Вектор: Ұзындығы мен бағыты бар геометриялық нысан

Кіріспе

Ұзындығы мен бағыты бар геометриялық объект. Математика, физика және инженерлік салаларда Евклид векторы немесе жай ғана вектор (кейде геометриялық вектор немесе кеңістіктік вектор деп аталады) – бұл шамасы (немесе ұзындығы) және бағыты бар геометриялық объект. Евклидтік векторларды қосуға және түрлендіруге болады, осылайша векторлық кеңістік құрылады. Евклидтік вектор көбінесе бағытталған түзу кесіндісі түрінде немесе графикте бастапқы нүкте А мен соңғы нүкте В-ні қосатын жебе ретінде бейнеленеді және осылай белгіленеді.

Вектор – А нүктесін В нүктесіне "жеткізуге" қажетті шама; латын тіліндегі "vector" сөзі "жеткізуші" дегенді білдіреді. Оны алғаш рет 18 ғасырдағы астрономдар Күн төңірегінде планеталардың айналуын зерттеуде қолданған. Вектордың шамасы – екі нүкте арасындағы қашықтық, ал бағыты – А нүктесінен В нүктесіне қарайтын бағыт. Нақты сандармен жасалатын көптеген алгебралық амалдар, мысалы, қосу, алу, көбейту және терістеу, векторлар үшін де қолданылады, бұл амалдар коммутативтілік, ассоциативтілік және дистрибутивтілік сияқты таныс алгебралық заңдарға бағынады. Осы амалдар мен заңдар Евклидтік векторларды векторлық кеңістіктің элементтері ретінде қарастырылатын, жалпылама вектор ұғымының мысалы ретінде көрсетеді. Векторлар физикада маңызды рөл атқарады: қозғалатын дененің жылдамдығы мен үдеуі, сондай-ақ оған әсер ететін күштердің бәрін векторлар арқылы сипаттауға болады. Көптеген басқа физикалық шамаларды да вектор ретінде қарастыруға болады. Олардың көпшілігі қашықтықты білдірмесе де (мысалы, орналасу немесе орын ауыстырудан басқа), олардың шамасы мен бағыты жебенің ұзындығы мен бағыты арқылы бейнеленеді. Физикалық вектордың математикалық сипаттамасы оны сипаттау үшін қолданылатын координаттар жүйесіне байланысты. Координаттар жүйесі өзгелген кезде физикалық шамаларды сипаттайтын және ұқсас түрде өзгеретін басқа да вектор сияқты объектілерге псевдовекторлар мен тензорлар жатады.

Тарих

Векторлық ұғым, бүгінгі таңдағыдай, 200 жылдан астам уақыт бойы біртіндеп дамып келді. Оның дамуына шамамен онға жуық адам елеулі үлес қосты. 1835 жылы Джусто Беллавитис эквиполенция ұғымын қалыптастырғанда, негізгі идеяны абстракциялады. Евклид жазықтығында жұмыс істеп, ол бірдей ұзындығы мен бағыты бар параллель түзу кесінділерінің кез келген жұбын эквиполент деп есептеді. Мәнісінде, ол жазықтықтағы нүктелер жұбы (биточкалар) арасындағы эквиваленттілік қатынасын құрды, осылайша жазықтықтағы векторлардың алғашқы кеңістігін жасады. Алгебралық түрде қиял бөлігі, геометриялық тұрғыдан түзу сызық немесе радиус-вектор арқылы бейнеленеді, ол әдетте, әр анықталған кватернион үшін, кеңістікте белгілі бір ұзындығы мен бағыты болады, және оны векторлық бөлік немесе жай ғана кватернионның векторы деп атауға болады. XIX ғасырдың ортасында Августин Коши, Герман Грассман, Август Мёбиус, Конт де Сен-Венан және Мэтью О’Брайен сияқты бірнеше математиктер векторға ұқсас жүйелерді дамытты. Грассманның 1840 жылғы «Ebbe und Flut» («Толқын мен Тасқын») еңбегі қазіргі жүйеге ұқсас кеңістіктік талдаудың алғашқы жүйесі болды және оның айқас көбейтіндісі, скалярлық көбейтіндісі және векторлық дифференциация сияқты идеяларын қамтыды. Грассманның еңбегі 1870 жылдарға дейін көп назарсыз қалды. Таза математикада вектор, векторлық кеңістіктің кез келген элементі ретінде анықталады. Бұл контексте векторлар – шамасы мен бағытымен сипатталатын немесе сипатталмайтын абстрактілі ұғымдар. Бұл жалпыланған анықтама жоғарыда аталған геометриялық нысандардың, Евклидтік кеңістік деп аталатын векторлық кеңістіктің ерекше элементтері болғандықтан, олар векторлардың ерекше түрі екенін көрсетеді. Осы мақала Евклид кеңістігіндегі жебелер ретінде қатаң анықталған векторлар туралы. Бұл ерекше векторларды таза математикадағы векторлардан ажырату қажет болған жағдайларда, оларды кейде геометриялық, кеңістіктік немесе Евклидтік векторлар деп атайды. Жебе ретінде Евклид векторының нақты бастапқы және соңғы нүктелері болады. Бастапқы және соңғы нүктелері белгілі вектор байланған вектор деп аталады. Егер вектордың шамасы мен бағыты ғана маңызды болса, онда бастапқы нүкте маңызды емес, және вектор еркін вектор деп аталады. Осылайша, кеңістіктегі екі жебе бірдей еркін векторды білдіреді, егер олардың шамасы мен бағыты бірдей болса, яғни егер төртбұрыш ABB′A′ параллелограмм болса, олар эквиполент болады. Егер Евклид кеңістігінде координаталардың басы белгіленген болса, онда еркін вектор, координаталардың басынан басталатын бірдей шама мен бағытқа ие байланған векторға тең болады. Вектор термині жоғары өлшемдерге және одан да формалды тәсілдерге, кең ауқымды қолданыстармен жалпыланады.

