Зермелоның жиын теориясының аксиомалары

Кіріспе

Математикалық жиын теориясы жүйесі. Эрнст Зермелоның 1908 жылы жариялаған мақаласында баяндалған Зермело жиын теориясы (кейде Z деп белгіленеді) – қазіргі заманғы Зермело-Френкель жиын теориясының (ZF) және оның кеңейтімдерінің, мысалы, фон Нейман-Бернайс-Гёдель жиын теориясының (NBG) алға бабасы болып табылады. Ол өзінен кейінгі теориялардан белгілі бір айырмашылықтарға ие, олар әрқашан толық түсінілмейді және көбінесе қате айтылады. Осы мақалада бастапқы аксиомалар, бастапқы мәтінмен (ағылшын тіліне аударылған) және бастапқы нөмірлеумен келтірілген.

Зермелоның көпшілік теориясының аксиомалары

Зермелоның жиынтық теориясының аксиомалары нысандар үшін тұжырымдалған, олардың кейбіреулері (бірақ міндетті түрде барлығы емес) жиындар, ал қалғандары жиындар емес, элементар нысандар болып табылады. Зермелоның тіліне мүшелік қатынасы ∈, теңдік қатынасы = (егер ол негізгі логикаға енгізілмесе), және нысан жиын болып табылады ма, жоқ па, анықтайтын бірлік предикат кіреді. Жиынтық теориясының кейінгі нұсқалары барлық нысандар жиындар деп есептейді, сондықтан элементар нысандар жоқ және бірлік предикатқа қажеттілік туындамайды. АКСИОМА I. Көлемділік аксиомасы (Axiom der Bestimmtheit) "Егер M жиынының әрбір мүшесі N жиынының мүшесі болса және керісінше, онда M = N. Қысқасы, әрбір жиын оның мүшелерімен толық анықталады." АКСИОМА II. Элементар жиындар аксиомасы (Axiom der Elementarmengen) "Элементі жоқ, нөлдік жиын, ∅ бар. Егер a доменнің кез келген нысаны болса, онда a-ны ғана мүше ретінде қамтитын {a} жиыны бар. Егер a және b доменнің кез келген екі нысаны болса, онда a және b-ны мүшелер ретінде қамтитын {a, b} жиыны әрқашан бар, бірақ олардан ерекшеленетін x нысаны жоқ." Жұптар аксиомасына қараңыз. АКСИОМА III. Ажырату аксиомасы (Axiom der Aussonderung) "Егер –(x) қасиеті M жиынының барлық элементтері үшін анықталған болса, M жиыны M' кіші жиынына ие болады, ол M жиынының –(x) қасиетін қанағаттандыратын элементтерін ғана қамтиды." АКСИОМА IV. Күш жиыны аксиомасы (Axiom der Potenzmenge) "Кез келген T жиынына T' жиыны сәйкес келеді, ол T жиынының барлық кіші жиындарын мүшелер ретінде қамтиды." АКСИОМА V. Біріктіру аксиомасы (Axiom der Vereinigung) "Кез келген T жиынына ∪T жиыны сәйкес келеді, ол T жиынының барлық мүшелерінің мүшелерін қамтиды." АКСИОМА VI. Таңдау аксиомасы (Axiom der Auswahl) "Егер T жиынының мүшелерінің барлығы ∅-дан өзгеше және өзара бөлінген жиындар болса, онда оның ∪T біріктіруі T жиынының әрбір мүшесімен ортақ бір ғана элементі бар кем дегенде бір S1 кіші жиынын қамтиды." АКСИОМА VII. Шеңберсіздік аксиомасы (Axiom des Unendlichen) "Доменде нөлдік жиынды мүше ретінде қамтитын және әрбір мүшесі a үшін {a} түріндегі қосымша мүшеге сәйкес келетін, яғни әрбір мүшесі a үшін сәйкес {a} жиынын мүше ретінде қамтитын кем дегенде бір Z жиыны бар."

