Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Топологияда, математиканың бір саласы, Урысон кеңістігі немесе T2½ кеңістігі – кез келген екі әртүрлі нүкте жабық маңайлармен ажыратылатын топологиялық кеңістік. Толық Хаусдорф кеңістігі немесе функционалды Хаусдорф кеңістігі – кез келген екі әртүрлі нүкте үздіксіз функция арқылы ажыратылатын топологиялық кеңістік. Бұл шарттар – T2 Хаусдорф аксиомасынан сәл күштірек бөліну аксиомалары болып табылады.
In topology, a discipline within mathematics, an Urysohn space, or T2½ space, is a topological space in which any two distinct points can be separated by closed neighborhoods. A completely Hausdorff space, or functionally Hausdorff space, is a topological space in which any two distinct points can be separated by a continuous function. These conditions are separation axioms that are somewhat stronger than the more familiar Hausdorff axiom T2.
Анықтамалар
X топологиялық кеңістік деп алайық. x және y нүктелері болсын. Егер x-тің жабық U және y-тің жабық V көршілері болса, және U мен V жиындары қиылыспаса (U ∩ V = ∅), онда x және y жабық көршіліктермен бөлінеді дейміз. (Еске сала кетейік, "x-тің жабық көршілігі" – x-ті қамтитын ашық жиынтықты қамтитын жабық жиынтық.) Егер f : X → [0,1] (бірлік аралығы) үздіксіз функциясы болса, мұнда f(x) = 0 және f(y) = 1, онда x және y функция арқылы бөлінеді дейміз. Урисон кеңістігі, сондай-ақ T2½ кеңістігі деп аталатын кеңістік – кез келген екі әртүрлі нүкте жабық көршіліктермен бөлінетін кеңістік. Толық Хаусдорф кеңістігі немесе функционалдық Хаусдорф кеңістігі – кез келген екі әртүрлі нүкте үздіксіз функция арқылы бөліне алатын кеңістік.
Suppose that X is a topological space. Let x and y be points in X. We say that x and y can be separated by closed neighborhoods if there exists a closed neighborhood U of x and a closed neighborhood V of y such that U and V are disjoint (U ∩ V = ∅). (Note that a "closed neighborhood of x" is a closed set that contains an open set containing x.) We say that x and y can be separated by a function if there exists a continuous function f : X → [0,1] (the unit interval) with f(x) = 0 and f(y) = 1. A Urysohn space, also called a T2½ space, is a space in which any two distinct points can be separated by closed neighborhoods. A completely Hausdorff space, or functionally Hausdorff space, is a space in which any two distinct points can be separated by a continuous function.
Атау беру ережесі
Бөлу аксиомаларын зерттеу атаулардың қабылдану әдеттерімен келіспеушіліктерімен танымал. Осы мақалада қолданылған анықтамалар Уиллардтың (1970) берген анықтамалары және олар көбірек қазіргі заманғы анықтамалар болып табылады. Стин және Зеебах (1970) және басқа да авторлар толыққанды Хаусдорф кеңістіктері мен Урисон кеңістіктерінің анықтамаларын керісінше береді. Топология оқулықтарын оқитын оқырмандар автор қолданған анықтамаларды міндетті түрде тексеруі керек. Осы мәселе туралы толық ақпарат алу үшін "Бөлу аксиомаларының тарихы" бөлімін қараңыз.
The study of separation axioms is notorious for conflicts with naming conventions used. The definitions used in this article are those given by Willard (1970) and are the more modern definitions. Steen and Seebach (1970) and various other authors reverse the definition of completely Hausdorff spaces and Urysohn spaces. Readers of textbooks in topology must be sure to check the definitions used by the author. See History of the separation axioms for more on this issue.
Мысалдар
Саналатын кеңейту топологиясы — нақты түзудегі, әдеттегі Евклидтік топология мен қосалқы саналатын топологияның бірігісімен туындаған топология. Жинақтар осы топологияда ашық болады, егер және ғана егер олар U \ A түрінде болса, мұнда U Евклидтік топологияда ашық, ал A — санаулы жиын. Бұл кеңістік толық Хаусдорф және Урысон кеңістігі, бірақ тұрақты емес (сонымен қатар Тихонов кеңістігі де емес). Хаусдорф кеңістіктерінің, бірақ Урысон кеңістігі емес, және Урысон кеңістіктерінің, бірақ толық Хаусдорф немесе тұрақты Хаусдорф кеңістігі емес мысалдары бар. Мысалдар тривиальды емес; толық мәліметтер үшін Steen және Seebach еңбектерін қараңыз.
The cocountable extension topology is the topology on the real line generated by the union of the usual Euclidean topology and the cocountable topology. Sets are open in this topology if and only if they are of the form U \ A where U is open in the Euclidean topology and A is countable. This space is completely Hausdorff and Urysohn, but not regular (and thus not Tychonoff). There exist spaces which are Hausdorff but not Urysohn, and spaces which are Urysohn but not completely Hausdorff or regular Hausdorff. Examples are non trivial; for details see Steen and Seebach.