерттелуі функционалдық талдау саласына жатады.

Сызықтық теңдеулер

Гомогенді сызықтық теңдеулер жүйелері векторлық кеңістіктермен тығыз байланысты. Мысалы,

теңдеулердің шешімдері кез келген және мәндерімен беріледі. Олар векторлық кеңістік құрайды: мұндай үштіктердің қосындылары мен скалярлық көбейтілімдері үш айнымалының сол қатынастарын сақтайды; демек, олар да шешімдер болып табылады. Матрицаларды бірнеше сызықтық теңдеулерді, жоғарыда көрсетілгендей, бір векторлық теңдеуге біріктіру үшін пайдалануға болады, атап айтқанда:

мұнда – берілген теңдеулердің коэффициенттерін қамтитын матрица, – вектор, – матрицалық көбейтіндіні білдіреді, ал – нөлдік вектор. Сол сияқты, біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулердің шешімдері де векторлық кеңістіктер құрайды. Мысалы,

шешімі болады, мұнда және – кез келген тұрақтылар, ал – табиғи экспоненциалдық функция.

Өздік мәндер мен өздік векторлар

Эндоморфизмдер, f: V → V сызықтық бейнелеулер, ерекше маңызды, себебі бұл жағдайда "v" векторларын f астындағы бейнелерімен, f('v') салыстыруға болады. λ скаляр болатын 1=λ'v' = f('v') теңдеуін қанағаттандыратын кез келген нөлдік емес вектор 'v', f-тің өзіндік векторы деп аталады. Басқаша айтқанда, 'v' – f − λ · Id айырмасының ядросының (мұндағы Id – V → V сәйкестік бейнелеуі) елемі. Егер V шекті өлшемді болса, мұны анықтағыштар арқылы қайта формулиреуге болады: f-тің өзіндік мәні λ болуы, анықтағыштың анықтамасын жазу арқылы сол жақтағы өрнекті λ-ға қатысты полиномдық функция ретінде қарастыруға болады, бұл функция f-тің сипаттамалық полиномы деп аталады. Егер F өрісі осы полиномның түбірін қамтуға жеткілікті болса (бұл F алгебралық жабық болғанда автоматты түрде орындалады, мысалы 1 = F = 'C'), кез келген сызықтық бейнелеуде кем дегенде бір өзіндік вектор болады. V векторлық кеңістігінде өзіндік векторлардан тұратын негіз болуы мүмкін немесе болмауы мүмкін, мұндай негіз өзіндік негіз деп аталады. Бұл құбылыс бейнелеудің Иордания канондық түрімен анықталады. f-тің белгілі бір өзіндік мәніне сәйкес келетін барлық өзіндік векторлар жиыны, сол өзіндік мәнге (және f-ке) сәйкес келетін өзіндік кеңістік деп аталатын векторлық кеңістікті құрайды.

Негізгі конструкциялар

Жоғарыдағы нақты мысалдардан өзге, берілген векторлық кеңістіктермен байланысты бірнеше стандартты сызықтық алгебралық құрылымдар бар.

Тікелей өнім және тікелей сома

Векторлық кеңістіктердің тікелей көбейтіндісі және векторлық кеңістіктердің тікелей қосындысы – бұл индекстелген векторлық кеңістіктер отбасын жаңа векторлық кеңістікке біріктірудің екі тәсілі. Векторлық кеңістіктер отбасының тікелей көбейтіндісі – бұл барлық түбірлер жиынтығынан тұрады, олар белгілі бір индекс жиынындағы әрбір индекс үшін элементті көрсетеді. Қосу және скалярлық көбейту компонент бойынша орындалады. Бұл құралымның бір түрі – тікелей қосынды (сонымен қатар копродукт деп аталады және символымен белгіленеді), онда тек шектеулі көптеген нөлдік емес векторлары бар түбірлерге ғана рұқсат етіледі. Егер индекс жиыны шекті болса, екі құралым сәйкес келеді, бірақ жалпы жағдайда олар өзгеше болады.

