Введение

Система математической теории множеств

Теория множеств Зермело (иногда обозначаемая Z), представленная в основополагающей работе Эрнста Зермело 1908 года, является предшественницей современной теории множеств Зермело — Френкеля (ZF) и её расширений, таких как теория множеств фон Неймана — Бернейса — Гёделя (NBG). Она имеет некоторые отличия от своих потомков, которые не всегда понятны и часто неверно интерпретируются. В данной статье представлены оригинальные аксиомы, с оригинальным текстом (переведенным на английский язык) и оригинальной нумерацией.

Аксиомы теории множеств Зермело

Аксиомы теории множеств Зермело сформулированы для объектов, некоторые из которых (но не обязательно все) являются множествами, а остальные объекты – уэлементами, не являющимися множествами. Язык Зермело неявно включает отношение принадлежности ∈, отношение равенства = (если оно не включено в базовую логику) и унарный предикат, указывающий, является ли объект множеством. Более поздние версии теории множеств часто предполагают, что все объекты являются множествами, поэтому уэлементов нет и нет необходимости в унарном предикате. АКСИОМА I. Аксиома экстенсиональности (Axiom der Bestimmtheit) «Если каждый элемент множества M также является элементом N и наоборот, то M = N. Кратко говоря, каждое множество определяется своими элементами». АКСИОМА II. Аксиома элементарных множеств (Axiom der Elementarmengen) «Существует множество, пустое множество, ∅, которое не содержит ни одного элемента. Если a – любой объект области, то существует множество {a}, содержащее a и только a в качестве элемента. Если a и b – любые два объекта области, то всегда существует множество {a, b}, содержащее в качестве элементов a и b, но не содержащее объект x, отличный от обоих». См. аксиому пар. АКСИОМА III. Аксиома выделения (Axiom der Aussonderung) «Всякий раз, когда пропозициональная функция φ(x) определена для всех элементов множества M, M обладает подмножеством M', содержащим в качестве элементов именно те элементы x из M, для которых φ(x) истинна». АКСИОМА IV. Аксиома множества степеней (Axiom der Potenzmenge) «Каждому множеству T соответствует множество T', множество степеней T, которое содержит в качестве элементов точно все подмножества T». АКСИОМА V. Аксиома объединения (Axiom der Vereinigung) «Каждому множеству T соответствует множество ∪T, объединение T, которое содержит в качестве элементов именно все элементы элементов T». АКСИОМА VI. Аксиома выбора (Axiom der Auswahl) «Если T – множество, все элементы которого являются множествами, отличными от ∅ и попарно непересекающимися, то его объединение ∪T включает в себя по крайней мере одно подмножество S1, имеющее ровно один общий элемент с каждым элементом T». АКСИОМА VII. Аксиома бесконечности (Axiom des Unendlichen) «В области существует по крайней мере одно множество Z, которое содержит пустое множество в качестве элемента и устроено таким образом, что каждому из его элементов a соответствует дополнительный элемент вида {a}, другими словами, что вместе с каждым своим элементом a оно также содержит соответствующее множество {a} в качестве элемента».

Связь со стандартной теорией множеств

Наиболее широко используемая и принятая теория множеств известна как ZFC, которая состоит из теории множеств Зермело-Фрэнкеля, включая аксиому выбора (AC). Ссылки указывают на соответствие аксиом теории Зермело. Точного соответствия для "элементарных множеств" нет. (Позже было показано, что множество, состоящее из одного элемента, можно вывести из того, что сейчас называется "аксиомой пар". Если a существует, то a и a существуют, следовательно, {a, a} существует, и, по свойству экстенсиональности, {a, a} = {a}.) Аксиома пустого множества уже подразумевается аксиомой бесконечности и теперь включена в её состав. Теория множеств Зермело не включает аксиомы замены и регулярности. Аксиома замены была впервые опубликована в 1922 году Абрахамом Френкелем и Торальфом Сколемом, которые независимо друг от друга обнаружили, что аксиомы Зермело не могут доказать существование множества {Z0, Z1, Z2, ...}, где Z0 – множество натуральных чисел, а Zn+1 – множество степеней Zn. Они оба поняли, что для доказательства этого необходима аксиома замены. В следующем году Джон фон Нейман указал, что аксиома регулярности необходима для построения его теории ординалов. Аксиому регулярности сформулировал фон Нейман в 1925 году. В современной системе ZFC "представляющая функция", упоминаемая в аксиоме выделения, интерпретируется как "любое свойство, определяемое формулой первого порядка с параметрами", поэтому аксиома выделения заменяется аксиомой-схемой. Понятие "формулы первого порядка" не было известно в 1908 году, когда Зермело опубликовал свою систему аксиом, и позже он отверг эту интерпретацию как слишком ограничивающую. Теория множеств Зермело обычно рассматривается как теория первого порядка с аксиомой выделения, замененной аксиомой-схемой, содержащей аксиому для каждой формулы первого порядка. Её также можно рассматривать как теорию в логике второго порядка, где аксиома выделения является единственной аксиомой. Интерпретация теории множеств Зермело в логике второго порядка, вероятно, ближе к исходному замыслу Зермело и сильнее, чем интерпретация в логике первого порядка. Поскольку – где – множество ранга в кумулятивной иерархии – образует модель теории множеств Зермело второго порядка внутри ZFC, когда является предельной ординальной, большей наименьшей бесконечной ординальной, следует, что непротиворечивость теории множеств Зермело второго порядка (и, следовательно, также теории множеств Зермело первого порядка) является теоремой ZFC. Если допустить , то существование несчётного кардинала сильного предела не выполняется в такой модели; таким образом, существование ℶω (наименьшего несчётного кардинала сильного предела) нельзя доказать в теории множеств Зермело второго порядка. Аналогично, множество (где L – конструктивная вселенная) образует модель теории множеств Зермело первого порядка, в которой не выполняется существование несчётного слабого кардинального предела, что показывает, что теория множеств Зермело первого порядка даже не может доказать существование наименьшего сингулярного кардинального числа. В такой модели единственными бесконечными кардиналами являются алефные числа, ограниченные конечными ординалами. Аксиома бесконечности обычно теперь модифицируется, чтобы утверждать существование первого бесконечного ординала фон Неймана; оригинальные аксиомы Зермело не могут доказать существование этого множества, и модифицированные аксиомы Зермело также не могут доказать аксиому бесконечности Зермело. Аксиомы Зермело (оригинальные или модифицированные) не могут доказать существование как множества, ни какого-либо ранга кумулятивной иерархии множеств с бесконечным индексом. В любой формулировке теория множеств Зермело не может доказать существование ординала фон Неймана, хотя и доказывает существование соответствующего типа порядка; таким образом, определение ординала фон Неймана не используется для теории множеств Зермело. Зермело допускал существование урэлементов, которые не являются множествами и не содержат элементов; они теперь обычно исключаются из теорий множеств.

