Введение

Алгебраическая структура в линейной алгебре

В математике и физике векторное пространство (также называемое линейным пространством) — это множество, элементы которого, часто называемые векторами, могут быть сложены и умножены («скалированы») на числа, называемые скалярами. Скаляры часто являются действительными числами, но могут быть комплексными числами или, в более общем случае, элементами любого поля. Операции сложения векторов и умножения на скаляр должны удовлетворять определенным требованиям, называемым аксиомами векторного пространства. Реальное векторное пространство и комплексное векторное пространство — это типы векторных пространств, основанные на различных типах скаляров: реальное координатное пространство или комплексное координатное пространство. Векторные пространства обобщают евклидовы векторы, что позволяет моделировать физические величины, такие как силы и скорости, которые имеют не только величину, но и направление. Понятие векторных пространств является фундаментальным для линейной алгебры, наряду с понятием матриц, что позволяет выполнять вычисления в векторных пространствах. Это обеспечивает лаконичный и систематический способ манипулирования и изучения систем линейных уравнений. Векторные пространства характеризуются своей размерностью, которая, грубо говоря, определяет количество линейно независимых направлений в пространстве. Это означает, что для двух векторных пространств над данным полем и с одинаковой размерностью свойства, зависящие только от структуры векторного пространства, будут идентичными (технически эти векторные пространства изоморфны). Векторное пространство является конечномерным, если его размерность является натуральным числом. В противном случае оно является бесконечномерным, и его размерность представляет собой бесконечное кардинальное число. Конечномерные векторные пространства естественным образом возникают в геометрии и смежных областях. Бесконечномерные векторные пространства встречаются во многих областях математики. Например, кольца многочленов являются счетно бесконечномерными векторными пространствами, а многие пространства функций имеют кардинальность континуума в качестве размерности. Многие векторные пространства, рассматриваемые в математике, также наделены другими структурами. Таковы, например, алгебры, которые включают расширения полей, кольца многочленов, ассоциативные алгебры и алгебры Ли. Таковы также топологические векторные пространства, которые включают пространства функций, пространства с внутренним произведением, нормированные пространства, пространства Гильберта и пространства Банаха.

История

Векторные пространства берут начало в аффинной геометрии, посредством введения координат на плоскости или в трехмерном пространстве. Около 1636 года французские математики Рене Декарт и Пьер де Ферма заложили основы аналитической геометрии, отождествляя решения уравнения двух переменных с точками на плоской кривой. Для достижения геометрических решений без использования координат, Болцано в 1804 году ввел определенные операции над точками, прямыми и плоскостями, являющиеся предшественниками векторов. Он ввел понятие барицентрических координат и отношение эквивалентности на направленных отрезках, имеющих одинаковую длину и направление, которое он назвал эквиполлентностью. Евклидов вектор тогда представляет собой класс эквивалентности этого отношения. Векторы были переосмыслены в связи с представлением комплексных чисел Аргандом и Гамильтоном и созданием кватернионов последним. Они являются элементами R2 и R4; работа с ними посредством линейных комбинаций восходит к Лагерру в 1867 году, который также определил системы линейных уравнений. В 1857 году Кейли ввел матричную нотацию, позволяющую гармонизировать и упрощать линейные отображения. Примерно в то же время Грассманн изучал барицентрическое исчисление, начатое Мёбиусом. Он представлял себе множества абстрактных объектов, наделенных операциями. В его работах присутствуют понятия линейной независимости и размерности, а также скалярного произведения. Работа Грассманна 1844 года выходит за рамки векторных пространств, поскольку его рассмотрение умножения привело его к тому, что сегодня называется алгебрами. Итальянский математик Пеано впервые дал современное определение векторных пространств и линейных отображений в 1888 году, хотя он называл их «линейными системами». Аксиоматизация Пеано допускала существование векторных пространств с бесконечной размерностью, но Пеано не развивал эту теорию дальше. В 1897 году Сальваторе Пинчерле принял аксиомы Пеано и сделал первые шаги в теорию бесконечномерных векторных пространств. Важным развитием векторных пространств стало построение функциональных пространств Анри Лебегом, которое позднее было формализовано Банахом и Гильбертом около 1920 года. В то время алгебра и новая область функционального анализа начали взаимодействовать, особенно в отношении ключевых понятий, таких как пространства p-интегрируемых функций и пространства Гильберта.