Қосымша құрылымды векторлық кеңістіктер

Сызықтық алгебра тұрғысынан алғанда, векторлық кеңістіктер толыққанды түсінілген, себебі берілген өріс үстіндегі кез келген векторлық кеңістік, изоморфизмге дейін, тек қана өлшемімен сипатталады. Дегенмен, векторлық кеңістіктер өздерінен-өздері функциялар тізбегінің басқа функцияға жуықтасатыны туралы – талдау үшін өте маңызды – сұраққа жауап беруге қолайлы жағдай жасамайды. Сондай-ақ, сызықтық алгебра шексіз қатарлармен жұмыс істеуге ыңғайлы емес, өйткені қосу амалы тек шекті сандағы мүшелерді қосуға мүмкіндік береді. Сондықтан, функционалдық талдаудың қажеттіліктері қосымша құрылымдарды қарастыруды талап етеді. Векторлық кеңістікке ішінара рет орнатылуы мүмкін, осылайша кейбір векторларды салыстыруға болады. Мысалы, өлшемді нақты кеңістіктің векторларын компоненттері бойынша салыстыру арқылы реттеуге болады. Реттелген векторлық кеңістіктер, мысалы Риес кеңістіктері, Лебег интегралдау үшін маңызды, ол функцияны екі оң функцияның айырымы түрінде көрсету мүмкіндігіне негізделген, мұнда – функцияның оң бөлігі және – функцияның теріс бөлігі.

Топологиялық векторлық кеңістіктер

Конвергенция мәселелері үйлесімді топологияны қолдайтын векторлық кеңістіктерді қарастыру арқылы шешіледі, бұл құрылым элементтердің бір-біріне жақындығы туралы айтуға мүмкіндік береді. Мұндағы «үйлесімді» дегеніміз – қосу және скалярлық көбейту үздіксіз бейнелеулер болуы керек. Дерексіз айтқанда, егер және , ал in шектелген мөлшерде өзгерсе, онда және де солай өзгереді. Скалярдың өзгеру мөлшерін нақтылау үшін, осы контексте өріс те топологияны қолдануы керек; ең көп қолданылатыны – нақты немесе кешенді сандар. Мұндай топологиялық векторлық кеңістіктерде векторлар тізбегін қарастыруға болады. Шеңбердегі шексіз қосынды – бұл тізбектің элементтерінің сәйкес келетін шекті бөліктерінің шегін білдіреді. Мысалы, бұл (нақты немесе кешенді) функциялардың кейбір функциялық кеңістікке жататын болуы мүмкін, онда қатар функциялар тізбегі болып табылады. Қатардың конвергенция тәсілі функциялық кеңістікке қолданылған топологияға байланысты. Мұндай жағдайларда нүктелік және біркелкі конвергенция екі маңызды мысал болып табылады. Белгілі бір шексіз қатарлардың шегінің болуын қамтамасыз етудің бір жолы – кез келген Коши тізбегінің шегі болатын кеңістіктерге назар аударуды шектеу; мұндай векторлық кеңістік толық деп аталады. Дерексіз айтқанда, векторлық кеңістік толық болады, егер ол барлық қажетті шектерді қамтыса. Мысалы, біркелкі конвергенция топологиясымен жабдықталған бірлік аралықтағы полиномдардың векторлық кеңістігі толық емес, өйткені Веерштрасс жуықтау теоремасы бойынша кез келген үздіксіз функцияны полиномдар тізбегімен біркелкі түрде жуықтауға болады. Керісінше, бір топологиядағы барлық үздіксіз функциялар кеңістігі толық болады. Норма векторлар тізбегінің егер және тек қана егер конвергенциясын анықтайды. Банах және Гильберт кеңістіктері – топологиялық векторлық кеңістіктер, олардың топологиялары сәйкесінше норма және ішкі көбейту арқылы берілген. Олардың зерттелуі – функционалдық талдаудың маңызды бөлігі – шексіз өлшемді векторлық кеңістіктерге бағытталған, өйткені шекті өлшемді топологиялық векторлық кеңістіктердегі барлық нормалар конвергенцияның бірдей түсінігін тудырады. Оң жақтағы сурет норма мен норманың теңдігін көрсетеді, себебі бірлік «доптар» бір-бірін қамтиды, бір нормада нөлге жақындаса, онда екінші нормада да жақындайды. Алайда, шексіз өлшемде әдетте тең емес топологиялар болады, бұл топологиялық векторлық кеңістіктерді зерттеуді қосымша деректерсіз векторлық кеңістіктерге қарағанда байытады. Концептуалды тұрғыдан алғанда, топологиялық векторлық кеңістікке қатысты барлық ұғымдар топологияға сәйкес келуі керек. Мысалы, барлық сызықтық бейнелеулерді (функционалдар деп те аталады) қарастырудың орнына, топологиялық векторлық кеңістіктер арасындағы бейнелеулер үздіксіз болуы керек. Атап айтқанда, (топологиялық) қосарлы кеңістік үздіксіз функционалдардан (немесе ) тұрады. Негізгі Ган-Банах теоремасы үздіксіз функционалдар арқылы тиісті топологиялық векторлық кеңістіктердің ішкі кеңістіктерін бөлумен айналысады.