The axioms of Zermelo set theory are stated for objects, some of which (but not necessarily all) are sets, and the remaining objects are urelements and not sets. Zermelo's language implicitly includes a membership relation ∈, an equality relation = (if it is not included in the underlying logic), and a unary predicate saying whether an object is a set. Later versions of set theory often assume that all objects are sets so there are no urelements and there is no need for the unary predicate. AXIOM I. Axiom of extensionality (Axiom der Bestimmtheit) "If every element of a set M is also an element of N and vice versa then M N. Briefly, every set is determined by its elements." AXIOM II. Axiom of elementary sets (Axiom der Elementarmengen) "There exists a set, the null set, ∅, that contains no element at all. If a is any object of the domain, there exists a set {a} containing a and only a as an element. If a and b are any two objects of the domain, there always exists a set {a, b} containing as elements a and b but no object x distinct from them both." See Axiom of pairs. AXIOM III. Axiom of separation (Axiom der Aussonderung) "Whenever the propositional function –(x) is defined for all elements of a set M, M possesses a subset M' containing as elements precisely those elements x of M for which –(x) is true." AXIOM IV. Axiom of the power set (Axiom der Potenzmenge) "To every set T there corresponds a set T' , the power set of T, that contains as elements precisely all subsets of T ." AXIOM V. Axiom of the union (Axiom der Vereinigung) "To every set T there corresponds a set ∪T, the union of T, that contains as elements precisely all elements of the elements of T ." AXIOM VI. Axiom of choice (Axiom der Auswahl) "If T is a set whose elements all are sets that are different from ∅ and mutually disjoint, its union ∪T includes at least one subset S1 having one and only one element in common with each element of T ." AXIOM VII. Axiom of infinity (Axiom des Unendlichen) "There exists in the domain at least one set Z that contains the null set as an element and is so constituted that to each of its elements a there corresponds a further element of the form {a}, in other words, that with each of its elements a it also contains the corresponding set {a} as element."

Стандартты жиынтық теориясымен байланысы

Ең көп тараған және қабылданған жиынтық теориясы ZFC деп аталады, ол таңдау аксиомасын (AC) қамтитын Зермело-Франкель жиынтық теориясынан тұрады. Сілтемелер Зермело теориясының аксиомаларының сәйкес келетін жерлерін көрсетеді. "Элементарлық жиынтықтарға" тура сәйкес келетін анықтама жоқ. (Кейіннен, жеке жиынтықтың қазіргі кезде "Жұптар аксиомасы" деп аталатын аксиомадан шығаруға болатыны көрсетілді. Егер a болса, a және a бар, демек {a,a} бар, ал экстенсионалдылық бойынша {a,a} = {a}.) Бос жиынтық аксиомасы шексіздік аксиомасымен қабылданады және енді оның құрамына қосылған. Зермело жиынтық теориясы алмастыру және реттелу аксиомаларын қамтымайды. Аксиоманы алғаш 1922 жылы Абрахам Френкель және Торальф Сколем жариялаған, олар тәуелсіз түрде Зермело аксиомаларының {Z0, Z1, Z2, …} жиынтығының бар екенін дәлелдей алмайтынын анықтаған, мұнда Z0 – табиғи сандар жиынтығы, ал Zn+1 – Zn жиынтығының қуаты. Олар екеуі де осыны дәлелдеу үшін алмастыру аксиомасының қажеттігін түсінді. Келесі жылы Джон фон Нейман өзінің ординалдар теориясын құру үшін реттелу аксиомасының қажеттігін көрсетті. Реттелу аксиомасын 1925 жылы фон Нейман тұжырымдаған. Қазіргі ZFC жүйесінде, бөліну аксиомасында айтылған "ұсынымдық функция" "параметрлері бар бірінші реттік формуламен анықталатын кез келген қасиет" ретінде түсіндіріледі, сондықтан бөліну аксиомасы аксиомалық схемамен ауыстырылады. "Бірінші реттік формула" ұғымы 1908 жылы Зермело аксиомалар жүйесін жариялаған кезде белгілі болған жоқ, және ол кейіннен бұл түсіндірмені тым шектеулі деп қабылдамады. Зермело жиынтық теориясы әдетте бірінші реттік теория ретінде қарастырылады, онда бөліну аксиомасы әр бірінші реттік формула үшін аксиомалық схемамен ауыстырылады. Оны екінші реттік логикадағы теория ретінде де қарастыруға болады, онда бөліну аксиомасы тек бір аксиома болып табылады. Зермело жиынтық теориясының екінші реттік түсіндірмесі, мүмкін, Зермелоның өзінің түсінігіне жақын және бірінші реттік түсіндірмеден күштірек. Коммулятивтік иерархиядағы қатарлы жиын – егер шекті реттік сан ең кішкентай шексіз реттік сандан үлкен болса, ZFC ішінде екінші реттік Зермело жиынтық теориясының моделін құрайтындықтан, екінші реттік Зермело жиынтық теориясының (сонымен қатар бірінші реттік Зермело жиынтық теориясының) сәйкестігі ZFC теоремасы болып табылады. Егер біз , санаусыз мықты шекті кардиналдың болуы мұндай модельде орындалмайды; сондықтан &beth;ω (ең кішкентай санаусыз мықты шекті кардинал) екінші реттік Зермело жиынтық теориясында дәлелденбеуі мүмкін. Сол сияқты, жиынтық (мұнда L – құрастырылатын ғалам) бірінші реттік Зермело жиынтық теориясының моделін құрайды, онда санаусыз әлсіз шекті кардиналдың болуы орындалмайды, бұл бірінші реттік Зермело жиынтық теориясы ең кішкентай жеке кардиналдың бар екенін дәлелдей алмайтынын көрсетеді. Мұндай модельдегі жалғыз шексіз кардиналдар – шекті индекстік ординалдарға шектелген алеф сандары. Шексіздік аксиомасы әдетте қазір бірінші шексіз фон Нейман ординалының бар екенін растау үшін өзгертіледі; бастапқы Зермело аксиомалары осы жиынның бар екенін дәлелдей алмайды, ал өзгертілген Зермело аксиомалары Зермелоның шексіздік аксиомасын дәлелдей алмайды. Зермело аксиомалары (түпнұсқа немесе өзгертілген) жиын ретінде немесе шексіз индексі бар жиынтықтардың жиынтық иерархиясының кез келген дәрежесінің бар екенін дәлелдей алмайды. Кез келген тұжырымдауда, Зермело жиынтық теориясы осындай рет түрінің бар екендігін дәлелдеуіне қарамастан, фон Нейманның ординалдың бар екенін дәлелдей алмайды; сондықтан Зермело жиынтық теориясы үшін ординалдардың фон Нейман анықтамасы қолданылмайды. Зермело жинақ емес элементтердің бар болуына жол берді, олар элементтері жоқ; олар қазір жиынтық теориясынан алынып тасталады.