Стрелы в самолете

Первый пример векторного пространства состоит из стрелок в фиксированной плоскости, начинающихся из одной фиксированной точки. Это используется в физике для описания сил или скоростей. Для любых двух таких стрелок, 'v' и 'w', параллелограмм, построенный на этих двух стрелках, содержит одну диагональную стрелку, начинающуюся в той же точке отсчета. Эта новая стрелка называется суммой двух стрелок и обозначается 'v' + 'w'. В частном случае двух стрелок, лежащих на одной прямой, их сумма – это стрелка на этой прямой, длина которой равна сумме или разности их длин, в зависимости от того, совпадают ли направления стрелок. Другой операцией, которую можно выполнить со стрелками, является масштабирование: для любого положительного действительного числа *a*, стрелка, имеющая то же направление, что и 'v', но увеличенная или уменьшенная в длину в *a* раз, называется произведением 'v' на *a*. Оно обозначается *a*'v'. Если *a* отрицательно, то *a*'v'* определяется как стрелка, направленная в противоположную сторону. Вот несколько примеров: если *a* = 1 или *a* = 2, то результирующий вектор *a*'w'* имеет то же направление, что и 'w', но его длина в два раза больше длины 'w' (второе изображение). Эквивалентно, 2*'w'* – это сумма 'w' + 'w'. Более того, 1*('−1)'v') = −'v'* имеет направление, противоположное направлению 'v', и ту же длину, что и 'v' (голубой вектор, направленный вниз на втором изображении).

Порядочные пары чисел

Второй ключевой пример векторного пространства предоставляют пары действительных чисел x и y. Порядок компонентов x и y существенен, поэтому такая пара также называется упорядоченной парой. Такая пара записывается как (x, y). Сумма двух таких пар и умножение пары на число определяются следующим образом:

Приведенный выше первый пример сводится к этому примеру, если вектор представлен парой декартовых координат его конца.

Координатное пространство

Самый простой пример векторного пространства над полем F — это само поле F, рассматриваемое с его сложением как векторное сложение и его умножением как скалярное умножение. В более общем случае, все n-кортежи (последовательности длины n) элементов ai из F образуют векторное пространство, которое обычно обозначается Fⁿ и называется координатным пространством. Случай n = 1 соответствует вышеупомянутому простейшему примеру, когда поле F рассматривается как векторное пространство над собой. Случай, когда F = ℝ и n = 2 (то есть ℝ²), сводится к предыдущему примеру.

Комплексные числа и другие расширения полей

Множество комплексных чисел 'C', чисел, которые могут быть записаны в виде z = x + iy для действительных чисел x и y, где i – мнимая единица, образует векторное пространство над полем действительных чисел с обычным сложением и умножением на скаляр: z = (x + iy) + (a + ib) = (x + a) + i(y + b) и z = c ⋅ (x + iy) = (c ⋅ x) + i(c ⋅ y) для действительных чисел x, y, a, b и c. Все аксиомы векторного пространства вытекают из того, что для арифметики комплексных чисел действуют те же правила. Пример с комплексными числами по существу совпадает (то есть, изоморфен) с векторным пространством упорядоченных пар действительных чисел, упомянутым выше: если рассматривать комплексное число x + iy как представление упорядоченной пары (x, y) на комплексной плоскости, то правила сложения и умножения на скаляр точно соответствуют правилам, рассмотренным в предыдущем примере. В более общем случае, расширения полей предоставляют другой класс примеров векторных пространств, особенно в алгебре и алгебраической теории чисел: поле F, содержащее меньшее поле E, является векторным пространством над E относительно операций сложения и умножения, определенных в F. Например, комплексные числа являются векторным пространством над 'R', а расширение поля является векторным пространством над 'Q'.

Функциональные пространства

Функции из любого фиксированного множества Ω в поле F также образуют векторные пространства, посредством поточечного сложения и умножения на скаляр. То есть, сумма двух функций f и g – это функция, заданная

и аналогично для умножения. Такие пространства функций возникают во многих геометрических ситуациях, когда Ω является действительной прямой или интервалом, или другими подмножествами ℝ. Многие понятия в топологии и анализе, такие как непрерывность, интегрируемость или дифференцируемость, хорошо согласуются с линейностью: суммы и кратные скаляром функций, обладающих таким свойством, сохраняют это свойство. Следовательно, множество таких функций является векторным пространством, изучение которого относится к функциональному анализу.