Convergence questions are treated by considering vector spaces carrying a compatible topology, a structure that allows one to talk about elements being close to each other. Compatible here means that addition and scalar multiplication have to be continuous maps. Roughly, if and in , and in vary by a bounded amount, then so do and To make sense of specifying the amount a scalar changes, the field also has to carry a topology in this context; a common choice is the reals or the complex numbers. In such topological vector spaces one can consider series of vectors. The infinite sum

denotes the limit of the corresponding finite partial sums of the sequence of elements of For example, the could be (real or complex) functions belonging to some function space in which case the series is a function series. The mode of convergence of the series depends on the topology imposed on the function space. In such cases, pointwise convergence and uniform convergence are two prominent examples. A way to ensure the existence of limits of certain infinite series is to restrict attention to spaces where any Cauchy sequence has a limit; such a vector space is called complete. Roughly, a vector space is complete provided that it contains all necessary limits. For example, the vector space of polynomials on the unit interval equipped with the topology of uniform convergence is not complete because any continuous function on can be uniformly approximated by a sequence of polynomials, by the Weierstrass approximation theorem. In contrast, the space of all continuous functions on with the same topology is complete. A norm gives rise to a topology by defining that a sequence of vectors converges to if and only if

Banach and Hilbert spaces are complete topological vector spaces whose topologies are given, respectively, by a norm and an inner product. Their study—a key piece of functional analysis—focuses on infinite dimensional vector spaces, since all norms on finite dimensional topological vector spaces give rise to the same notion of convergence. The image at the right shows the equivalence of the norm and norm on as the unit "balls" enclose each other, a sequence converges to zero in one norm if and only if it so does in the other norm. In the infinite dimensional case, however, there will generally be inequivalent topologies, which makes the study of topological vector spaces richer than that of vector spaces without additional data. From a conceptual point of view, all notions related to topological vector spaces should match the topology. For example, instead of considering all linear maps (also called functionals) maps between topological vector spaces are required to be continuous. In particular, the (topological) dual space consists of continuous functionals (or to ). The fundamental Hahn–Banach theorem is concerned with separating subspaces of appropriate topological vector spaces by continuous functionals.

