Введение

Конструкция в алгебре

В математике алгебра Хопфа, названная в честь Хайнца Хопфа, — это структура, которая одновременно является (единичной ассоциативной) алгеброй и (коединительной коассоциативной) коалгеброй, причем совместимость этих структур делает её биалгеброй, а также она оснащена антигомоморфизмом, удовлетворяющим определенному свойству. Теория представлений алгебры Хопфа особенно удобна, поскольку существование совместимых коумножения, коединицы и антипода позволяет строить тензорные произведения представлений, тривиальные представления и двойственные представления. Алгебры Хопфа возникают естественным образом в алгебраической топологии, где они зародились и связаны с понятием H-пространства, в теории схем групп, в теории групп (через понятие кольца группы) и во многих других областях, что делает их, вероятно, наиболее распространенным типом биалгебры. Алгебры Хопфа также изучаются сами по себе, с одной стороны, ведутся работы по конкретным классам примеров, а с другой – решаются задачи классификации. Они имеют разнообразные применения, от физики конденсированного состояния и квантовой теории поля до теории струн и феноменологии Большого адронного коллайдера.

Свойства антипода

Иногда требуется, чтобы антипод S имел линейный обратный K, что автоматически выполняется в конечномерном случае, или если H коммутативен или кокоммутативен (или, в более общем случае, квазитреуголен). В общем случае, S является антигомоморфизмом, поэтому S² является гомоморфизмом, который, следовательно, является автоморфизмом, если S был обратим (что может потребоваться). Если S² = idH, то алгебра Хопфа называется инволютивной (а лежащая в основе алгебра с инволюцией является *алгеброй). Если H является конечномерной полупростой алгеброй над полем характеристики ноль, коммутативной или кокоммутативной, то она инволютивна. Если биалгебра B допускает антипод S, то S единственен ("биалгебра допускает не более одной структуры алгебры Хопфа"). Таким образом, антипод не вводит никакой дополнительной структуры, которую можно было бы выбрать: быть алгеброй Хопфа – это свойство биалгебры. Антипод аналогичен отображению инверсии в группе, которое переводит g в g⁻¹.

Субальгебра Хопфа

Субальгебра A алгебры Хопфа H является субальгеброй Хопфа, если она является субкоальгеброй H и антипод S отображает A в A. Другими словами, субальгебра Хопфа A является алгеброй Хопфа сама по себе, когда умножение, коумножение, коединица и антипод H ограничены A (и дополнительно единичный элемент 1 из H должен принадлежать A). Теорема о свободе Никольса — Золлера, установленная Уорреном Никольсом и Беттиной Золлер (1989), утверждает, что естественный A-модуль H свободен конечно ранга, если H конечномерна: это обобщение теоремы Лагранжа для подгрупп. Как следствие этого и интегральной теории, субальгебра Хопфа полупростой конечномерной алгебры Хопфа автоматически полупроста. Субальгебра Хопфа A называется правой нормальной в алгебре Хопфа H, если она удовлетворяет условию стабильности: adr(h)(A) ⊆ A для всех h из H, где правое сопряжённое отображение adr определяется как adr(h)(a) = S(h(1))ah(2) для всех a из A и h из H. Аналогично, субальгебра Хопфа A является левой нормальной в H, если она стабильна относительно левого сопряжённого отображения, определяемого как adl(h)(a) = h(1)aS(h(2)). Два условия нормальности эквивалентны, если антипод S биективен, в этом случае A называется нормальной субальгеброй Хопфа. Нормальная субальгебра Хопфа A в H удовлетворяет условию (равенства подмножеств H): HA+ = A+H, где A+ обозначает ядро коединицы на A. Это условие нормальности подразумевает, что HA+ является идеалом Хопфа в H (то есть алгебраическим идеалом в ядре коединицы, коалгебраическим идеалом и стабильным относительно антипода). Как следствие, существует фактор-алгебра Хопфа H/HA+ и эпиморфизм H → H/A+H, теория, аналогичная теории нормальных подгрупп и факторгрупп в теории групп.

Заказы Хопфа

Порядок Хопфа O над интегральной областью R с полем частных K — это порядок в алгебре Хопфа H над K, который замкнут относительно алгебраических и коалгебраических операций: в частности, коумножение Δ отображает O в O ⊗ O.

Элементы группового типа

Группоподобный элемент — это ненулевой элемент x, такой что Δ(x) = x ⊗ x. Группоподобные элементы образуют группу, обратным элементом в которой является антипод. Примитивный элемент x удовлетворяет условию Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x.

