Кіріспе
Топологияда және математиканың басқа да салаларында Куратовскийдің жабылу аксиомалары – жиынтықтағы топологиялық құрылымды анықтау үшін қолданылатын аксиомалар жиынтығы. Олар көбірек қолданылатын ашық жиынтық анықтамасымен эквивалентті. Оларды алғаш рет Казимеж Куратовский ресмилендірді, ал осы идеяны Вацлав Серпинский және Антонио Монтейро сияқты математиктер одан әрі зерттеді. Шын мәнінде, егер біз [K4] теңдігін инклюзия ретінде қайта жазсақ, нәтижесінде әлсіз аксиома [K4''] (қосымшалық) пайда болады:
In fact if we rewrite the equality in [K4] as an inclusion, giving the weaker axiom [K4''] (subadditivity):
then it is easy to see that axioms [K4'] and [K4''] together are equivalent to [K4] (see the next to last paragraph of Proof 2 below). includes a fifth (optional) axiom requiring that singleton sets should be stable under closure: for all , He refers to topological spaces which satisfy all five axioms as T1 spaces in contrast to the more general spaces which only satisfy the four listed axioms. Indeed, these spaces correspond exactly to the topological T1 spaces via the usual correspondence (see below). If requirement [K3] is omitted, then the axioms define a Čech closure operator. If [K1] is omitted instead, then an operator satisfying [K2], [K3] and [K4'] is said to be a Moore closure operator. A pair is called Kuratowski, Čech or Moore closure space depending on the axioms satisfied by .
онда [K4'] және [K4''] аксиомаларының бірге [K4]-ке эквивалентті екенін көру оңай (төмендегі 2-дәлелдің соңғы абзацын қараңыз). Бұл аксиомалар бесінші (міндетті емес) аксиоманы қамтиды, ол жеке жиынтықтардың жабылу кезінде тұрақты болуын талап етеді: барлық үшін , Ол барлық бес аксиоманы қанағаттандыратын топологиялық кеңістіктерді T1 кеңістіктері деп атайды, бұл тек төрт тізімделген аксиоманы қанағаттандыратын жалпы кеңістікке қарама-қарсы. Шындығында, бұл кеңістіктер әдеттегі сәйкестік арқылы топологиялық T1 кеңістіктеріне дәл сәйкес келеді (төменде қараңыз). Егер [K3] талабы алынып тасталса, онда аксиомалар Чех жабылу операторын анықтайды. Егер [K1] орнына алынып тасталса, онда [K2], [K3] және [K4'] қанағаттандыратын оператор Мур жабылу операторы деп аталады. Жұп Куратовский, Чех немесе Мур жабылу кеңістігі деп аталады, бұл аксиомаларының қанағаттандырылуына байланысты.
In fact if we rewrite the equality in [K4] as an inclusion, giving the weaker axiom [K4''] (subadditivity):
then it is easy to see that axioms [K4'] and [K4''] together are equivalent to [K4] (see the next to last paragraph of Proof 2 below). includes a fifth (optional) axiom requiring that singleton sets should be stable under closure: for all , He refers to topological spaces which satisfy all five axioms as T1 spaces in contrast to the more general spaces which only satisfy the four listed axioms. Indeed, these spaces correspond exactly to the topological T1 spaces via the usual correspondence (see below). If requirement [K3] is omitted, then the axioms define a Čech closure operator. If [K1] is omitted instead, then an operator satisfying [K2], [K3] and [K4'] is said to be a Moore closure operator. A pair is called Kuratowski, Čech or Moore closure space depending on the axioms satisfied by .
Абстрактілік операторлар
Аксиомалар [K1]–[K4] жалпы шектелген торда абстрактілі бірлік операцияны анықтау үшін бейімделуі мүмкін, жиындық теориялық кіріктіруді торға байланысты ішінара тәртіппен, жиындық теориялық біріктіруді қосылу операциясымен және жиындық теориялық қиылысты кездесу операциясымен формалды түрде алмастыру арқылы; [I1]–[I4] аксиомалары үшін де осылай. Егер тор ортокомплементті болса, онда бұл екі абстрактілі операция бір-бірін әдеттегідей туындайды. Абстрактілі жабылу немесе ішкі операторларды тордағы жалпыланған топологияны анықтау үшін қолдануға болады. Мур жабылу операторының талабында біріктірулер де, бос жиын да пайда болмайтындықтан, анықтаманы кез келген иерархиялық жиынтықта абстрактілі бірлік операторын анықтау үшін бейімдеуге болады.