The vector concept, as it is known today, is the result of a gradual development over a period of more than 200 years. About a dozen people contributed significantly to its development. In 1835, Giusto Bellavitis abstracted the basic idea when he established the concept of equipollence. Working in a Euclidean plane, he made equipollent any pair of parallel line segments of the same length and orientation. Essentially, he realized an equivalence relation on the pairs of points (bipoints) in the plane, and thus erected the first space of vectors in the plane. The algebraically imaginary part, being geometrically constructed by a straight line, or radius vector, which has, in general, for each determined quaternion, a determined length and determined direction in space, may be called the vector part, or simply the vector of the quaternion. Several other mathematicians developed vector like systems in the middle of the nineteenth century, including Augustin Cauchy, Hermann Grassmann, August Möbius, Comte de Saint Venant, and Matthew O'Brien. Grassmann's 1840 work Theorie der Ebbe und Flut (Theory of the Ebb and Flow) was the first system of spatial analysis that is similar to today's system, and had ideas corresponding to the cross product, scalar product and vector differentiation. Grassmann's work was largely neglected until the 1870s. In pure mathematics, a vector is defined more generally as any element of a vector space. In this context, vectors are abstract entities which may or may not be characterized by a magnitude and a direction. This generalized definition implies that the above mentioned geometric entities are a special kind of vectors, as they are elements of a special kind of vector space called Euclidean space. This particular article is about vectors strictly defined as arrows in Euclidean space. When it becomes necessary to distinguish these special vectors from vectors as defined in pure mathematics, they are sometimes referred to as geometric, spatial, or Euclidean vectors. Being an arrow, a Euclidean vector possesses a definite initial point and terminal point. A vector with fixed initial and terminal point is called a bound vector. When only the magnitude and direction of the vector matter, then the particular initial point is of no importance, and the vector is called a free vector. Thus two arrows and in space represent the same free vector if they have the same magnitude and direction: that is, they are equipollent if the quadrilateral ABB′A′ is a parallelogram. If the Euclidean space is equipped with a choice of origin, then a free vector is equivalent to the bound vector of the same magnitude and direction whose initial point is the origin. The term vector also has generalizations to higher dimensions, and to more formal approaches with much wider applications.

Қосымша ақпарат

Классикалық Евклид геометриясында (яғни синтетикалық геометрияда) векторлар 19-шы ғасырда теңдік ретінде, бағытталған жұп нүктелердің теңдік кластары ретінде енгізілді; егер A, B, D, C нүктелері осы ретпен параллелограмм құраса, (A, B) және (C, D) жұптары теңдік болады. Мұндай теңдік класы вектор деп аталады, дәлірек айтқанда, Евклидтік вектор. (A, B) теңдік класы көбінесе белгіленеді.