Гилберт кеңістіктері

Толық ішкі өнім кеңістіктері Дэвид Гилберттің құрметіне Гилберт кеңістіктері деп аталады. Ішкі көбейтіндісі мына түрде берілген Гилберт кеңістігі – маңызды жағдай:

мұндағы – нақты санның комплекстік серігін білдіреді. Анықтама бойынша, Гилберт кеңістігінде кез келген Коши тізбегі шегіне жуысады. Керісінше, берілген шекті функцияға қажетті қасиеттері бар функциялардың тізбесі арқылы жуықтау да өте маңызды. Ерте талдау, Тейлор жуықтауының түрінде, дифференциалданатын функцияларды көпмүшелер арқылы жуықтауды қалыптастырды. Stone-Weierstrass теоремасы бойынша, кез келген үздіксіз функцияны кез келген қалаған дәлдікпен көпмүшемен жуықтауға болады. Тригонометриялық функциялар арқылы ұқсас жуықтау әдісі көбінесе Фурье кеңейтуі деп аталады және инженерлік іс-практикада кеңінен қолданылады. Көбірек жалпылап айтқанда және тұжырымдық тұрғыдан, теорема «негізгі функциялардың» не екенін немесе абстрактілі Гилберт кеңістіктерінде Гилберт кеңістігін құруға жеткілікті қандай негізгі векторлерді анықтайды, яғни олардың жабылуы (яғни, шекті сызықтық комбинациялар мен олардың шектері) бүкіл кеңістікті құрайды. Мұндай функциялар жиыны кеңістіктің негізі деп аталады, ал оның кардиналдығы Гилберт кеңістігінің өлшемі деп танылады. Теорема жақындау мақсаты үшін жеткілікті негізгі функцияларды ғана көрсетпейді, сонымен қатар, Gram-Schmidt процесімен бірге, ортогональдық векторлардың негізін құруға мүмкіндік береді. Мұндай ортогональдық негіздер – шекті өлшемді Евклид кеңістігіндегі координаттық осьтердің Гилберт кеңістігіне жалпылауы болып табылады. Әртүрлі дифференциалдық теңдеулердің шешімдерін Гилберт кеңістіктері тұрғысынан қарастыруға болады. Мысалы, физика мен инженерліктің көптеген салалары мұндай теңдеулерге алып келеді, және жиі белгілі бір физикалық қасиеттері бар шешімдер негіздік функциялар ретінде қолданылады, көбінесе ортогональды. Физикадан мысал ретінде, кванттық механикадағы уақытқа тәуелді Шредингер теңдеуі физикалық қасиеттердің уақыт бойынша өзгеруін бөлшектік дифференциалдық теңдеу арқылы сипаттайды, оның шешімдері толқындық функциялар деп аталады. Энергия немесе импульс сияқты физикалық қасиеттердің нақты мәндері белгілі бір (сызықтық) дифференциалдық оператордың өзіндік мәндеріне сәйкес келеді, ал оған байланысты толқындық функциялар өзіндік күйлер деп аталады. Спектрлік теорема функциялар бойынша әрекет ететін сызықтық компакт операторды осы өзіндік функциялар мен олардың өзіндік мәндері арқылы жіктейді.

where denotes the complex conjugate of is a key case. By definition, in a Hilbert space, any Cauchy sequence converges to a limit. Conversely, finding a sequence of functions with desirable properties that approximate a given limit function is equally crucial. Early analysis, in the guise of the Taylor approximation, established an approximation of differentiable functions by polynomials. By the Stone–Weierstrass theorem, every continuous function on can be approximated as closely as desired by a polynomial. A similar approximation technique by trigonometric functions is commonly called Fourier expansion, and is much applied in engineering. More generally, and more conceptually, the theorem yields a simple description of what "basic functions", or, in abstract Hilbert spaces, what basic vectors suffice to generate a Hilbert space in the sense that the closure of their span (that is, finite linear combinations and limits of those) is the whole space. Such a set of functions is called a basis of its cardinality is known as the Hilbert space dimension. Not only does the theorem exhibit suitable basis functions as sufficient for approximation purposes, but also together with the Gram–Schmidt process, it enables one to construct a basis of orthogonal vectors. Such orthogonal bases are the Hilbert space generalization of the coordinate axes in finite dimensional Euclidean space. The solutions to various differential equations can be interpreted in terms of Hilbert spaces. For example, a great many fields in physics and engineering lead to such equations, and frequently solutions with particular physical properties are used as basis functions, often orthogonal. As an example from physics, the time dependent Schrödinger equation in quantum mechanics describes the change of physical properties in time by means of a partial differential equation, whose solutions are called wavefunctions. Definite values for physical properties such as energy, or momentum, correspond to eigenvalues of a certain (linear) differential operator and the associated wavefunctions are called eigenstates. The spectral theorem decomposes a linear compact operator acting on functions in terms of these eigenfunctions and their eigenvalues.