Топологияны жабылудан индукциялау
Жабылу операторы топологияны келесідей индукциялайды. болсын кез келген жиын. Біз бір ішкі жиынды Куратовский жабылу операторына қатысты жабық деп айтамыз, егер ол аталған оператордың өзгермейтін нүктесі болса, яғни ол тұрақты, яки . Мүмкіндік – толық кеңістіктің жабық жиынтардың толықтығынан құралған барлық ішкі жиындарының жиыны топологияның үш стандартты талабын қанағаттандырады, немесе, балама ретінде, барлық жабық жиындардың жиыны келесі шарттарды орындайды:
[K3] идопотенциялық қасиетіне сүйене отырып, мынаны қысқаша жазуға болады:
[T1] [K2] экстенсивтілік қасиеті бойынша, және жабылу операциясы жиынның қуатын өзіне бейнелейді (яғни, кез келген ішкі жиынның бейнесі – сол жиынның ішкі жиыны), сондықтан бізде бар. Бос жиынды сақтау [K1] оңай жетеді:
[T2] Келесі, болсын индекстердің кез келген жиыны және әрбір үшін жабық болсын. [K2] экстенсивтілігіне сәйкес, сондай-ақ, [K4'] изотониялық қасиетіне сәйкес, егер барлық индекстер үшін жабық болса, онда барлығы үшін жабық, бұл дегенді білдіреді. Сондықтан, .
[T3] Соңында, болсын индекстердің шектеулі жиыны және әрбір үшін жабық болсын. [K4] бинарлық біріктіруді сақтау қасиетінен және біріктірілетін ішкі жиындар саны бойынша индукция қолданып, бізде бар. Осылайша, .
[T1] By extensivity [K2], and since closure maps the power set of into itself (that is, the image of any subset is a subset of ), we have Thus The preservation of the empty set [K1] readily implies
[T2] Next, let be an arbitrary set of indices and let be closed for every By extensivity [K2], Also, by isotonicity [K4'], if for all indices , then for all , which implies Therefore, , meaning
[T3] Finally, let be a finite set of indices and let be closed for every From the preservation of binary unions [K4], and using induction on the number of subsets of which we take the union, we have Thus, .
Екі құрылымның нақты сәйкестігі
Шындығында, бұл екі толықтыратын құрылымдар бір-біріне кері: егер – берілген жиынның барлық Куратовский жабылу операторларының жиыны, ал – топологиядағы барлық жиындардың толықтыруларынан тұратын барлық отбасылар жиыны, яғни [T1]–[T3] шартын қанағаттандыратын барлық отбасылар жиыны болса, онда – біржақты сәйкестік (биекция) болады, оның керісі мынадай тапсырмамен беріледі. Біріншіден, егер болса, онда сәйкестік операторын дәлелдейміз. Берілген Куратовский жабылуы үшін дефинициялаймыз; сонда егер оның жабылуы барлық тұрақты жиындардың қиылысы болса, онда оның жабылуы емес, осы сипаттаманы қанағаттандырады: кеңейтімділік бойынша [K2] болады, ал идемпотенттік бойынша [K3] болады, демек. Енді, мынаны қарастырайық: изотондық бойынша [K4'] болады, және екенін ескерсек, деген қорытындыға келеміз. Осылайша, – қосымша бойынша ең кіші элемент болады, бұл екенін білдіреді.
First we prove that , the identity operator on For a given Kuratowski closure , define ; then if its primed closure is the intersection of all stable sets that contain Its non primed closure satisfies this description: by extensivity [K2] we have , and by idempotence [K3] we have , and thus Now, let such that : by isotonicity [K4'] we have , and since we conclude that Hence is the minimal element of w. r. t. inclusion, implying
Now we prove that If and is the family of all sets that are stable under , the result follows if both and Let : hence Since is the intersection of an arbitrary subfamily of , and the latter is complete under arbitrary intersections by [T2], then Conversely, if , then is the minimal superset of that is contained in But that is trivially itself, implying
We observe that one may also extend the bijection to the collection of all Čech closure operators, which strictly contains ; this extension is also surjective, which signifies that all Čech closure operators on also induce a topology on However, this means that is no longer a bijection.
Енді дәлелдейміз. Егер болса және – оператор бойынша тұрақты жиындардың барлық жиыны болса, нәтиже егер және екенін көрсетсе шығады. деп белгілейік: демек. – оператор бойынша тұрақты жиындардың кез келген кіші жиынының қиылысы болғандықтан, және соңғысы [T2] бойынша кез келген қиылыстар бойынша толық болғандықтан, керісінше, егер болса, онда – ішіне кіретін жиынының ең кіші жоғары жиыны, яғни, өзінің дербес жиыны.
First we prove that , the identity operator on For a given Kuratowski closure , define ; then if its primed closure is the intersection of all stable sets that contain Its non primed closure satisfies this description: by extensivity [K2] we have , and by idempotence [K3] we have , and thus Now, let such that : by isotonicity [K4'] we have , and since we conclude that Hence is the minimal element of w. r. t. inclusion, implying
Now we prove that If and is the family of all sets that are stable under , the result follows if both and Let : hence Since is the intersection of an arbitrary subfamily of , and the latter is complete under arbitrary intersections by [T2], then Conversely, if , then is the minimal superset of that is contained in But that is trivially itself, implying
We observe that one may also extend the bijection to the collection of all Čech closure operators, which strictly contains ; this extension is also surjective, which signifies that all Čech closure operators on also induce a topology on However, this means that is no longer a bijection.
