Вектор: определение, свойства и применение.

Введение

Геометрический объект, обладающий длиной и направлением.

В математике, физике и технике, евклидов вектор или просто вектор (иногда называемый геометрическим вектором или пространственным вектором) — это геометрический объект, имеющий величину (или длину) и направление. Евклидовы векторы могут складываться и масштабироваться, образуя векторное пространство. Евклидов вектор часто представляется направленным отрезком прямой или графически в виде стрелки, соединяющей начальную точку A с конечной точкой B, и обозначается.

Вектор необходим для "переноса" точки A в точку B; латинское слово vector означает "носитель". Впервые он был использован астрономами XVIII века при исследовании планетарного вращения вокруг Солнца. Величина вектора — это расстояние между двумя точками, а направление — направление смещения от A к B. Многие алгебраические операции над действительными числами, такие как сложение, вычитание, умножение и взятие отрицательного значения, имеют близкие аналоги для векторов, операции, которые подчиняются привычным алгебраическим законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Эти операции и связанные с ними законы позволяют рассматривать евклидовы векторы как пример более обобщенного понятия векторов, определяемых просто как элементов векторного пространства. Векторы играют важную роль в физике: скорость и ускорение движущегося объекта, а также силы, действующие на него, могут быть описаны с помощью векторов. Многие другие физические величины также удобно представлять в виде векторов. Хотя большинство из них не представляют расстояния (за исключением, например, положения или перемещения), их величина и направление все равно можно представить длиной и направлением стрелки. Математическое представление физического вектора зависит от системы координат, используемой для его описания. К другим векторным объектам, описывающим физические величины и преобразующимся аналогичным образом при изменении системы координат, относятся псевдовекторы и тензоры.

История

Концепция вектора, как она известна сегодня, является результатом постепенного развития на протяжении более чем 200 лет. Около дюжины ученых внесли значительный вклад в его развитие. В 1835 году Джусто Беллавитис выделил основную идею, сформулировав понятие эквиполлентности. Работая в евклидовой плоскости, он считал эквиполлентными любые пары параллельных отрезков одной и той же длины и ориентации. По сути, он установил отношение эквивалентности на парах точек (биточках) в плоскости и тем самым создал первое векторное пространство в плоскости. Алгебраически мнимая часть, геометрически представляемая прямой линией или радиус-вектором, который, в общем случае, для каждого заданного кватерниона имеет определенную длину и определенное направление в пространстве, может называться векторной частью или просто вектором кватерниона. Несколько других математиков разработали системы, подобные векторным, в середине девятнадцатого века, включая Огюстена Коши, Германа Грассмана, Августа Мёбиуса, графа де Сен-Венана и Мэтью О’Брайена. Работа Грассмана 1840 года «Theorie der Ebbe und Flut» (Теория приливов и отливов) стала первой системой пространственного анализа, схожей с современной, и содержала идеи, соответствующие векторному произведению, скалярному произведению и векторному дифференцированию. Работа Грассмана оставалась в значительной степени незамеченной до 1870-х годов. В чистой математике вектор определяется более общо как любой элемент векторного пространства. В этом контексте векторы — это абстрактные сущности, которые могут, но не обязаны, характеризоваться величиной и направлением. Это обобщенное определение подразумевает, что вышеупомянутые геометрические объекты являются частным случаем векторов, поскольку они являются элементами особого типа векторного пространства, называемого евклидовым пространством. Данная статья посвящена векторам, строго определенным как стрелки в евклидовом пространстве. Когда возникает необходимость отличать эти специальные векторы от векторов, определенных в чистой математике, их иногда называют геометрическими, пространственными или евклидовыми векторами. Будучи стрелкой, евклидов вектор обладает определенной начальной и конечной точками. Вектор с фиксированной начальной и конечной точками называется связанным вектором. Если важны только величина и направление вектора, то конкретная начальная точка не имеет значения, и вектор называется свободным вектором. Таким образом, две стрелки в пространстве представляют один и тот же свободный вектор, если они имеют одинаковую величину и направление, то есть эквиполлентны, если четырёхугольник ABB′A′ является параллелограммом. Если в евклидовом пространстве выбрана система координат, то свободный вектор эквивалентен связанному вектору той же величины и направления, начальная точка которого находится в начале координат. Термин «вектор» также имеет обобщения на более высокие размерности и более формальные подходы с гораздо более широким спектром применения.