Евклидтік вектор – бірдей шамамен (мысалы, (A, B) сызық сегментінің ұзындығы) және бірдей бағытпен (мысалы, A-дан B-ға бағыт) бағытталған сегменттердің теңдік класы. Физикада Евклидтік векторлар физикалық шамаларды көрсету үшін қолданылады, олардың шамасы және бағыты болады, бірақ олар нақты бір жерде орналаспайды, скалярлардан айырмашылығы, оларда бағыт жоқ.

Жалпылау

Физикада, сондай-ақ математикада вектор көбінесе компоненттердің жиынтығымен немесе базалық векторлар жиынтығы үшін скалярлық коэффициенттер ретінде әрекет ететін сандар тізімімен анықталады. База өзгерген кезде, мысалы, айналу немесе созу арқылы, кез келген вектордың компоненттері сол базаға қатысты кері бағытта өзгереді. Вектордың өзі өзгермейді, бірақ база өзгереді, сондықтан вектордың компоненттері бұрынғысын өтемақылау үшін өзгеруі керек. Вектор, оның компоненттерінің өзгеруі базаның өзгеруімен қалай байланысты болғанына байланысты ковариантты немесе контравариантты деп аталады. Жалпы, контравариантты векторлар – қашықтық бірліктерімен (мысалы, орын ауыстыру) немесе қашықтық пен басқа бірліктердің көбейтіндісімен (мысалы, жылдамдық немесе үдеу) берілетін «қалыпты» векторлар; ал ковариантты векторлар, керісінше, градиент сияқты қашықтықтың кері бірліктеріне ие. Егер сіз бірліктерді (базаның өзгеруінің ерекше жағдайы) метрден миллиметрге ауыстырсаңыз, 1/1000 масштабтық коэффициентпен 1 метрлік орын ауыстыру 1000 миллиметрге айналады – бұл сандық мәннің контравариантты өзгеруі. Керісінше, 1 К/м градиент 0,001 К/мм-ге айналады – бұл мәннің ковариантты өзгеруі (толығырақ ақпарат алу үшін векторлардың коварианттылығы мен контраварианттылығын қараңыз). Тензорлар – бұл осылай әрекет ететін шаманың тағы бір түрі; вектор – тензордың бір түрі. Таза математикада вектор – белгілі бір өріс үстіндегі векторлық кеңістіктің кез келген элементі және көбінесе координаттық вектор ретінде бейнеленеді. Бұл мақалада сипатталған векторлар осы жалпы анықтаманың ерекше жағдайы болып табылады, өйткені олар айналадағы кеңістікке қатысты контравариантты. Контраварианттылық вектордың «өлшемі мен бағыты» бар деген физикалық түсінікті қамтиды.

Орынсыздық немесе ажырату

Жоғарыда түсіндірілгендей, вектор көбінесе берілген векторды құру үшін қосылатын вектор компоненттерінің жиынтығы арқылы сипатталады. Әдетте, бұл компоненттер вектордың өзара перпендикуляр анықтама осьтері жиынтығында (негізгі векторлар) проекциялары болып табылады. Вектор осы жиынға қатысты ыдыратылған немесе шешілген деп айтылады. Векторды компоненттерге ыдырату немесе шешу бірегей емес, себебі ол векторды проекциялайтын осьтерді таңдауға байланысты. Сонымен қатар, векторды бейнелеу үшін негіз ретінде картезиялық бірлік векторларын пайдалану міндетті емес. Векторларды кез келген негізде, оның ішінде цилиндрлік координаттар жүйесінің немесе сфералық координаттар жүйесінің бірлік векторларында да көрсетуге болады. Соңғы екі таңдау тиісінше цилиндрлік немесе сфералық симметрияға ие мәселелерді шешу үшін ыңғайлырақ. Негізді таңдау вектордың қасиеттеріне немесе трансформация кезіндегі оның мінез-құлқына әсер етпейді. Векторды уақыт пен кеңістікке байланысты бағытын өзгертетін "бекітілмеген" негіздік векторларға қатысты да бөлуге болады. Мысалы, үш өлшемді кеңістіктегі векторды екі оське қатысты бөлуге болады, олар тиісінше бетке перпендикуляр және жанама (суретті қараңыз). Сонымен қатар, вектордың радиалдық және тангенциалдық компоненттері объектінің айналу радиусымен байланысты. Біріншісі радиусқа параллель, ал екіншісі оған ортогональ. Мұндай жағдайларда, әрбір компонент өз кезегінде бекітілген координаттар жүйесіне немесе негізгі жиынтығына (мысалы, жаһандық координаттар жүйесіне немесе инерциялық анықтама жүйесіне) қатысты ыдыратылуы мүмкін.