The most widely used and accepted set theory is known as ZFC, which consists of Zermelo–Fraenkel set theory including the axiom of choice (AC). The links show where the axioms of Zermelo's theory correspond. There is no exact match for "elementary sets". (It was later shown that the singleton set could be derived from what is now called the "Axiom of pairs". If a exists, a and a exist, thus {a,a} exists, and so by extensionality {a,a} = {a}.) The empty set axiom is already assumed by axiom of infinity, and is now included as part of it. Zermelo set theory does not include the axioms of replacement and regularity. The axiom of replacement was first published in 1922 by Abraham Fraenkel and Thoralf Skolem, who had independently discovered that Zermelo's axioms cannot prove the existence of the set {Z0, Z1, Z2, } where Z0 is the set of natural numbers and Zn+1 is the power set of Zn. They both realized that the axiom of replacement is needed to prove this. The following year, John von Neumann pointed out that the axiom of regularity is necessary to build his theory of ordinals. The axiom of regularity was stated by von Neumann in 1925. In the modern ZFC system, the "propositional function" referred to in the axiom of separation is interpreted as "any property definable by a first order formula with parameters", so the separation axiom is replaced by an axiom schema. The notion of "first order formula" was not known in 1908 when Zermelo published his axiom system, and he later rejected this interpretation as being too restrictive. Zermelo set theory is usually taken to be a first order theory with the separation axiom replaced by an axiom scheme with an axiom for each first order formula. It can also be considered as a theory in second order logic, where now the separation axiom is just a single axiom. The second order interpretation of Zermelo set theory is probably closer to Zermelo's own conception of it, and is stronger than the first order interpretation. Since —where is the rank set in the cumulative hierarchy—forms a model of second order Zermelo set theory within ZFC whenever is a limit ordinal greater than the smallest infinite ordinal , it follows that the consistency of second order Zermelo set theory (and therefore also that of first order Zermelo set theory) is a theorem of ZFC. If we let , the existence of an uncountable strong limit cardinal is not satisfied in such a model; thus the existence of &beth;ω (the smallest uncountable strong limit cardinal) cannot be proved in second order Zermelo set theory. Similarly, the set (where L is the constructible universe) forms a model of first order Zermelo set theory wherein the existence of an uncountable weak limit cardinal is not satisfied, showing that first order Zermelo set theory cannot even prove the existence of the smallest singular cardinal, Within such a model, the only infinite cardinals are the aleph numbers restricted to finite index ordinals. The axiom of infinity is usually now modified to assert the existence of the first infinite von Neumann ordinal ; the original Zermelo axioms cannot prove the existence of this set, nor can the modified Zermelo axioms prove Zermelo's axiom of infinity. Zermelo's axioms (original or modified) cannot prove the existence of as a set nor of any rank of the cumulative hierarchy of sets with infinite index. In any formulation, Zermelo set theory cannot prove the existence of the von Neumann ordinal , despite proving the existence of such an order type; thus the von Neumann definition of ordinals is not employed for Zermelo set theory. Zermelo allowed for the existence of urelements that are not sets and contain no elements; these are now usually omitted from set theories.

Мак Лейн жиындар теориясы

Мак-Лейн жинақтар теориясы, - бұл Жермело жинақтар теориясы, онда бөліну аксиомасы барлық кванторлары шектелген бірінші реттік формулалармен шектелген. Мак-Лейн жинақтар теориясы күштілігі жағынан табиғи сан объектісі бар топос теориясына немесе Principia Mathematica жүйесіне ұқсас. Ол жинақтар теориясы немесе логикамен тікелей байланысты емес, дерлік барлық қалыпты математиканы жүргізуге жеткілікті.