The vector concept, as it is known today, is the result of a gradual development over a period of more than 200 years. About a dozen people contributed significantly to its development. In 1835, Giusto Bellavitis abstracted the basic idea when he established the concept of equipollence. Working in a Euclidean plane, he made equipollent any pair of parallel line segments of the same length and orientation. Essentially, he realized an equivalence relation on the pairs of points (bipoints) in the plane, and thus erected the first space of vectors in the plane. The algebraically imaginary part, being geometrically constructed by a straight line, or radius vector, which has, in general, for each determined quaternion, a determined length and determined direction in space, may be called the vector part, or simply the vector of the quaternion. Several other mathematicians developed vector like systems in the middle of the nineteenth century, including Augustin Cauchy, Hermann Grassmann, August Möbius, Comte de Saint Venant, and Matthew O'Brien. Grassmann's 1840 work Theorie der Ebbe und Flut (Theory of the Ebb and Flow) was the first system of spatial analysis that is similar to today's system, and had ideas corresponding to the cross product, scalar product and vector differentiation. Grassmann's work was largely neglected until the 1870s. In pure mathematics, a vector is defined more generally as any element of a vector space. In this context, vectors are abstract entities which may or may not be characterized by a magnitude and a direction. This generalized definition implies that the above mentioned geometric entities are a special kind of vectors, as they are elements of a special kind of vector space called Euclidean space. This particular article is about vectors strictly defined as arrows in Euclidean space. When it becomes necessary to distinguish these special vectors from vectors as defined in pure mathematics, they are sometimes referred to as geometric, spatial, or Euclidean vectors. Being an arrow, a Euclidean vector possesses a definite initial point and terminal point. A vector with fixed initial and terminal point is called a bound vector. When only the magnitude and direction of the vector matter, then the particular initial point is of no importance, and the vector is called a free vector. Thus two arrows and in space represent the same free vector if they have the same magnitude and direction: that is, they are equipollent if the quadrilateral ABB′A′ is a parallelogram. If the Euclidean space is equipped with a choice of origin, then a free vector is equivalent to the bound vector of the same magnitude and direction whose initial point is the origin. The term vector also has generalizations to higher dimensions, and to more formal approaches with much wider applications.

Дополнительная информация

В классической геометрии Евклида (т. е. синтетической геометрии) векторы были введены (в XIX веке) как классы эквивалентности по отношению эквиполентности, упорядоченных пар точек; две пары (A, B) и (C, D) считаются эквиполентными, если точки A, B, D, C в этом порядке образуют параллелограмм. Такой класс эквивалентности называется вектором, точнее, евклидовым вектором. Класс эквивалентности пары (A, B) часто обозначается…

Евклидов вектор, таким образом, представляет собой класс эквивалентности направленных отрезков с одинаковой величиной (например, длиной отрезка (A, B)) и одинаковым направлением (например, направлением от A к B). В физике евклидовы векторы используются для представления физических величин, обладающих как величиной, так и направлением, но не привязанных к конкретному месту, в отличие от скаляров, которые не имеют направления.

Обобщения

В физике, а также в математике, вектор часто отождествляется с набором компонентов или списком чисел, которые выступают в качестве скалярных коэффициентов для множества базисных векторов. Когда базис преобразуется, например, посредством вращения или растяжения, то компоненты любого вектора относительно этого базиса также преобразуются в противоположном направлении. Сам вектор не изменился, но изменился базис, поэтому компоненты вектора должны измениться, чтобы это компенсировать. Вектор называется ковариантным или контравариантным, в зависимости от того, как преобразование компонентов вектора связано с преобразованием базиса. В общем случае, контравариантные векторы – это «обычные векторы» с единицами измерения расстояния (например, перемещение) или расстояния, умноженного на другую единицу (например, скорость или ускорение); ковариантные векторы, напротив, имеют единицы, обратные расстоянию, такие как градиент. Если изменить единицы измерения (частный случай изменения базиса) с метров на миллиметры, с коэффициентом масштабирования 1/1000, перемещение в 1 м станет 1000 мм – контравариантное изменение числового значения. В отличие от этого, градиент в 1 К/м станет 0,001 К/мм – ковариантное изменение значения (подробнее см. ковариантность и контравариантность векторов). Тензоры – это другой тип величин, которые ведут себя подобным образом; вектор является одним из типов тензоров. В чистой математике вектор – это любой элемент векторного пространства над некоторым полем и часто представляется в виде координатного вектора. Векторы, описанные в этой статье, являются очень частным случаем этого общего определения, поскольку они контравариантны относительно окружающего пространства. Контравариантность отражает физическую интуицию, лежащую в основе представления о том, что вектор обладает «величиной и направлением».