Физика

Векторлар физика және басқа ғылымдарда кеңінен қолданылады.

Ұзындығы және бірліктері

Абстрактіл векторлық кеңістіктерде жебе ұзындығы өлшемсіз масштабқа тәуелді. Егер ол, мысалы, күшті көрсететін болса, онда "масштабтың" физикалық өлшемі – ұзындық/күш болады. Осылайша, бірдей өлшемдегі шамалардың арасында масштабтың тұрақтылығы сақталады, бірақ басқа жағдайларда масштаб қатынастары әртүрлі болуы мүмкін; мысалы, егер "1 Ньютон" және "5 метр" екеуі де 2 см жебемен бейнеленсе, онда масштабтар тиісінше 1 м:50 Н және 1:250 болады. Әр түрлі өлшемдегі векторлардың тең ұзындығы, егер диаграммада бейнеленген жүйеде белгілі бір пропорционалдық тұрақты болмаса, ешқандай ерекше мағынаға ие емес. Сондай-ақ, бірлік вектордың ұзындығы (өлшемі ұзындық, ұзындық/күш емес, т.б.) координаттар жүйесіне тәуелсіз мағынаға ие емес.

Векторлық мәнді функциялар

Физика мен математика салаларында жиі вектор уақыт бойынша өзгереді, яғни ол уақыт параметрі t-ге тәуелді болады. Мысалы, егер r бөлшектің орналасу векторы болса, онда r(t) бөлшектің траекториясын параметрлік түрде көрсетеді. Векторлық функциялардың компоненттерін дифференциалдау немесе интегралдау арқылы оларды дифференциалдауға және интегралдауға болады, сондай-ақ есептеулердегі (калькулустегі) көптеген белгілі ережелер векторлық функциялардың туындысы мен интегралы үшін де қолданылады.

Векторлар, псевдовекторлар және түрлендірулер

Евклидтік векторлардың, әсіресе физикада, баламалы сипаттамалары оларды координаталық түрлендіру кезінде белгілі бір тәртіппен өзгеретін шамалардың тізімі ретінде көрсетеді. Контравариант вектордың компоненттері негізді өзгерту кезінде "негізге қарама-қарсы түрленуі" керек. Вектордың өзі негіз өзгергенде өзгермейді; керісінше, вектордың компоненттері негіздегі өзгерісті жоятын өзгеріске ұшырайды. Яғни, егер координаттық осьтер (және одан туындаған негіз) бір бағытта бұрылса, вектордың компоненттері кері бағытта бұрылып, бірдей түпкілікті векторды құрайды. Сол сияқты, егер координаттық осьтер бір бағытта созылса, вектордың компоненттері дәл өтетіндей азаяды. Математикалық тұрғыдан алғанда, егер негіз инвертирленетін матрица M арқылы сипатталатын түрлендіруге ұшыраса, сондықтан координаталық вектор x, x′ = Mx түрлендіріледі, онда контравариант вектор v да сол сияқты түрлендірілуі керек, яғни v′ = Mv. Бұл маңызды талап контравариант векторды физикалық мағынасы бар кез келген басқа үштік шамадан ерекшелендіреді. Мысалы, егер v жылдамдықтың x, y және z компоненттерінен тұрса, онда v контравариант вектор болады: егер кеңістіктің координаттары созылса, бұрылса немесе қисайса, онда жылдамдықтың компоненттері сол сияқты өзгереді. Керісінше, мысалы, тіктөртбұрышты қораптың ұзындығы, ені және биіктігі абстракт вектордың үш компонентін құрауы мүмкін, бірақ бұл вектор контравариант болмайды, өйткені қорапты бұру оның ұзындығын, енін және биіктігін өзгерте алмайды. Контравариант векторлардың мысалдары: орын ауыстыру, жылдамдық, электр өрісі, импульс, күш және үдеу. Дифференциалдық геометрия тілінде, вектордың компоненттерінің координаталық түрлендірудің бірдей матрицасына сәйкес түрленуі талабы контравариант векторды контравариант бірінші ретті тензор ретінде анықтауға тең. Балама ретінде, контравариант вектор тангенциалды вектор ретінде анықталады және контравариант векторды түрлендіру ережесі тізбекті ережеден туындайды. Кейбір векторлар контравариант векторлар сияқты түрленеді, бірақ олар айнада көрінгенде, олар кері бұрылып, минус белгісін алады. Айна сияқты оң жақтан сол жаққа және керісінше ауыстыратын түрлендіру кеңістіктің бағытын өзгертеді дейді. Кеңістіктің бағыты өзгергенде минус белгісін алатын вектор псевдовектор немесе осьтік вектор деп аталады. Кәдімгі векторлар кейде нақты векторлар немесе полярлық векторлар деп аталады, оларды псевдовекторлардан ажырату үшін. Псевдовекторлар көбінесе екі нақты вектордың векторлық көбейтіндісі ретінде кездеседі. Псевдовектордың бір мысалы бұрыштық жылдамдық. Автокөлікпен жүргенде және алға қарап отырғанда, әрбір дөңгелектің сол жаққа бағытталған бұрыштық жылдамдық векторы болады. Егер әлем көліктің сол және оң жағын ауыстыратын айнаға шағылыса, осы бұрыштық жылдамдық векторының шағылысы оңға қарай бағытталған болады, бірақ дөңгелектің нақты бұрыштық жылдамдық векторы солға қарай бағытталады, бұл минус белгісіне сәйкес келеді. Псевдовекторлардың басқа мысалдары магнит өрісі, момент немесе жалпы алғанда екі (нақты) вектордың кез келген векторлық көбейтіндісін қамтиды. Векторлар мен псевдовекторлар арасындағы бұл айырмашылық көбінесе ескерілмейді, бірақ ол симметриялық қасиеттерді зерттеуде маңызды болады. Паритет (физика) қараңыз.

