Введение
Выражение произведения сумм квадратов как сумма квадратов. В алгебре тождество Брахмагупты — Фибоначчи выражает произведение двух сумм двух квадратов как сумму двух квадратов двумя различными способами. Следовательно, множество всех сумм двух квадратов замкнуто относительно умножения. В частности, тождество утверждает:
In algebra, the Brahmagupta–Fibonacci identity expresses the product of two sums of two squares as a sum of two squares in two different ways. Hence the set of all sums of two squares is closed under multiplication. Specifically, the identity says
Например,
Тождество также известно как тождество Диофанта, поскольку оно было впервые доказано Диофантом Александрийским. Это частный случай тождества Эйлера для четырех квадратов, а также тождества Лагранжа. Брахмагупта доказал и использовал более общую идентичность Брахмагупты, утверждающую:
Это показывает, что для любого фиксированного A множество всех чисел вида x² + Ay² замкнуто относительно умножения. Эти тождества справедливы для всех целых чисел, а также для всех рациональных чисел; в более общем случае, они верны в любом коммутативном кольце. Все четыре формы тождества можно проверить, раскрыв каждую сторону уравнения. Кроме того, (2) можно получить из (1), или (1) из (2), заменив b на −b, и аналогично для (3) и (4).
История
Тождество впервые появилось в "Арифметике" Диофанта (III, 19), в III веке нашей эры. Оно было заново открыто Брахмагуптой (598–668), индийским математиком и астрономом, который обобщил его до тождества Брахмагупты и использовал в своих исследованиях того, что сейчас известно как уравнение Пелля. Его труд "Брахмасфутасиддханта" был переведен с санскрита на арабский язык Мохаммедом аль-Фазари, а затем в 1126 году – на латынь. В 1225 году Фибоначчи представил это тождество в Западной Европе в своей "Книге квадратов", и поэтому оно часто приписывается ему.
It was rediscovered by Brahmagupta (598–668), an Indian mathematician and astronomer, who generalized it to Brahmagupta's identity, and used it in his study of what is now called Pell's equation. His Brahmasphutasiddhanta was translated from Sanskrit into Arabic by Mohammad al Fazari, and was subsequently translated into Latin in 1126. The identity was introduced in western Europe in 1225 by Fibonacci, in The Book of Squares, and, therefore, the identity has been often attributed to him.
Связанные идентичности
Аналогичными тождествами являются тождество Эйлера о четырех квадратах, связанное с кватернионами, и тождество Дегена о восьми квадратах, выведенное из октонионов и имеющее связь с периодичностью Ботта. Существует также тождество Пфистера о шестнадцати квадратах, хотя оно больше не является билинейным. Эти тождества тесно связаны с классификацией композиционных алгебр, предложенной Хурвицем. Тождество Брахмагупты — Фибоначчи является частным случаем тождества Лагранжа, которое, в свою очередь, является частным случаем тождества Бине — Коши, которое, в свою очередь, является частным случаем формулы Коши — Бине для определителей матриц.
Как записать целые числа как сумму двух квадратов
При использовании совместно с одной из теорем Ферма, тождество Брахмагупты — Фибоначчи доказывает, что произведение квадрата и любого количества простых чисел вида 4n + 1 является суммой двух квадратов.