Введение
Алгебраическое многообразие, определенное в аффинном пространстве
В алгебраической геометрии аффинное алгебраическое множество — это множество общих нулей над алгебраически замкнутым полем k некоторого семейства многочленов в кольце многочленов. Аффинное многообразие или аффинное алгебраическое многообразие — это аффинное алгебраическое множество, для которого идеал, порожденный определяющими многочленами, является простым. В некоторых текстах термин "многообразие" используется для любого алгебраического множества, а "неприводимое многообразие" — для алгебраического множества, определяющий идеал которого является простым (аффинное многообразие в вышеуказанном смысле). В некоторых контекстах (например, при рассмотрении теоремы Гильберта о нулях) полезно различать поле k, в котором рассматриваются коэффициенты, и алгебраически замкнутое поле K (содержащее k), над которым рассматриваются общие нули (то есть, точки аффинного алгебраического множества лежат в Kⁿ). В этом случае многообразие называют определенным над k, а точки многообразия, принадлежащие kⁿ, называют k-рациональными или рациональными над k. В частном случае, когда k — поле действительных чисел, k-рациональная точка называется действительной точкой. Если поле k не указано, то рациональной точкой называют точку, рациональную над полем рациональных чисел. Например, последняя теорема Ферма утверждает, что аффинное алгебраическое многообразие (являющееся кривой), определяемое уравнением, не имеет рациональных точек при любом целом числе n, большем двух.
Введение
Аффинное алгебраическое множество – это множество решений в алгебраически замкнутом поле k системы полиномиальных уравнений с коэффициентами в k. Точнее, если – полиномы с коэффициентами в k, то они определяют аффинное алгебраическое множество. Аффинное (алгебраическое) многообразие – это аффинное алгебраическое множество, которое не является объединением двух собственных аффинных алгебраических подмножеств. Такое аффинное алгебраическое множество часто называют неприводимым. Если X – аффинное алгебраическое множество, а I – идеал всех многочленов, обращающихся в нуль на X, то факторкольцо называется координатным кольцом X. Если X – аффинное многообразие, то I является простым идеалом, следовательно, координатное кольцо является целостным областью. Элементы координатного кольца R также называются регулярными функциями или полиномиальными функциями на многообразии. Они образуют кольцо регулярных функций на многообразии, или просто кольцо многообразия; другими словами (см. #Пучок структур), это пространство глобальных сечений пучка структур X. Размерность многообразия – это целое число, связанное с каждым многообразием и даже с каждым алгебраическим множеством, важность которого обусловлена большим количеством его эквивалентных определений (см. Размерность алгебраического многообразия).
An affine (algebraic) variety is an affine algebraic set that is not the union of two proper affine algebraic subsets. Such an affine algebraic set is often said to be irreducible. If X is an affine algebraic set, and I is the ideal of all polynomials that are zero on X, then the quotient ring is called the of X. If X is an affine variety, then I is prime, so the coordinate ring is an integral domain. The elements of the coordinate ring R are also called the regular functions or the polynomial functions on the variety. They form the ring of regular functions on the variety, or, simply, the ring of the variety; in other words (see #Structure sheaf), it is the space of global sections of the structure sheaf of X. The dimension of a variety is an integer associated to every variety, and even to every algebraic set, whose importance relies on the large number of its equivalent definitions (see Dimension of an algebraic variety).
Примеры
Комплемент гиперповерхности в аффинном многообразии X (то есть X \ {f = 0} для некоторого многочлена f) является аффинным. Его определяющие уравнения получаются насыщением определяющего идеала X по f. Координатное кольцо, таким образом, является локализацией. В частности, (аффинная прямая с удалённой точкой 0) является аффинной. С другой стороны, (аффинная плоскость с удалённой точкой 0) не является аффинным многообразием; см. теорему расширения Хартогса. Подмногообразия коразмерности один в аффинном пространстве – это ровно гиперповерхности, то есть многообразия, определяемые одним многочленом. Нормализация неприводимого аффинного многообразия является аффинной; координатное кольцо нормализации является цельнозамкнутым замыканием координатного кольца многообразия. (Аналогично, нормализация проективного многообразия является проективным многообразием.)
In particular, (the affine line with the origin removed) is affine. On the other hand, (the affine plane with the origin removed) is not an affine variety; cf. Hartogs' extension theorem. The subvarieties of codimension one in the affine space are exactly the hypersurfaces, that is the varieties defined by a single polynomial. The normalization of an irreducible affine variety is affine; the coordinate ring of the normalization is the integral closure of the coordinate ring of the variety. (Similarly, the normalization of a projective variety is a projective variety.)