Линейные уравнения

Системы однородных линейных уравнений тесно связаны с векторными пространствами. Например, решения уравнений

задаются тройками с произвольными и . Они образуют векторное пространство: суммы и скалярные кратные таких троек по-прежнему удовлетворяют тем же соотношениям между тремя переменными, то есть также являются решениями. Матрицы можно использовать для компактного представления нескольких линейных уравнений, как показано выше, в виде одного векторного уравнения, а именно:

где – матрица, содержащая коэффициенты данных уравнений, – вектор, обозначает произведение матрицы на вектор, а – нулевой вектор. Аналогичным образом, решения однородных линейных дифференциальных уравнений образуют векторные пространства. Например,

приводят к , где и – произвольные константы, а – экспоненциальная функция.

Эген-цены и собственные векторы

Эндоморфизмы, линейные отображения f : V → V, особенно важны, поскольку в этом случае векторы 'v' можно сравнивать с их образом при отображении f, f('v'). Любой ненулевой вектор 'v', удовлетворяющий уравнению λ'v' = f('v'), где λ – скаляр, называется собственным вектором f с собственным значением λ. Эквивалентно, 'v' является элементом ядра разности f − λ · Id (где Id – тождественное отображение V → V). Если V конечномерно, это можно перефразировать с помощью определителей: наличие у f собственного значения λ эквивалентно тому, что

Раскрывая определение определителя, можно увидеть, что выражение слева является полиномиальной функцией от λ, называемой характеристическим многочленом f. Если поле F достаточно велико, чтобы содержать корень этого многочлена (что автоматически выполняется для алгебраически замкнутых полей, таких как F = ℂ), то любое линейное отображение имеет хотя бы один собственный вектор. Векторное пространство V может как иметь, так и не иметь собственный базис, то есть базис, состоящий из собственных векторов. Это явление определяется канонической формой Жордана. Множество всех собственных векторов, соответствующих конкретному собственному значению f, образует векторное пространство, известное как собственное подпространство, соответствующее данному собственному значению (и f).

Основные конструкции

В дополнение к вышеуказанным конкретным примерам, существует ряд стандартных конструкций линейной алгебры, приводящих к векторным пространствам, связанным с исходными.

Прямые продукты и суммы

Прямое произведение векторных пространств и прямая сумма векторных пространств — это два способа объединения индексированной семьи векторных пространств в новое векторное пространство. Прямое произведение семьи векторных пространств состоит из множества всех кортежей, которые задают для каждого индекса из некоторого индексного множества элемент. Сложение и скалярное умножение выполняются покоординатно. Вариантом этой конструкции является прямая сумма (также называемая копроизведением и обозначаемая ⊕), где допускаются только кортежи с конечным числом ненулевых векторов. Если индексное множество конечно, то обе конструкции совпадают, но в общем случае они различны.

Векторные пространства с дополнительной структурой

С точки зрения линейной алгебры, векторные пространства полностью изучены, поскольку любое векторное пространство над заданным полем характеризуется, с точностью до изоморфизма, своей размерностью. Однако сами по себе векторные пространства не предоставляют средств для решения вопроса, критически важного для анализа, — сходится ли последовательность функций к другой функции. Аналогично, линейная алгебра не приспособлена для работы с бесконечными рядами, так как операция сложения позволяет суммировать лишь конечное число слагаемых. Поэтому задачи функционального анализа требуют рассмотрения дополнительных структур. Векторному пространству можно ввести частичный порядок, позволяющий сравнивать некоторые векторы. Например, n-мерное вещественное пространство можно упорядочить, сравнивая его векторы покомпонентно. Упорядоченные векторные пространства, такие как пространства Рисса, являются фундаментальными для интеграла Лебега, который опирается на возможность представления функции как разности двух неотрицательных функций, где обозначает положительную часть функции, а — отрицательную часть.

Топологические векторные пространства

Вопросы сходимости рассматриваются путем изучения векторных пространств, наделенных согласованной топологией – структуры, позволяющей говорить о близости элементов друг к другу. Согласованность здесь означает, что сложение и скалярное умножение должны быть непрерывными отображениями. Грубо говоря, если и в , и в изменяются на ограниченную величину, то так же изменяются и и . Чтобы придать смысл указанию на изменение скаляра, поле также должно быть наделено топологией в данном контексте; распространенным выбором являются действительные или комплексные числа. В таких топологических векторных пространствах можно рассматривать ряды векторов. Бесконечная сумма