Векторлық бундеттер

Векторлық бундель – X топологиялық кеңістігі арқылы үздіксіз параметрленген векторлық кеңістіктер жиынтығы. Нақтырақ айтқанда, X үстіндегі векторлық бундель – бұл үздіксіз бейнелеумен жабдықталған E топологиялық кеңістік, сондықтан X-тегі әрбір x үшін талшық π−1(x) векторлық кеңістік болып табылады. 1=V=1 жағдайы сызықтық бундель деп аталады. Кез келген V векторлық кеңістігі үшін, X × V → X проекциясы X × V көбейтіндісін «тривиалды» векторлық бундельге айналдырады. X үстіндегі векторлық бундельдер жергілікті түрде X және кейбір (белгілі) векторлық кеңістік V көбейтіндісі болуы керек: X-тегі әрбір x үшін, π-нің π−1(U) дейінгі шектеуі U × V → U тривиалды бундельге изоморфты болатын x-тің U аймағы бар. Жергілікті тривиалды сипатына қарамастан, векторлық бундельдер (негізгі кеңістік X-тің пішініне байланысты) кеңістікте «бұрылуы» мүмкін (яғни, бундельдің тривиалды бундель X × V-ге (жаһандық изоморфты) болуы міндетті емес). Мысалы, Мёбиус жолағын S1 шеңбері үстіндегі сызықтық бундель ретінде қарастыруға болады (нақты түзумен ашық аралықтарды сәйкестендіру арқылы). Алайда, ол S^(1) × 'R' цилиндрінен өзгеше, өйткені соңғысы бағдарланады, ал біріншісі – жоқ. Белгілі бір векторлық бундельдердің қасиеттері негізгі топологиялық кеңістік туралы ақпарат береді. Мысалы, тангенциалдық бундель – бұл дифференциалданатын көптіктің нүктелерімен параметрленген тангенциалдық кеңістіктер жиынтығы. S1 шеңберінің тангенциалдық бунделі S^(1) × 'R' ға жаһандық изоморфты, өйткені S1-де нөлден өзгеше жаһандық векторлық өріс бар. Керісінше, «түкті шар» теоремасы бойынша, 2 сфераның S2 бетінде барлық жерде нөлден өзгеше (тангенциалдық) векторлық өріс жоқ. K-теория кейбір топологиялық кеңістіктегі барлық векторлық бундельдердің изоморфизм кластарын зерттейді. Топологиялық және геометриялық түсінікті тереңдетуден басқа, ол таза алгебралық салдарларға ие, мысалы, шекті өлшемді нақты бөліну алгебраларын жіктеу: R, C, кватерниондар H және октониондар O. Дифференциалданатын көптіктің котангенциалдық бунделі көптіктің әрбір нүктесінде тангенциалдық кеңістіктің дуалынан, котангенциалдық кеңістіктен тұрады. Бұл бундельдің қималары дифференциалдық бірінші формалар деп аталады.

A vector bundle is a family of vector spaces parametrized continuously by a topological space X. More precisely, a vector bundle over X is a topological space E equipped with a continuous map

