Кіріспе
Квадраттар қосындысының көбейтіндісін квадраттар қосындысы түрінде көрсету. Алгебрада, Брахмагупта–Фибоначчи тепе-теңдігі екі квадраттың қосындысының көбейтіндісін екі түрлі жолмен екі квадраттың қосындысы ретінде көрсетеді. Сондықтан, екі квадраттың барлық қосындыларының жиыны көбейту операциясына қатысты жабық болады. Атап айтқанда, тепе-теңдік мынадай:
In algebra, the Brahmagupta–Fibonacci identity expresses the product of two sums of two squares as a sum of two squares in two different ways. Hence the set of all sums of two squares is closed under multiplication. Specifically, the identity says
Мысал ретінде:
Бұл тепе-теңдік Диофант тепе-теңдігі деп те аталады, себебі оны алғаш рет Александриялық Диофант дәлелдеген. Ол Эйлердің төрт квадраттық тепе-теңдігінің, сондай-ақ Лагранж тепе-теңдігінің ерекше жағдайы. Брахмагупта одан да жалпы Брахмагупта тепе-теңдігін дәлелдеді және қолданды, ол мынаны көрсетеді:
Бұл, кез келген белгілі A үшін, x² + Ay² түріндегі барлық сандардың жиыны көбейту операциясына қатысты жабық екенін көрсетеді. Бұл тепе-теңдіктер барлық бүтін сандарға, сондай-ақ барлық рационал сандарға қатысты; одан да жалпы алғанда, олар кез келген коммутативтік сақинада дұрыс. Тепе-теңдіктің барлық төрт түрін теңдеудің екі жағын ашу арқылы тексеруге болады. Сондай-ақ, (2) тепе-теңдігін (1) тепе-теңдігінен, немесе (1) тепе-теңдігін (2) тепе-теңдігінен b-ні -b-ге ауыстыру арқылы алуға болады, сондай-ақ (3) және (4) тепе-теңдіктері үшін де осылай істеуге болады.
Тарих
Бұл теңдік алғаш рет Диофанттың III ғасырдағы "Арифметика" (III, 19) еңбегінде кездеседі. Оны үнді математигі және астрономы Брахмагупта (598–668) қайта ашқан, ол оны Брахмагупта теңдігіне кеңейтіп, қазір Пелл теңдеуі деп аталатын мәселені зерттеуде қолданған. Оның "Брахмасфутасиддханта" шығармасы санскрит тілінен араб тіліне Мохаммад әл-Фазари аударған, ал кейін 1126 жылы латын тіліне аударылған. Бұл теңдікті Батыс Еуропаға 1225 жылы Фибоначчи "Квадраттар кітабында" енгізген, сондықтан бұл теңдік көбінесе оған жатқызылады.
It was rediscovered by Brahmagupta (598–668), an Indian mathematician and astronomer, who generalized it to Brahmagupta's identity, and used it in his study of what is now called Pell's equation. His Brahmasphutasiddhanta was translated from Sanskrit into Arabic by Mohammad al Fazari, and was subsequently translated into Latin in 1126. The identity was introduced in western Europe in 1225 by Fibonacci, in The Book of Squares, and, therefore, the identity has been often attributed to him.
Қатынасты сәйкестіктер
Аналогиялық теңдіктер — кватерниондармен байланысты Эйлердің төрт квадратты теңдігі және Ботт периодымен байланысты октониондардан туындаған Дегеннің сегіз квадратты теңдігі. Сонымен қатар, Пфистердің он алты квадратты теңдігі де бар, бірақ ол енді екі сызықты емес. Бұл теңдіктер Хурвицтің композициялық алгебралардың жіктелуімен тығыз байланысты. Брахмагупта-Фибоначчи теңдігі — Лагранж теңдігінің ерекше түрі, ол өзі Бине-Коши теңдігінің ерекше түрі, ал ол матрицалық детерминанттар үшін Коши-Бине формуласының ерекше түрі болып табылады.
Екі квадраттың қосындысы ретінде бүтін сандарды жазу
Ферма теоремаларының бірімен қатар қолданылғанда, Брахмагупта-Фибоначчи тепе-теңдігі квадрат пен 4n+1 түріндегі кез келген жай санның көбейтіндісінің екі квадраттың қосындысы болатынын көрсетеді.