Кіріспе

Бастапқы санның түрі

Сандар теориясында, тұрақты бастапқы сан — Эрнст Кумердің 1850 жылы Ферманың соңғы теоремасының белгілі бір жағдайларын дәлелдеу үшін анықтаған бастапқы санның ерекше түрі. Тұрақты бастапқы сандарды сынып сандарының немесе Бернулли сандарының бөлінгіштігі арқылы анықтауға болады. Бірінші бірнеше тұрақты тақ бастапқы сандар: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 107, 109, 113, 127, 137, 139, 151, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, .

Тарих және мотивация

1850 жылы Кумер Ферманың соңғы теоремасының p негізгі көрсеткіші үшін дұрыс екенін дәлелдеді, егер p тұрақты сан болса. Бұл тұрақты емес алғашқы сандарға назар аударуға себеп болды. 1852 жылы Геноки Ферманың соңғы теоремасының бірінші жағдайының p көрсеткіші үшін дұрыс екенін дәлелдеді, егер (p, p − 3) жұбы тұрақты емес болса. Кумер 1857 жылы Ферманың соңғы теоремасының «бірінші жағдайы» үшін (Софи Жермен теоремасын қараңыз) (p, p − 3) немесе (p, p − 5) жұптары тұрақты емес екенін анықтау жеткілікті екенін көрсету арқылы оны жақсартты. ((p, 2k) жұбы, егер p белгілі бір шарт орындалғанда 2k-да тұрақсыз болса, тұрақсыз жұп болып табылады.) Кумер 165-тен кіші тұрақсыз алғашқы сандарды тапты. 1963 жылы Лехмер 10000-ға дейінгі нәтижелерді хабарлады, ал Селфридж және Поллак 1964 жылы 25000-ға дейінгі тұрақсыз алғашқы сандардың кестесін аяқтағанын жариялады. Бұл екі кесте басылымда жарияланбаса да, Джонсон (p, p − 3) жұбының шындығында тұрақсыз екенін және бұл p < 30000 үшін алғашқы және жалғыз рет болатынын анықтады. 1993 жылы бұл келесі рет қайталанғаны анықталды; қараңыз Wolstenholme prime.

Куммердің критерийі

Эрнст Куммер тұрақтылықтың баламалы критерийінің p Бернулли сандарының ешқайсысының алымын бөлмейтіні екенін көрсетті. Кумердің бұл теңдігін дәлелдеуі, Гербранд-Рибе теоремасы арқылы күшейтіледі, ол p-нің осы Бернулли сандарының біреуін бөлгенде туындайтын белгілі бір салдарларды көрсетеді.

Қалыпсыз алғашқы сандар

Жалқы тақ сан, қалыпты емес, ретсіз сан (немесе Бернулли ретсіз саны немесе B ретсіз саны, төменде талқыланатын басқа түрлі ретсіздіктерден ажырату үшін) болып табылады. Бірінші бірнеше ретсіз жай сандар: 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 353, 379, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 467, 491, 523, 541, 547, 557, 577, 587, 593.

шексіз

К. Л. Дженсен (Нильсеннің шәкірті) 1915 жылы 4n + 3 түріндегі шексіз көп ретсіз жай сандар бар екенін дәлелдеді. 1954 жылы Карлиц жалпы алғанда шексіз көп ретсіз жай сандар бар екеніне қарапайым дәлел келтірді. 1971 жылы Metsänkylä кез келген T > 6 бүтін саны үшін mT + 1 немесе mT - 1 түріндегі жай сандар емес, шексіз көп ретсіз жай сандар бар екенін дәлелдеді, және кейіннен бұл нәтижені жалпылады.