обозначает предел соответствующих конечных частных сумм последовательности элементов из . Например, могут быть (действительными или комплексными) функциями, принадлежащими некоторому функциональному пространству , в этом случае ряд является функциональным рядом. Мода сходимости ряда зависит от топологии, заданной на функциональном пространстве. В таких случаях точечная и равномерная сходимость являются двумя яркими примерами. Один из способов обеспечения существования пределов определенных бесконечных рядов – ограничить рассмотрение пространствами, в которых любая последовательность Коши имеет предел; такое векторное пространство называется полным. Грубо говоря, векторное пространство является полным, если оно содержит все необходимые пределы. Например, векторное пространство многочленов на единичном интервале , снабженное топологией равномерной сходимости, не является полным, поскольку любую непрерывную функцию на можно равномерно приблизить последовательностью многочленов, согласно теореме Вейерштрасса об аппроксимации. В отличие от этого, пространство всех непрерывных функций на с той же топологией является полным. Норма порождает топологию, определяя, что последовательность векторов сходится к тогда и только если

Пространства Банаха и Гильберта – это полные топологические векторные пространства, топологии которых задаются, соответственно, нормой и внутренним произведением. Их изучение – ключевой раздел функционального анализа – сосредоточено на бесконечномерных векторных пространствах, поскольку все нормы на конечномерных топологических векторных пространствах порождают одно и то же понятие сходимости. Изображение справа демонстрирует эквивалентность нормы и нормы на , поскольку единичные «шары» заключают друг друга в себя, и последовательность сходится к нулю в одной норме тогда и только тогда, когда она сходится к нулю в другой норме. Однако в бесконечномерном случае обычно существуют неэквивалентные топологии, что делает изучение топологических векторных пространств более богатым, чем изучение векторных пространств без дополнительных данных. С концептуальной точки зрения, все понятия, связанные с топологическими векторными пространствами, должны соответствовать топологии. Например, вместо рассмотрения всех линейных отображений (также называемых функционалами), отображения между топологическими векторными пространствами должны быть непрерывными. В частности, (топологическое) двойственное пространство состоит из непрерывных функционалов (или в ). Фундаментальная теорема Хана — Банаха связана с разделением подпространств соответствующих топологических векторных пространств непрерывными функционалами.

Пространства Гильберта

Пространства полного внутреннего произведения известны как пространства Гильберта, в честь Давида Гильберта. Пространство Гильберта с внутренним произведением, заданным где обозначает комплексное сопряжение , является ключевым примером. По определению, в пространстве Гильберта любая последовательность Коши сходится к пределу. И наоборот, поиск последовательности функций с желаемыми свойствами, аппроксимирующих заданную предельную функцию, также имеет решающее значение. Ранний анализ, в форме приближения Тейлора, установил аппроксимацию дифференцируемых функций полиномами. По теореме Стоуна — Вейерштрасса, любая непрерывная функция на может быть аппроксимирована полиномом с любой желаемой точностью. Аналогичный метод аппроксимации тригонометрическими функциями обычно называют разложением Фурье и широко применяется в инженерии. В более общем и концептуальном плане, теорема дает простое описание того, какие "базисные функции", или, в абстрактных пространствах Гильберта, какие базисные векторы достаточно для генерации пространства Гильберта в том смысле, что замыкание их линейной оболочки (то есть конечных линейных комбинаций и пределов этих комбинаций) является всем пространством. Такой набор функций называется базисом, а его кардинальность известна как размерность пространства Гильберта. Теорема не только демонстрирует подходящие базисные функции как достаточные для целей аппроксимации, но и, вместе с процессом Грама — Шмидта, позволяет построить базис ортогональных векторов. Такие ортогональные базисы являются обобщением координатных осей в конечномерном евклидовом пространстве на пространства Гильберта. Решения различных дифференциальных уравнений можно интерпретировать в терминах пространств Гильберта. Например, многие области физики и инженерии приводят к таким уравнениям, и часто решения с определенными физическими свойствами используются в качестве базисных функций, часто ортогональных. В качестве примера из физики, зависящее от времени уравнение Шрёдингера в квантовой механике описывает изменение физических свойств во времени посредством частного дифференциального уравнения, решения которого называются волновыми функциями. Определенные значения физических величин, таких как энергия или импульс, соответствуют собственным значениям определенного (линейного) дифференциального оператора, а соответствующие волновые функции называются собственными состояниями. Спектральная теорема раскладывает линейный компактный оператор, действующий на функции, в терминах этих собственных функций и их собственных значений.