Рациональные точки
Для аффинного многообразия над алгебраически замкнутым полем K и подполя k поля K, k-рациональной точкой V является точка, то есть точка V, координаты которой являются элементами k. Множество k-рациональных точек аффинного многообразия V часто обозначается V(k). Часто, если базовым полем являются комплексные числа C, точки, которые являются R-рациональными (где R – вещественные числа), называются вещественными точками многообразия, а Q-рациональные точки (Q – рациональные числа) часто просто называются рациональными точками. Например, (1, 0) является Q-рациональной и R-рациональной точкой многообразия, так как она лежит в V и все её координаты – целые числа. Точка (0, √2) является вещественной точкой V, которая не является Q-рациональной, а (i, 0) – точкой V, которая не является R-рациональной. Это многообразие называется окружностью, потому что множество его R-рациональных точек является единичной окружностью. У него бесконечно много Q-рациональных точек, которые являются точками вида (cos(t), sin(t)), где t – рациональное число. Окружность x² + y² = 1 является примером алгебраической кривой второй степени, которая не имеет Q-рациональных точек. Это можно вывести из того факта, что по модулю 4 сумма двух квадратов не может быть равна 3. Можно доказать, что алгебраическая кривая второй степени с Q-рациональной точкой имеет бесконечно много других Q-рациональных точек; каждая такая точка является второй точкой пересечения кривой и прямой с рациональным угловым коэффициентом, проходящей через рациональную точку. Комплексное многообразие x² + y² = -1 не имеет R-рациональных точек, но имеет много комплексных точек. Если V – аффинное многообразие в C² определено над комплексными числами C, то R-рациональные точки V можно изобразить на бумаге или с помощью графического программного обеспечения. Рисунок справа показывает R-рациональные точки многообразия x² + y² = 1.
where t is a rational number. The circle is an example of an algebraic curve of degree two that has no 'Q' rational point. This can be deduced from the fact that, modulo 4, the sum of two squares cannot be 3. It can be proved that an algebraic curve of degree two with a 'Q' rational point has infinitely many other 'Q' rational points; each such point is the second intersection point of the curve and a line with a rational slope passing through the rational point. The complex variety has no 'R' rational points, but has many complex points. If V is an affine variety in 'C'^(2) defined over the complex numbers 'C', the 'R' rational points of V can be drawn on a piece of paper or by graphing software. The figure on the right shows the 'R' rational points of
Топология Зариски
Аффинные алгебраические множества kn образуют замкнутые множества топологии на kn, называемой топологией Зариски. Это следует из того, что ∪ и ∩ (в действительности, счетное пересечение аффинных алгебраических множеств является аффинным алгебраическим множеством). Топологию Зариски также можно описать через базисные открытые множества, где открытые множества Зариски являются счетными объединениями множеств вида {x ∈ kn | f(x) ≠ 0} для f ∈ k[x]. Эти базисные открытые множества являются дополнениями в kn к замкнутым множествам – множествам нулей единственного многочлена. Если k – ноетерианское кольцо (например, если k – поле или область главных идеалов), то каждый идеал в k конечно порожден, поэтому каждое открытое множество является конечным объединением базисных открытых множеств. Если V – аффинное подмногообразие kn, то топология Зариски на V является просто индуцированной подпространственной топологией от топологии Зариски на kn.
Продукты родственных сортов
Произведение аффинных многообразий можно определить с помощью изоморфизма, а затем, вложив произведение в это новое аффинное пространство. Пусть у Aⁿ и Aᵐ координатные кольца k[x₁, …, xₙ] и k[y₁, …, yₘ] соответственно, так что их произведение Aⁿ⁺ᵐ имеет координатное кольцо k[x₁, …, xₙ, y₁, …, yₘ]. Пусть V – алгебраическое подмножество Aⁿ, а W – алгебраическое подмножество Aᵐ. Тогда каждый fᵢ является многочленом в k[x₁, …, xₙ], и каждый gⱼ – в k[y₁, …, yₘ]. Произведение V и W определяется как алгебраическое множество { (v, w) | v ∈ V, w ∈ W } в Aⁿ⁺ᵐ. Произведение является неразложимым, если каждое из V и W неразложимо. Топология Зариски на Aⁿ × Aᵐ не является топологическим произведением топологий Зариски на двух пространствах. Действительно, топология произведения генерируется произведениями основных открытых множеств D(fᵢ) × D(gⱼ). Следовательно, многочлены, которые находятся в k[x₁, …, xₙ, y₁, …, yₘ], но не могут быть получены как произведение многочлена в k[x₁, …, xₙ] с многочленом в k[y₁, …, yₘ], определят алгебраические множества, которые принадлежат топологии Зариски на Aⁿ × Aᵐ, но не принадлежат топологии произведения.