Разложение или разрешение

Как объяснено выше, вектор часто описывается набором векторных компонент, которые в сумме дают данный вектор. Обычно эти компоненты представляют собой проекции вектора на набор взаимно перпендикулярных осей отсчета (базисных векторов). Говорят, что вектор разложен или представлен в виде компонент относительно этого набора осей. Разложение вектора на компоненты не является единственным, поскольку оно зависит от выбора осей, на которые производится проецирование вектора. Более того, использование декартовых единичных векторов, например, в качестве базиса для представления вектора не является обязательным. Векторы также могут быть выражены через произвольный базис, включая единичные векторы цилиндрической системы координат или сферической системы координат. Последние два варианта более удобны для решения задач, обладающих цилиндрической или сферической симметрией соответственно. Выбор базиса не влияет на свойства вектора или его поведение при преобразованиях. Вектор также можно разложить относительно "нефиксированных" базисных векторов, которые изменяют свою ориентацию в зависимости от времени или пространства. Например, вектор в трехмерном пространстве можно разложить относительно двух осей, соответственно нормальной и касательной к поверхности (см. рисунок). Кроме того, радиальная и тангенциальная компоненты вектора связаны с радиусом вращения объекта. Первая параллельна радиусу, а вторая – ортогональна ему. В этих случаях каждая из компонент может быть, в свою очередь, разложена относительно фиксированной системы координат или базисного набора (например, глобальной системы координат или инерциальной системы отсчета).

Физика

Векторы широко используются в физике и других науках.

Длина и единицы

В абстрактных векторных пространствах длина стрелки зависит от безразмерного масштаба. Если она представляет, например, силу, то "масштаб" имеет физическую размерность длина/сила. Таким образом, обычно сохраняется согласованность масштаба для величин одной и той же размерности, но в противном случае соотношения масштабов могут различаться; например, если "1 ньютон" и "5 метров" изображены стрелками длиной 2 см, то масштабы будут равны 1 м:50 Н и 1:250 соответственно. Равная длина векторов разных размерностей не имеет особого значения, если в системе, которую представляет диаграмма, нет некой внутренней постоянной пропорциональности. Кроме того, длина единичного вектора (имеющего размерность длины, а не длины/силы и т.п.) не имеет инвариантного значения относительно системы координат.

Функции с векторными значениями

Часто в областях физики и математики вектор изменяется во времени, то есть зависит от временного параметра t. Например, если r обозначает радиус-вектор частицы, то r(t) задает параметрическое представление траектории этой частицы. Функции, принимающие векторные значения, можно дифференцировать и интегрировать, дифференцируя или интегрируя компоненты вектора, и многие известные правила дифференциального и интегрального исчисления остаются справедливыми для производных и интегралов векторных функций.