Векторовые пучки

Векторный пучок — это семейство векторных пространств, непрерывно параметризуемых топологическим пространством X. Более точно, векторный пучок над X — это топологическое пространство E, снабжённое непрерывным отображением, таким что для каждой точки x в X волокно π⁻¹(x) является векторным пространством. Случай, когда dim V = 1, называется линейным пучком. Для любого векторного пространства V проекция X × V → X делает произведение X × V "тривиальным" векторным пучком. Требуется, чтобы векторные пучки над X локально являлись произведением X и некоторого (фиксированного) векторного пространства V: для каждой точки x в X существует окрестность U этой точки, такая что ограничение π на π⁻¹(U) изоморфно тривиальному пучку U × V → U. Несмотря на свой локально тривиальный характер, векторные пучки могут (в зависимости от формы базового пространства X) быть "скручеными" в глобальном смысле (то есть пучок не обязан быть глобально изоморфным тривиальному пучку X × V). Например, полосу Мёбиуса можно рассматривать как линейный пучок над окружностью S¹, отождествляя открытые интервалы с вещественной прямой. Однако она отличается от цилиндра S¹ × ℝ, поскольку последний ориентируем, а первая — нет. Свойства определённых векторных пучков дают информацию о базовом топологическом пространстве. Например, тангенциальный пучок состоит из семейства тангенциальных пространств, параметризуемых точками дифференцируемого многообразия. Тангенциальный пучок окружности S¹ глобально изоморфен S¹ × ℝ, поскольку на S¹ существует глобальное ненулевое векторное поле. В отличие от этого, по теореме о волосатом шаре, на 2-сфере S² нет (тангенциального) векторного поля, которое было бы повсюду ненулевым. K-теория изучает классы изоморфизма всех векторных пучков над некоторым топологическим пространством. Помимо углубления топологического и геометрического понимания, она имеет чисто алгебраические следствия, такие как классификация конечномерных вещественных алгебр с делением: ℝ, ℂ, кватернионы H и октонионы O. Котангенциальный пучок дифференцируемого многообразия состоит в каждой точке многообразия из дуальных к тангенциальному пространству пространств, котангенциальных пространств. Сечения этого пучка известны как дифференциальные 1-формы.

Модули

Модули по отношению к кольцам – это то же самое, что векторные пространства по отношению к полям: одни и те же аксиомы, примененные к кольцу R вместо поля F, порождают модули. Теория модулей, по сравнению с теорией векторных пространств, усложняется наличием элементов кольца, не имеющих обратных по умножению. Например, модули не обязаны иметь базис, как показывает модуль Z (то есть абелева группа) Z/2Z; модули, которые его имеют (включая все векторные пространства), называются свободными модулями. Тем не менее, векторное пространство можно компактно определить как модуль над кольцом, являющимся полем, при этом элементы называются векторами. Некоторые авторы используют термин «векторное пространство» для обозначения модулей над кольцом с делением. Алгебро-геометрическая интерпретация коммутативных колец посредством их спектра позволяет разрабатывать такие понятия, как локально свободные модули – алгебраический аналог векторных расслоений.

Аффиновые и проективные пространства

Грубо говоря, аффинные пространства — это векторные пространства, для которых не фиксировано начало координат. Более точно, аффинное пространство — это множество, на котором действует свободное транзитивное векторное пространство. В частности, векторное пространство является аффинным пространством над собой посредством соответствующего отображения. Если W — векторное пространство, то аффинное подпространство — это подмножество W, полученное сдвигом линейного подпространства V на фиксированный вектор x ∈ W; это пространство обозначается x + V (является смежным классом V в W) и состоит из всех векторов вида x + v, где v ∈ V. Важным примером является пространство решений системы неоднородных линейных уравнений, обобщающих однородный случай, рассмотренный в предыдущем разделе о линейных уравнениях, который можно получить, полагая все свободные члены равными нулю. Пространство решений — это аффинное подпространство x + V, где x — частное решение уравнения, а V — пространство решений соответствующего однородного уравнения (нулевое пространство матрицы A). Множество одномерных подпространств фиксированного конечномерного векторного пространства V называется проективным пространством; оно может быть использовано для формализации представления о параллельных прямых, пересекающихся в бесконечности. Грассмановы многообразия и многообразия флагов обобщают это, параметризуя линейные подпространства фиксированной размерности k и флаги подпространств соответственно.