Введение
В топологии и смежных областях математики, аксиомы замыкания Куратовского — это набор аксиом, которые могут быть использованы для определения топологической структуры на множестве. Они эквивалентны более распространенному определению открытых множеств. Они были впервые формализованы Казимиром Куратовским, а идея была далее изучена математиками, такими как Вацлав Серпинский и Антониу Монтейру.
На самом деле, если мы перепишем равенство в [K4] в виде включения, получив более слабую аксиому [K4''] (субдобавительность):
то легко увидеть, что аксиомы [K4'] и [K4''] вместе эквивалентны [K4] (см. предпоследний абзац доказательства 2 ниже). Включает в себя пятую (необязательную) аксиому, требующую, чтобы одноэлементные множества были устойчивы относительно замыкания: для всех , Он называет топологическими пространствами, удовлетворяющими всем пяти аксиомам, пространствами T1, в отличие от более общих пространств, удовлетворяющих только четырем перечисленным аксиомам. Действительно, эти пространства точно соответствуют топологическим пространствам T1 посредством стандартного соответствия (см. ниже). Если опустить требование [K3], то аксиомы определяют оператор замыкания Чеха. Если вместо этого опустить [K1], то оператор, удовлетворяющий [K2], [K3] и [K4'], называется оператором замыкания Мура. Пара называется пространством замыкания Куратовского, Чеха или Мура в зависимости от аксиом, которым удовлетворяет .
Абстрактные операторы
Обратите внимание, что аксиомы [K1]–[K4] могут быть адаптированы для определения абстрактной унарной операции на общей ограниченной решетке, формально заменяя теоретико-множественное включение частичным порядком, связанным с решеткой, теоретико-множественное объединение операцией соединения (join), а теоретико-множественное пересечение – операцией встречи (meet); аналогично для аксиом [I1]–[I4]. Если решетка ортокомплементирована, эти две абстрактные операции индуцируют друг друга обычным образом. Абстрактные операторы замыкания или внутреннего отображения могут использоваться для определения обобщенной топологии на решетке. Поскольку ни объединения, ни пустое множество не фигурируют в требовании к оператору замыкания Мура, определение может быть адаптировано для определения абстрактного унарного оператора на произвольном частично упорядоченном множестве.
Индукция топологии из закрытия
Оператор замыкания естественным образом индуцирует топологию следующим образом. Пусть X – произвольное множество. Будем говорить, что подмножество A замкнуто относительно оператора замыкания Куратовского κ, если и только если оно является фиксированной точкой этого оператора, или, другими словами, оно инвариантно относительно κ, т.е. κ(A) = A. Утверждается, что семейство всех подмножеств полного пространства, являющихся дополнениями замкнутых множеств, удовлетворяет трем обычным требованиям к топологии, или, эквивалентно, семейство всех замкнутых множеств удовлетворяет следующим условиям:
Заметим, что благодаря идемпотентности [K3], можно кратко записать κ² = κ.
[T1] Благодаря экстенсивности [K2], κ(A) ⊆ A, и поскольку оператор замыкания отображает булеан (или, мощность) X в себя (то есть, образ любого подмножества является подмножеством X), мы имеем κ(A) ⊆ A. Следовательно, A = κ(A) = κ(κ(A)).
[T2] Далее, пусть {I_α} – произвольное множество индексов, и пусть A_α замкнуто для каждого α. Благодаря экстенсивности [K2], κ(∪ A_α) = ∪ κ(A_α). Также, благодаря изотоничности [K4'], если A_α ⊆ B_α для всех индексов α, то κ(A_α) ⊆ κ(B_α) для всех α, что влечет за собой κ(∪ A_α) ⊆ ∪ κ(B_α). Следовательно, κ(∪ A_α) = ∪ κ(A_α) = ∪ A_α, что означает, что ∪ A_α замкнуто.
[T3] Наконец, пусть {A_i} – конечное множество индексов, и пусть A_i замкнуто для каждого i. Из сохранения двоичных объединений [K4] и, используя индукцию по числу подмножеств, объединение которых мы берем, мы имеем κ(∪ A_i) = ∪ A_i. Таким образом, ∪ A_i замкнуто.
[T1] By extensivity [K2], and since closure maps the power set of into itself (that is, the image of any subset is a subset of ), we have Thus The preservation of the empty set [K1] readily implies
[T2] Next, let be an arbitrary set of indices and let be closed for every By extensivity [K2], Also, by isotonicity [K4'], if for all indices , then for all , which implies Therefore, , meaning
[T3] Finally, let be a finite set of indices and let be closed for every From the preservation of binary unions [K4], and using induction on the number of subsets of which we take the union, we have Thus, .
Точное соответствие между двумя структурами
Фактически, эти две комплементарные конструкции обратны друг другу: если – это множество всех операторов Куратовского замыкания на , а – множество всех семейств, состоящих из дополнений всех множеств в топологии, то есть множество всех семейств, удовлетворяющих условиям [T1]–[T3], то существует такое соответствие , что является биекцией, а её обратное задается следующим образом:
Сначала докажем, что , то есть оператор тождества на . Для заданного оператора Куратовского замыкания определим ; тогда, если – замыкание с штрихом, то оно является пересечением всех -стабильных множеств, содержащих . Замыкание без штриха удовлетворяет этому описанию: по свойству расширительности [K2] имеем , а по свойству идемпотентности [K3] имеем , и, следовательно, . Теперь пусть такое, что : по свойству монотонности [K4'] имеем , и поскольку , заключаем, что . Следовательно, является минимальным элементом относительно включения, что означает .