Морфизмы родственных разновидностей
Морфизм, или регулярное отображение, аффинных многообразий — это функция между аффинными многообразиями, которая является полиномиальной по каждой координате: точнее, для аффинных многообразий V ⊆ kⁿ и W ⊆ kᵐ, морфизм из V в W — это отображение φ: V → W вида, где fi ∈ k[X₁, …, Xₙ] для каждого i. Это морфизмы в категории аффинных многообразий. Существует взаимно однозначное соответствие между морфизмами аффинных многообразий над алгебраически замкнутым полем k и гомоморфизмами координатных колец аффинных многообразий над k, идущими в противоположном направлении. В силу этого, а также того факта, что существует взаимно однозначное соответствие между аффинными многообразиями над k и их координатными кольцами, категория аффинных многообразий над k дуальна категории координатных колец аффинных многообразий над k. Категория координатных колец аффинных многообразий над k является именно категорией конечно порожденных, нильпотентных свободных алгебр над k.
Точнее, для каждого морфизма φ: V → W аффинных многообразий существует гомоморфизм φ♯: k[W] → k[V] между координатными кольцами (идущими в противоположном направлении), и для каждого такого гомоморфизма существует морфизм многообразий, связанных с координатными кольцами. Это можно показать явно: пусть V ⊆ kⁿ и W ⊆ kᵐ — аффинные многообразия с координатными кольцами и соответственно. Пусть φ: V → W — морфизм. Действительно, гомоморфизм между кольцами многочленов θ: k[Y₁, …, Yₘ] / J → k[X₁, …, Xₙ] / I однозначно факторизуется через кольцо k[X₁, …, Xₙ], и гомоморфизм ψ: k[Y₁, …, Yₘ] / J → k[X₁, …, Xₙ] определяется однозначно образами Y₁, …, Yₘ. Следовательно, каждый гомоморфизм φ♯: k[W] → k[V] однозначно соответствует выбору образа для каждого Yi. Затем, учитывая любой морфизм из V в W, можно построить гомоморфизм φ♯: k[W] → k[V], который отображает Yi в класс эквивалентности fi в k[V]. Аналогично, для каждого гомоморфизма координатных колец можно построить морфизм аффинных многообразий в противоположном направлении. Отражая вышеприведенный абзац, гомоморфизм φ♯: k[W] → k[V] отображает Yi в полином в k[V]. Это соответствует морфизму многообразий φ: V → W, определенному по формуле
Теорема Серре об аффинности
Теорема Серра дает кохомологическую характеристику аффинного многообразия; она утверждает, что алгебраическое многообразие аффинно тогда и только тогда, когда для любого и любого квазикогерентного пучка F на X. (см. теорему Картана B.) Это делает кохомологическое изучение аффинного многообразия практически невозможным, в резком контрасте со случаем проективных многообразий, где кохомологические группы линейных расслоений представляют собой предмет центрального интереса.
Обобщения
Если автор требует, чтобы базовое поле аффинного многообразия было алгебраически замкнутым (как это делает настоящая статья), то необратимые аффинные алгебраические множества над неалгебраически замкнутыми полями являются обобщением аффинных многообразий. Это обобщение в частности включает аффинные многообразия над действительными числами. Аффинное многообразие играет роль локальной карты для алгебраических многообразий; то есть, общие алгебраические многообразия, такие как проективные многообразия, получаются склеиванием аффинных многообразий. Линейные структуры, присоединенные к многообразиям, также являются (тривиальными) аффинными многообразиями; например, тангенциальные пространства, волокна алгебраических векторных расслоений. Аффинное многообразие является частным случаем аффинной схемы, локально кольцевого пространства, изоморфного спектру коммутативного кольца (с точностью до эквивалентности категорий). Каждому аффинному многообразию соответствует аффинная схема: если V(I) – аффинное многообразие в kⁿ с координатным кольцом R, то схема, соответствующая V(I), – это Spec(R), множество простых идеалов R. Аффинная схема имеет "классические точки", которые соответствуют точкам многообразия (и, следовательно, максимальным идеалам координатного кольца многообразия), а также точку для каждого замкнутого подмногообразия многообразия (эти точки соответствуют простым, не максимальным идеалам координатного кольца). Это создает более четкое понятие "общей точки" аффинного многообразия, присваивая каждому замкнутому подмногообразию открытую точку, плотную в этом подмногообразии. В более общем смысле, аффинная схема является аффинным многообразием, если она редуцирована, необратима и конечного типа над алгебраически замкнутым полем k.