Теория множеств Мак-Лейн

Теория множеств Мак-Лейна, предложенная [автором], является теорией множеств Цермело с аксиомой выделения, ограниченной формулами первого порядка, в которых каждый квантор является ограниченным. Теория множеств Мак-Лейна по своей мощности сопоставима с теорией топосов с объектом натуральных чисел или с системой, представленной в "Principia mathematica". Она достаточно мощна для проведения почти всей обычной математики, не связанной напрямую с теорией множеств или логикой.

Цель статьи Зермело

Во введении утверждается, что само существование дисциплины теории множеств "кажется, подвергается угрозе со стороны определенных противоречий или "антиномий", которые могут быть выведены из ее принципов – принципов, которые, по-видимому, необходимо регулируют наше мышление, – и для которых до сих пор не найдено полностью удовлетворительного решения". Зермело, разумеется, имеет в виду "антиномию Рассела". Он заявляет, что хочет показать, как первоначальная теория Георга Кантора и Рихарда Дедекинда может быть сведена к нескольким определениям и семи принципам или аксиомам. Он говорит, что не смог доказать непротиворечивость этих аксиом. Неконструктивный аргумент в пользу их согласованности выглядит следующим образом. Определим Vα для α, являющегося одним из ординалов 0, 1, 2, ..., ω, ω+1, ω+2, ..., ω·2, следующим образом: V0 – пустое множество. Для α, являющегося преемником вида β+1, Vα определяется как множество всех подмножеств Vβ. Для α, являющегося пределом (например, ω, ω·2), Vα определяется как объединение Vβ для всех β < α. Тогда аксиомы теории множеств Зермело непротиворечивы, поскольку они верны в модели Vω·2. В то время как неконструктивист может рассматривать это как допустимый аргумент, конструктивист, вероятно, не согласится: хотя с построением множеств до Vω нет проблем, построение Vω+1 менее очевидно, поскольку конструктивно определить каждое подмножество Vω невозможно. Этот аргумент можно превратить в корректное доказательство, добавив к теории множеств Зермело единственную новую аксиому бесконечности, а именно утверждение о существовании Vω·2. Это, вероятно, не убедит конструктивиста, но показывает, что непротиворечивость теории множеств Зермело может быть доказана с помощью теории, которая лишь незначительно отличается от самой теории Зермело, будучи немного более мощной.

Аксиомы разделения

Зермело отмечает, что аксиома III его системы отвечает за устранение антиномий. Она отличается от первоначального определения Кантора следующим образом: множества нельзя определять независимо, используя любое произвольное логически определимое понятие. Они должны быть построены каким-то образом из ранее построенных множеств. Например, их можно построить, беря подмножества, или выделять как подмножества уже "данных" множеств. По его словам, это устраняет противоречивые идеи, такие как "множество всех множеств" или "множество всех ординальных чисел". Он разрешает парадокс Рассела посредством следующей теоремы: "Каждое множество обладает хотя бы одним подмножеством, которое не является его элементом". Пусть – подмножество , выделенное по AXIOM III понятием "". Тогда не может быть в . Если находится в , то содержит элемент x, для которого x принадлежит x (то есть сам себе), что противоречит определению . Если не находится в , и предположим, что является элементом M, то является элементом M, удовлетворяющим определению "", и, следовательно, находится в , что является противоречием. Следовательно, предположение о том, что находится в , неверно, что и доказывает теорему. Таким образом, не все объекты универсальной области B могут быть элементами одного и того же множества. "Это разрешает антиномию Рассела, насколько это касается нас". Это оставило открытой проблему "области B", которая, по-видимому, относится к чему-то. Это привело к идее собственного класса.

Цитируемые работы

Да.

Общие ссылки

Please provide the English text and the existing translation reference. I need both to perform the translation as requested. I will then provide only the final translated text in Russian.