Біз сондай-ақ біржақты сәйкестікті – барлық Чех жабылу операторларының жиынына, ол жиынынан әлдеқайда үлкен, кеңейтуге болатынын байқаймыз. Бұл кеңейтім де сюръективті болады, яғни, жиынындағы барлық Чех жабылу операторлары да топологияны туындайды. Алайда, бұл биекция болмайды.
First we prove that , the identity operator on For a given Kuratowski closure , define ; then if its primed closure is the intersection of all stable sets that contain Its non primed closure satisfies this description: by extensivity [K2] we have , and by idempotence [K3] we have , and thus Now, let such that : by isotonicity [K4'] we have , and since we conclude that Hence is the minimal element of w. r. t. inclusion, implying
Now we prove that If and is the family of all sets that are stable under , the result follows if both and Let : hence Since is the intersection of an arbitrary subfamily of , and the latter is complete under arbitrary intersections by [T2], then Conversely, if , then is the minimal superset of that is contained in But that is trivially itself, implying
We observe that one may also extend the bijection to the collection of all Čech closure operators, which strictly contains ; this extension is also surjective, which signifies that all Čech closure operators on also induce a topology on However, this means that is no longer a bijection.
Мысалдар
Жоғарыда талқыланғандай, топологиялық кеңістік берілген кез келген кіші жиынның жабылуы – оның барлық жабық жиындарының қиылысы, яғни , деп анықталады. Жиын – кіші жабық жиын, ал оператор – Куратовский жабылу операторы. Егер кез келген жиын болса, онда операторлар Куратовский жабылуларын құрайды. Біріншісі – индискретті топологияны , ал екіншісі – дискретті топологияны тудырады. Кез келген дербес түрін бекітіп, үшін барлығы үшін болатындай етіп алсын. Содан кейін ол Куратовский жабылуын анықтайды; сәйкес жабық жиындар отбасы , оның барлық кіші жиындарын қамтитын отбасымен сәйкес келеді. болғанда, біз қайтадан дискретті топологияны аламыз (яғни , анықтамалардан көрініп тұрғанындай). Егер – шексіз кардинал сан болса және , онда оператор төрт Куратовский аксиомасын қанағаттандырады. Егер , онда бұл оператор кофинитті топологияны тудырады; егер , онда косаналы топологияны тудырады.
Fix an arbitrary , and let be such that for all Then defines a Kuratowski closure; the corresponding family of closed sets coincides with , the family of all subsets that contain When , we once again retrieve the discrete topology (i. e. , as can be seen from the definitions). If is an infinite cardinal number such that , then the operator such thatsatisfies all four Kuratowski axioms. If , this operator induces the cofinite topology on ; if , it induces the cocountable topology.
Тазартулар мен кіші кеңістіктер
Куратовскидің жұп жабылулары, барлық үшін, топологияларды тудырады, және керісінше. Басқаша айтқанда, егер соңғысы тудырған топология, біріншісі тудырған топологияның нақтылануы болса, ғана доминациялайды. Мысалы, анық доминациялайды (соңғысы тек өзіндік функция болғандықтан). Егер барлық мүшелерінің толықтыруларын қамтитын отбасымен алмастырсақ, сол қорытындыға жетеміз. Егер жиынға барлық мүшелері үшін ішінара тәртіп берілсе, ал отбасы нақтылану тәртібімен қамтамасыз етілсе, онда бұл посеттер арасындағы антитоникалық бейнелеу деп қорытындылауға болады. Кез келген туындаған топологияда (А жиынына қатысты) жабық жиындар, барлық үшін, A-ға шектелген бастапқы жабылу операторын тудыратын жаңа жабылу операторын тудырады.
Тұрақты карталар, жабық карталар және гомеоморфизмдер
Функция белгілі бір нүктеде үздіксіз болады, егер және тек қана егер , ал ол барлық жерде үздіксіз болады, егер барлық жиын үшін . Карталау жабық карта болады, егер кері инклюзия орындалса, ал ол гомеоморфизм болады, егер ол үздіксіз де, жабық та болса, яғни егер теңдік орындалса.
Жақынырақ және бөлек
Нүкте кіші жиынға жақын деп есептеледі, егер . Бұл ұғымды жиынның нүктелері мен кіші жиындары арасындағы жақындық қатынасты анықтау үшін пайдалануға болады. Екі жиын егер деп ажыратылады. Кеңістік жалғасқан болады, егер оны екі ажыратылған кіші жиынның бірігуі түрінде жазу мүмкін болмаса.