Зермелоның жұмысының мақсаты

Кіріспеде жиын теориясы пәнінің өзінің болуы "кейбір қарама-қайшылықтар немесе "антиномиялар" арқасында қауіп төндіріп тұрғандай көрінеді, олар оның принциптерінен – біздің ойлауымызды қажетті түрде басқаратын принциптерден – туындауы мүмкін және оған әзірге толыққанды қанағаттандырарлық шешім табылмаған". Зермело, әрине, "Расселдің антиномиясына" сілтеме жасап отыр. Ол Георг Кантор мен Рихард Дедекиндтің бастапқы теориясын бірнеше анықтамаларға және жеті принципке немесе аксиомаға қалай келтіруге болатынын көрсетуді көздейді. Ол аксиомалардың дұрыс екенін дәлелдей алмағанын айтады. Олардың тұтастығын растау үшін конструктивтік емес аргумент мынадай: Vα-ны α үшін 0, 1, 2, ..., ω, ω+1, ω+2, ..., ω·2 сандарының бірі ретінде былай анықтаңыз: V0 – бос жиын. β+1 түріндегі α-ның мұрагері үшін Vα, Vβ-ның барлық ішкі жиындарының жиыны ретінде анықталады. α шексіз болған жағдайда (мысалы, ω, ω·2), Vα, β<α үшін Vβ жиындарының бірігісі ретінде анықталады. Онда Зермело жиын теориясының аксиомалары тұтас, себебі олар Vω·2 моделінде дұрыс. Конструктивтік емес ойшылдар мұны дұрыс аргумент деп санауы мүмкін, бірақ конструктившілер оған келіспейді: Vω-ға дейінгі жиындарды құруда ешқандай мәселе болмаса да, Vω+1 құрылымы түсініксіз, өйткені Vω-ның кез келген ішкі жиынын конструктивті түрде анықтау мүмкін емес. Бұл аргументті Зермело жиын теориясына бір ғана жаңа шексіздік аксиомасын қосу арқылы дұрыс дәлелге айналдыруға болады, яғни Vω·2 бар екенін қосу. Бұл конструктившілерді сендіре қоймаса да, Зермело жиын теориясының тұтастығын Зермело теориясынан көп айырмашылығы жоқ, тек сәл күшті теориямен дәлелдеуге болатынын көрсетеді.

Бөлу аксиомасы

Зермело өзінің жүйесінің III аксиомасы антиномияларды жоюға жауапты екенін түсіндіреді. Ол Кантордың бастапқы анықтамасынан төмендегідей ерекшеленеді. Жинақтар кез келген логикалық тұрғыдан анықталатын ұғым арқылы тәуелсіз түрде анықталуы мүмкін емес. Олар бұрын құрастырылған жиынтықтардан біртекті түрде құрастырылуы керек. Мысалы, оларды қуат жиынтығын алу арқылы құрастыруға болады, немесе оларды "берілген" жиынтықтың ішкі жиынтықтары ретінде бөліп алуға болады. Оның айтуынша, бұл "барлық жиынтықтар жинағы" немесе "барлық ординал сандар жинағы" сияқты қайшылықты идеяларды жояды. Ол Расселл парадоксын мына теорема арқылы шешеді: "Кез келген жиынның өзінің құрамына кірмейтін кемінде бір ішкі жиыны болады". делік, AXIOM III бойынша "" ұғымымен бөлінген жиынтықтың ішкі жиыны болсын. Егер , онда x элементі бар, және ол x-те (яғни өзінде) болады, бұл -ның анықтамасына қайшы келеді. Егер -та кірмесе, және егер M-нің элементі болса, онда M-нің "" анықтамасын қанағаттандыратын элементі болады, демек -та болады, бұл қайшылық. Сондықтан, -ның M-ге кіретіні туралы болжам дұрыс емес, теорема дәлелденді. Осылайша, әмбебап домен B-нің барлық объектілері бір жиынның элементтері бола алмайды. "Бұл бізді толғандырған Расселдің антиномиясын шешеді". Бұл "B домені" мәселесін қалдырды, ол бір нәрсеге сілтеме жасайтын сияқты. Бұл дұрыс класс идеясына әкелді.

Пайдаланылған әдебиеттер

Please provide the English text and the existing translation reference. I need both to complete the translation as requested. I will then provide only the final Kazakh translation.

Жалпы сілтемелер

Please provide the English text and the existing translation reference. I need both to complete the translation as requested.

Just paste them here, like this:

English text: This is an example sentence.
Existing translation reference: Another example sentence. Ағылшынша аудармасы: This is another example.