Введение

Тип простых чисел

В теории чисел регулярное простое число — это особый вид простых чисел, определённый Эрнстом Куммером в 1850 году для доказательства некоторых случаев последней теоремы Ферма. Регулярные простые числа могут быть определены через делимость чисел класса или чисел Бернулли. Первые несколько нечётных регулярных простых чисел: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 107, 109, 113, 127, 137, 139, 151, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, .

История и мотивация

В 1850 году Куммер доказал, что последняя теорема Ферма верна для простого показателя p, если p регулярно. Это привлекло внимание к нерегулярным простым числам. В 1852 году Геноки смог доказать, что первый случай последней теоремы Ферма верен для показателя p, если (p, p − 3) не является нерегулярной парой. Куммер улучшил этот результат в 1857 году, показав, что для "первого случая" последней теоремы Ферма (см. теорему Софи Жермен) достаточно установить, что либо (p, p − 3), либо (p, p − 5) не являются нерегулярной парой. ((p, 2k) является нерегулярной парой, когда p нерегулярно из-за определенного условия, описанного ниже, выполняющегося при 2k.) Куммер нашёл нерегулярные простые числа меньше 165. В 1963 году Лемер сообщил о результатах до 10000, а Селфридж и Поллак объявили в 1964 году о завершении таблицы нерегулярных простых чисел до 25000. Хотя эти две последние таблицы так и не были опубликованы, Джонсон обнаружил, что (p, p − 3) на самом деле является нерегулярной парой для , и что это происходит впервые и единственный раз для p < 30000. В 1993 году было установлено, что следующий раз, когда это произойдет, будет для ; см. простое число Вольстенхолма.

Критерий Куммера

Эрнст Куммер показал, что эквивалентным критерием регулярности является то, что p не делит числитель ни одного из чисел Бернулли Bk. Доказательство Куммера того, что это эквивалентно определению числа класса, усиливается теоремой Гербранда — Рибета, которая устанавливает определенные следствия из того, что p делит одно из этих чисел Бернулли.

Нерегулярные простые числа

Нечетное простое число, которое не является регулярным, называется нерегулярным простым числом (или нерегулярным Бернулли, или B-нерегулярным, чтобы отличать его от других типов нерегулярности, обсуждаемых ниже). Первые несколько нерегулярных простых чисел: 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 353, 379, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 467, 491, 523, 541, 547, 557, 577, 587, 593.

Бесконечность

К. Л. Дженсен (ученик Нильсена) доказал в 1915 году, что существует бесконечно много нерегулярных простых чисел вида 4n + 3. В 1954 году Карлиц привел простое доказательство более слабого утверждения о том, что в общем случае существует бесконечно много нерегулярных простых чисел. В 1971 году Метсенкила доказал, что для любого целого числа T > 6 существует бесконечно много нерегулярных простых чисел, не имеющих вид mT + 1 или mT − 1, и впоследствии обобщил этот результат.