Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В топологии, разделе математики, пространство Урысона, или T2½-пространство, — это топологическое пространство, в котором любые две различные точки могут быть разделены замкнутыми окрестностями. Полностью хаусдорфово пространство, или функционально хаусдорфово пространство, — это топологическое пространство, в котором любые две различные точки могут быть разделены непрерывной функцией. Эти условия являются аксиомами разделения, несколько более строгими, чем более известная аксиома Хаусдорфа T2.
In topology, a discipline within mathematics, an Urysohn space, or T2½ space, is a topological space in which any two distinct points can be separated by closed neighborhoods. A completely Hausdorff space, or functionally Hausdorff space, is a topological space in which any two distinct points can be separated by a continuous function. These conditions are separation axioms that are somewhat stronger than the more familiar Hausdorff axiom T2.
Определения
Предположим, что X – топологическое пространство. Пусть x и y – точки в X. Мы говорим, что точки x и y могут быть разделены замкнутыми окрестностями, если существует замкнутая окрестность U точки x и замкнутая окрестность V точки y такие, что U и V не пересекаются (U ∩ V = ∅). (Обратите внимание, что "замкнутая окрестность точки x" – это замкнутое множество, содержащее открытое множество, содержащее x.) Мы говорим, что x и y могут быть разделены функцией, если существует непрерывная функция f : X → [0,1] (единичный интервал) такая, что f(x) = 0 и f(y) = 1. Пространство Урысона, также называемое пространством T₂½, – это пространство, в котором любые две различные точки могут быть разделены замкнутыми окрестностями. Полностью хаусдорфово пространство, или функционально хаусдорфово пространство, – это пространство, в котором любые две различные точки могут быть разделены непрерывной функцией.
Suppose that X is a topological space. Let x and y be points in X. We say that x and y can be separated by closed neighborhoods if there exists a closed neighborhood U of x and a closed neighborhood V of y such that U and V are disjoint (U ∩ V = ∅). (Note that a "closed neighborhood of x" is a closed set that contains an open set containing x.) We say that x and y can be separated by a function if there exists a continuous function f : X → [0,1] (the unit interval) with f(x) = 0 and f(y) = 1. A Urysohn space, also called a T2½ space, is a space in which any two distinct points can be separated by closed neighborhoods. A completely Hausdorff space, or functionally Hausdorff space, is a space in which any two distinct points can be separated by a continuous function.
Конвенции о наименовании
Изучение аксиом разделения печально известно разногласиями в используемой терминологии. Определения, используемые в этой статье, соответствуют определениям, данным Уиллардом (1970), и являются более современными. Стин и Зеебах (1970) и другие авторы меняют местами определения полных пространств Хаусдорфа и пространств Урысона. Читателям учебников по топологии следует обязательно проверять определения, используемые автором. Подробнее об этом вопросе см. в разделе «История аксиом разделения».
The study of separation axioms is notorious for conflicts with naming conventions used. The definitions used in this article are those given by Willard (1970) and are the more modern definitions. Steen and Seebach (1970) and various other authors reverse the definition of completely Hausdorff spaces and Urysohn spaces. Readers of textbooks in topology must be sure to check the definitions used by the author. See History of the separation axioms for more on this issue.
Примеры
Топология сосчитываемого расширения — это топология на вещественной прямой, порожденная объединением обычной евклидовой топологии и сосчитываемой топологии. Множество открыто в этой топологии тогда и только тогда, когда оно имеет вид U \ A, где U открыто в евклидовой топологии, а A — счетное множество. Это пространство является вполне хаусдорфовым и урысоновским, но не регулярным (и, следовательно, не тихоновым). Существуют пространства, которые хаусдорфовы, но не урысоновские, и пространства, которые урысоновские, но не вполне хаусдорфовы или регулярные хаусдорфовы. Примеры нетривиальны; подробности можно найти в работе Стина и Зеебаха.
The cocountable extension topology is the topology on the real line generated by the union of the usual Euclidean topology and the cocountable topology. Sets are open in this topology if and only if they are of the form U \ A where U is open in the Euclidean topology and A is countable. This space is completely Hausdorff and Urysohn, but not regular (and thus not Tychonoff). There exist spaces which are Hausdorff but not Urysohn, and spaces which are Urysohn but not completely Hausdorff or regular Hausdorff. Examples are non trivial; for details see Steen and Seebach.