Векторы, псевдовекторы и преобразования

Альтернативная характеристика евклидовых векторов, особенно в физике, описывает их как списки величин, которые ведут себя определенным образом при преобразовании координат. Контравариантный вектор должен иметь компоненты, которые "трансформируются противоположно базису" при изменении базиса. Сам вектор не изменяется при преобразовании базиса; вместо этого компоненты вектора вносят изменение, которое компенсирует изменение базиса. Другими словами, если оси отсчета (и базис, производный от них) вращались в одном направлении, то компонентное представление вектора вращалось бы в противоположном направлении, чтобы получить тот же конечный вектор. Аналогично, если оси отсчета растянуты в одном направлении, то компоненты вектора уменьшались бы точно компенсирующим образом. Математически, если базис претерпевает преобразование, описанное обратимой матрицей M, так что координатный вектор x преобразуется в x′ = Mx, то контравариантный вектор v должен преобразовываться аналогично: v′ = Mv. Это важное требование отличает контравариантный вектор от любой другой тройки физически значимых величин. Например, если v состоит из компонент скорости x, y и z, то v является контравариантным вектором: если координаты пространства растягиваются, вращаются или искажаются, то компоненты скорости преобразуются тем же образом. С другой стороны, например, тройка, состоящая из длины, ширины и высоты прямоугольной коробки, может составлять три компоненты абстрактного вектора, но этот вектор не будет контравариантным, поскольку вращение коробки не изменяет ее длину, ширину и высоту. Примеры контравариантных векторов включают смещение, скорость, электрическое поле, импульс, силу и ускорение. На языке дифференциальной геометрии требование, чтобы компоненты вектора преобразовывались согласно той же матрице перехода координат, эквивалентно определению контравариантного вектора как тензора контравариантного ранга один. В качестве альтернативы, контравариантный вектор определяется как тангенциальный вектор, а правила преобразования контравариантного вектора следуют из правила цепочки. Некоторые векторы преобразуются как контравариантные векторы, за исключением того, что при отражении через зеркало они меняют направление и получают знак минус. Преобразование, которое меняет правостороннюю систему координат на левостороннюю и наоборот, подобно зеркалу, называется изменением ориентации пространства. Вектор, который получает знак минус при изменении ориентации пространства, называется псевдовектором или аксиальным вектором. Обычные векторы иногда называют истинными или полярными векторами, чтобы отличить их от псевдовекторов. Псевдовекторы чаще всего возникают как векторное произведение двух обычных векторов. Одним из примеров псевдовектора является угловая скорость. Когда вы едете в машине и смотрите вперед, каждый из колес имеет вектор угловой скорости, направленный влево. Если мир отражен в зеркале, которое меняет левую и правую стороны автомобиля, отражение этого вектора угловой скорости будет направлено вправо, но фактический вектор угловой скорости колеса все еще будет направлен влево, что соответствует знаку минус. Другие примеры псевдовекторов включают магнитное поле, момент силы или, в более общем смысле, любое векторное произведение двух (истинных) векторов. Это различие между векторами и псевдовекторами часто игнорируется, но оно становится важным при изучении свойств симметрии. См. паритет (физика).

An alternative characterization of Euclidean vectors, especially in physics, describes them as lists of quantities which behave in a certain way under a coordinate transformation. A contravariant vector is required to have components that "transform opposite to the basis" under changes of basis. The vector itself does not change when the basis is transformed; instead, the components of the vector make a change that cancels the change in the basis. In other words, if the reference axes (and the basis derived from it) were rotated in one direction, the component representation of the vector would rotate in the opposite way to generate the same final vector. Similarly, if the reference axes were stretched in one direction, the components of the vector would reduce in an exactly compensating way. Mathematically, if the basis undergoes a transformation described by an invertible matrix M, so that a coordinate vector x is transformed to 1=x′ = Mx, then a contravariant vector v must be similarly transformed via 1=v′ = Mv. This important requirement is what distinguishes a contravariant vector from any other triple of physically meaningful quantities. For example, if v consists of the x, y, and z components of velocity, then v is a contravariant vector: if the coordinates of space are stretched, rotated, or twisted, then the components of the velocity transform in the same way. On the other hand, for instance, a triple consisting of the length, width, and height of a rectangular box could make up the three components of an abstract vector, but this vector would not be contravariant, since rotating the box does not change the box's length, width, and height. Examples of contravariant vectors include displacement, velocity, electric field, momentum, force, and acceleration. In the language of differential geometry, the requirement that the components of a vector transform according to the same matrix of the coordinate transition is equivalent to defining a contravariant vector to be a tensor of contravariant rank one. Alternatively, a contravariant vector is defined to be a tangent vector, and the rules for transforming a contravariant vector follow from the chain rule. Some vectors transform like contravariant vectors, except that when they are reflected through a mirror, they flip and gain a minus sign. A transformation that switches right handedness to left handedness and vice versa like a mirror does is said to change the orientation of space. A vector which gains a minus sign when the orientation of space changes is called a pseudovector or an axial vector. Ordinary vectors are sometimes called true vectors or polar vectors to distinguish them from pseudovectors. Pseudovectors occur most frequently as the cross product of two ordinary vectors. One example of a pseudovector is angular velocity. Driving in a car, and looking forward, each of the wheels has an angular velocity vector pointing to the left. If the world is reflected in a mirror which switches the left and right side of the car, the reflection of this angular velocity vector points to the right, but the actual angular velocity vector of the wheel still points to the left, corresponding to the minus sign. Other examples of pseudovectors include magnetic field, torque, or more generally any cross product of two (true) vectors. This distinction between vectors and pseudovectors is often ignored, but it becomes important in studying symmetry properties. See parity (physics).

Математические методы

.
.
.
.