Примеры

В зависимости от совместимости, коумножения, коединицы, антипода, коммутативности, кокоммутативности, замечания групповой алгебры KG, группы G, Δ(g) = g ⊗ g для всех g из G, ε(g) = 1 для всех g из G, S(g) = g−1 для всех g из G, если и только если G абелева, да, функций f из конечной группы в K, KG (с поточечным сложением и умножением), конечной группы G, Δ(f)(x,y) = f(xy), ε(f) = f(1G), S(f)(x) = f(x−1), да, если и только если G абелева, представительных функций на компактной группе, компактной группы G, Δ(f)(x,y) = f(xy), ε(f) = f(1G), S(f)(x) = f(x−1), да, если и только если G абелева. Обратно, каждая коммутативная инволютивная редуцированная алгебра Хопфа над C с конечным интегралом Хаара возникает таким образом, давая одну из формулировок двойственности Таннаки–Крейна. Регулярные функции на алгебраической группе, Δ(f)(x,y) = f(xy), ε(f) = f(1G), S(f)(x) = f(x−1), да, если и только если G абелева. Обратно, каждая коммутативная алгебра Хопфа над полем возникает из групповой схемы таким образом, давая антиэквивалентность категорий. Тензорная алгебра T(V), векторное пространство V, Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x, x из V, Δ(1) = 1 ⊗ 1, ε(x) = 0, S(x) = −x для всех x из 'T1(V) (и расширенных до более высоких тензорных степеней), если и только если dim(V)=0,1, да, симметрическая алгебра и внешняя алгебра (которые являются частными от деления тензорной алгебры) также являются алгебрами Хопфа с этим определением коумножения, коединицы и антипода. Универсальная обволакивающая алгебра U(g), алгебра Ли g, Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x для каждого x из g (это правило совместимо с коммутаторами и поэтому может быть однозначно расширено на все U), ε(x) = 0 для всех x из g (опять же, расширено до U), S(x) = −x, если и только если g абелева, да. Алгебра Хопфа Свидера H=K[c, x]/c² = 1, x² = 0 и xc = −cx. K – поле с характеристикой, отличной от 2, Δ(c) = c ⊗ c, Δ(x) = c ⊗ x + x ⊗ 1, Δ(1) = 1 ⊗ 1, ε(c) = 1 и ε(x) = 0, S(c) = c−1 = c и S(x) = −cx, нет, нет. Основное векторное пространство порождено {1, c, x, cx} и, таким образом, имеет размерность 4. Это наименьший пример алгебры Хопфа, которая является одновременно некоммутативной и некокоммутативной. Кольцо симметричных функций, в терминах полных однородных симметричных функций hk (k ≥ 1): Δ(hk) = 1 ⊗ hk + h1 ⊗ hk−1 + … + hk−1 ⊗ h1 + hk ⊗ 1, ε(hk) = 0, S(hk) = (−1)k ek, да, да. Обратите внимание, что функции на конечной группе могут быть отождествлены с кольцом группы, хотя они более естественно рассматриваются как двойственные – кольцо группы состоит из конечных сумм элементов и, таким образом, образует пары с функциями на группе путем вычисления функции на суммированных элементах.

Квантовые группы и некоммутативная геометрия

Большинство примеров выше являются либо коммутативными (т.е. умножение коммутативно), либо кокоммутативными (т.е. Δ = T ∘ Δ, где карта кручения T: H ⊗ H → H ⊗ H определяется как T(x ⊗ y) = y ⊗ x). Другими интересными алгебрами Хопфа являются определенные "деформации" или "квантизации" тех, что приведены в примере 3, которые не являются ни коммутативными, ни кокоммутативными. Эти алгебры Хопфа часто называют квантовыми группами, термин, который пока что определен лишь в общих чертах. Они важны в некомутативной геометрии, и идея заключается в следующем: стандартная алгебраическая группа хорошо описывается стандартной алгеброй Хопфа регулярных функций; тогда мы можем рассматривать деформированную версию этой алгебры Хопфа как описание определенной "нестандартной" или "квантизованной" алгебраической группы (которая, строго говоря, вообще не является алгебраической группой). Хотя, по-видимому, нет прямого способа определить или оперировать этими нестандартными объектами, можно все же работать с их алгебрами Хопфа и, более того, отождествлять их с этими алгебрами Хопфа. Отсюда и название "квантовая группа".

Теория представления

Пусть A — алгебра Хопфа, а M и N — A-модули. Тогда M ⊗ N также является A-модулем, с действием

для m ∈ M, n ∈ N и Δ(a) = (a₁, a₂). Кроме того, тривиальное представление можно определить как базовое поле K с действием

для m ∈ K. Наконец, двойственное представление A можно определить следующим образом: если M — A-модуль, а M* — его двойственное пространство, то

где f ∈ M* и m ∈ M.

Соотношения между Δ, ε и S гарантируют, что некоторые естественные гомоморфизмы векторных пространств действительно являются гомоморфизмами A-модулей. Например, естественные изоморфизмы векторных пространств M → M ⊗ K и M → K ⊗ M также являются изоморфизмами A-модулей. Кроме того, отображение векторных пространств M* ⊗ M → K, заданное как f ⊗ m → f(m), также является гомоморфизмом A-модулей. Однако, отображение M ⊗ M* → K не обязательно является гомоморфизмом A-модулей.

Связанные понятия

Алгебры Хопфа часто используются в алгебраической топологии: они представляют собой естественную алгебраическую структуру на прямой сумме всех групп гомологий или когомологий пространства H. Локально компактные квантовые группы обобщают алгебры Хопфа и наделены топологией. Алгебра всех непрерывных функций на группе Ли является локально компактной квантовой группой. Квази-алгебры Хопфа — это обобщения алгебр Хопфа, в которых коассоциативность выполняется лишь с точностью до скрутки. Они применялись при изучении уравнений Книжника — Замолодчикова. Алгебры Хопфа-мультипликаторов, введенные Альфонсом Ван Дейлем в 1994 году, являются обобщениями алгебр Хопфа, в которых коумножение отображает алгебру (с единицей или без нее) в алгебру мультипликаторов тензорного произведения алгебры с самой собой. Алгебры (коалгебры) Хопфа, введенные В. Г. Тураевым в 2000 году, также являются обобщениями алгебр Хопфа.