such that for every x in X, the fiber π−1(x) is a vector space. The case dim 1=V = 1 is called a line bundle. For any vector space V, the projection X × V → X makes the product X × V into a "trivial" vector bundle. Vector bundles over X are required to be locally a product of X and some (fixed) vector space V: for every x in X, there is a neighborhood U of x such that the restriction of π to π−1(U) is isomorphic to the trivial bundle U × V → U. Despite their locally trivial character, vector bundles may (depending on the shape of the underlying space X) be "twisted" in the large (that is, the bundle need not be (globally isomorphic to) the trivial bundle X × V). For example, the Möbius strip can be seen as a line bundle over the circle S1 (by identifying open intervals with the real line). It is, however, different from the cylinder S^(1) × 'R', because the latter is orientable whereas the former is not. Properties of certain vector bundles provide information about the underlying topological space. For example, the tangent bundle consists of the collection of tangent spaces parametrized by the points of a differentiable manifold. The tangent bundle of the circle S1 is globally isomorphic to S^(1) × 'R', since there is a global nonzero vector field on S1. In contrast, by the hairy ball theorem, there is no (tangent) vector field on the 2 sphere S2 which is everywhere nonzero. K theory studies the isomorphism classes of all vector bundles over some topological space. In addition to deepening topological and geometrical insight, it has purely algebraic consequences, such as the classification of finite dimensional real division algebras: R, C, the quaternions H and the octonions O. The cotangent bundle of a differentiable manifold consists, at every point of the manifold, of the dual of the tangent space, the cotangent space. Sections of that bundle are known as differential one forms.

Модульдер

Модульдер сақиналар үшін векторлық кеңістіктер өрістер үшін не нәрсе болса, сондай: бірдей аксиомалар, F өрісінің орнына R сақинасына қолданылғанда, модульдерді тудырады. Векторлық кеңістіктермен салыстырғанда модульдер теориясы көбейтуге керісі жоқ сақина элементтерінің болуымен күрделенеді. Мысалы, модульдерде міндетті түрде базис болуы керек емес, Z модулі (яғни, абельдік топ) Z/2Z осыны көрсетеді; базисі бар модульдер (барлық векторлық кеңістіктерді қоса алғанда) еркін модульдер деп аталады. Дегенмен, векторлық кеңістікті өріс болатын сақина үстіндегі модуль ретінде ықшам түрде анықтауға болады, ондағы элементтер векторлар деп аталады. Кейбір авторлар векторлық кеңістік терминін бөлу сақинасы үстіндегі модульдерді білдіру үшін қолданады. Коммутативті сақиналардың спектрі арқылы алгебралық-геометриялық интерпретациясы, векторлық топтамалардың алгебралық аналогы – жергілікті еркін модульдер сияқты ұғымдарды дамытуға мүмкіндік береді.

Афиналық және проекциялық кеңістіктер

Шамамен айтқанда, аффиндік кеңістіктер – бастапқы нүктесі белгіленбеген векторлық кеңістіктер. Нақтырақ айтқанда, аффиндік кеңістік – еркін транзитивті векторлық әрекеті бар жиын. Атап айтқанда, векторлық кеңістік – берілген түрлендіру арқылы өзіне аффиндік кеңістік болып табылады. Егер W векторлық кеңістік болса, онда аффиндік ішкі кеңістік – V сызықтық ішкі кеңістікті 'x' ∈ W тұрақты векторымен жылжыту арқылы алынған W жиынының бөлігі; бұл кеңістік 'x' + V (ол W-де V-нің косеті) деп белгіленеді және 'v' ∈ V үшін 'x' + 'v' түріндегі барлық векторлардан тұрады. Маңызды мысал – сызықтық теңдеулер туралы жоғарыдағы бөлімде талданған біртекті жағдайды жалпылайтын, біртекті емес сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімдерінің кеңістігі, оны осы теңдеуде нөлге теңеу арқылы табуға болады. Шешімдер кеңістігі – 'x' + V аффиндік ішкі кеңістік, мұнда x – теңдеудің нақты шешімі, ал V – біртекті теңдеудің шешімдері кеңістігі (A-ның ядросы). Белгілі бір өлшемді V векторлық кеңістігінің бір өлшемді ішкі кеңістіктер жиынтығы проективті кеңістік деп аталады; оны параллель түзулердің шексіздікте қиылысу идеясын формалдау үшін пайдалануға болады. Грассмандықтар мен тулар оны k тұрақты өлшемді сызықтық ішкі кеңістіктер мен ішкі кеңістіктердің туларын параметрлеу арқылы жалпылайды.