An alternative characterization of Euclidean vectors, especially in physics, describes them as lists of quantities which behave in a certain way under a coordinate transformation. A contravariant vector is required to have components that "transform opposite to the basis" under changes of basis. The vector itself does not change when the basis is transformed; instead, the components of the vector make a change that cancels the change in the basis. In other words, if the reference axes (and the basis derived from it) were rotated in one direction, the component representation of the vector would rotate in the opposite way to generate the same final vector. Similarly, if the reference axes were stretched in one direction, the components of the vector would reduce in an exactly compensating way. Mathematically, if the basis undergoes a transformation described by an invertible matrix M, so that a coordinate vector x is transformed to 1=x′ = Mx, then a contravariant vector v must be similarly transformed via 1=v′ = Mv. This important requirement is what distinguishes a contravariant vector from any other triple of physically meaningful quantities. For example, if v consists of the x, y, and z components of velocity, then v is a contravariant vector: if the coordinates of space are stretched, rotated, or twisted, then the components of the velocity transform in the same way. On the other hand, for instance, a triple consisting of the length, width, and height of a rectangular box could make up the three components of an abstract vector, but this vector would not be contravariant, since rotating the box does not change the box's length, width, and height. Examples of contravariant vectors include displacement, velocity, electric field, momentum, force, and acceleration. In the language of differential geometry, the requirement that the components of a vector transform according to the same matrix of the coordinate transition is equivalent to defining a contravariant vector to be a tensor of contravariant rank one. Alternatively, a contravariant vector is defined to be a tangent vector, and the rules for transforming a contravariant vector follow from the chain rule. Some vectors transform like contravariant vectors, except that when they are reflected through a mirror, they flip and gain a minus sign. A transformation that switches right handedness to left handedness and vice versa like a mirror does is said to change the orientation of space. A vector which gains a minus sign when the orientation of space changes is called a pseudovector or an axial vector. Ordinary vectors are sometimes called true vectors or polar vectors to distinguish them from pseudovectors. Pseudovectors occur most frequently as the cross product of two ordinary vectors. One example of a pseudovector is angular velocity. Driving in a car, and looking forward, each of the wheels has an angular velocity vector pointing to the left. If the world is reflected in a mirror which switches the left and right side of the car, the reflection of this angular velocity vector points to the right, but the actual angular velocity vector of the wheel still points to the left, corresponding to the minus sign. Other examples of pseudovectors include magnetic field, torque, or more generally any cross product of two (true) vectors. This distinction between vectors and pseudovectors is often ignored, but it becomes important in studying symmetry properties. See parity (physics).

Математикалық әдістер

Please provide the English text you want me to translate. I need the content of the "English text" section to perform the translation. I will use the "Existing translation reference" only as a guide for terminology, prioritizing accuracy to the original English meaning.