Теперь докажем, что . Если и – семейство всех множеств, стабильных относительно , то результат следует, если выполняются оба условия: и . Пусть : следовательно, . Поскольку является пересечением произвольного подсемейства из , а последнее полно по произвольным пересечениям согласно [T2], то . Обратно, если , то является минимальным надмножеством , содержащимся в . Но это тривиально само , что означает .
Отметим, что биекцию можно также расширить на множество всех операторов Чеха замыкания, которое строго содержит ; это расширение также сюръективно, что означает, что все операторы Чеха замыкания на также индуцируют топологию на . Однако это означает, что больше не является биекцией.
First we prove that , the identity operator on For a given Kuratowski closure , define ; then if its primed closure is the intersection of all stable sets that contain Its non primed closure satisfies this description: by extensivity [K2] we have , and by idempotence [K3] we have , and thus Now, let such that : by isotonicity [K4'] we have , and since we conclude that Hence is the minimal element of w. r. t. inclusion, implying
Now we prove that If and is the family of all sets that are stable under , the result follows if both and Let : hence Since is the intersection of an arbitrary subfamily of , and the latter is complete under arbitrary intersections by [T2], then Conversely, if , then is the minimal superset of that is contained in But that is trivially itself, implying
We observe that one may also extend the bijection to the collection of all Čech closure operators, which strictly contains ; this extension is also surjective, which signifies that all Čech closure operators on also induce a topology on However, this means that is no longer a bijection.
Примеры
Как обсуждалось выше, для заданного топологического пространства мы можем определить замыкание любого подмножества как множество , то есть пересечение всех замкнутых множеств, содержащих . Множество является наименьшим замкнутым множеством, содержащим , а оператор является оператором замыкания Куратовского. Если дан произвольный набор , то операторы, удовлетворяющие условию , являются операторами замыкания Куратовского. Первый индуцирует недискретную топологию , а второй – дискретную топологию .
Fix an arbitrary , and let be such that for all Then defines a Kuratowski closure; the corresponding family of closed sets coincides with , the family of all subsets that contain When , we once again retrieve the discrete topology (i. e. , as can be seen from the definitions). If is an infinite cardinal number such that , then the operator such thatsatisfies all four Kuratowski axioms. If , this operator induces the cofinite topology on ; if , it induces the cocountable topology.
Зафиксируем произвольное , и пусть будет таким, что для всех . Тогда определяет оператор замыкания Куратовского; соответствующее семейство замкнутых множеств совпадает с семейством всех подмножеств, содержащих . Если , мы снова получаем дискретную топологию (то есть , что следует из определений). Если – бесконечное кардинальное число, такое что , то оператор, удовлетворяющий условию , удовлетворяет всем четырем аксиомам Куратовского. Если , этот оператор индуцирует коконечную топологию на ; если , он индуцирует кокосчетную топологию.
Fix an arbitrary , and let be such that for all Then defines a Kuratowski closure; the corresponding family of closed sets coincides with , the family of all subsets that contain When , we once again retrieve the discrete topology (i. e. , as can be seen from the definitions). If is an infinite cardinal number such that , then the operator such thatsatisfies all four Kuratowski axioms. If , this operator induces the cofinite topology on ; if , it induces the cocountable topology.
Уточнения и подпространства
Пара замыканий Куратовского, таких, что для всех X индуцируют топологии, такие, что cl(X) ≤ cl'(X), и наоборот. Иными словами, замыкание cl' доминирует над замыканием cl, если и только если топология, индуцированная cl', является уточнением топологии, индуцированной cl, или, эквивалентно, cl(X) ⊆ cl'(X) для всех X. Например, cl' явно доминирует над cl (последнее является просто тождественным отображением на X). Поскольку к тому же выводу можно прийти, заменив семейство на семейство, содержащее дополнения всех его членов, если оно наделено частичным порядком ≤ для всех X, а семейство замыканий наделено отношением уточнения, то мы можем заключить, что это антитоническое отображение между частично упорядоченными множествами. В любой индуцированной топологии (относительно подмножества A) закрытые множества индуцируют новый оператор замыкания cl_A, который является просто исходным оператором замыкания cl, ограниченным A: cl_A(X) = cl(X ∩ A) для всех X.
Непрерывные карты, закрытые карты и гомеоморфизмы
Функция непрерывна в точке x, если и только если f⁻¹(U) открыта в X для любой открытой окрестности U точки f(x). Она непрерывна везде, если это условие выполняется для всех подмножеств X. Отображение f является замкнутым, если обратное включение имеет место, то есть если образ любого замкнутого множества является замкнутым. Оно является гомеоморфизмом, если оно одновременно непрерывно и замкнуто, то есть если выполняется равенство f(A) = f(cl(A)) для любого подмножества A множества X.
Близость и разделение
Точка близка к подмножеству, если это можно использовать для определения отношения близости между точками и подмножествами множества. Два множества называются разделенными, если пространство называется связным, если его нельзя представить в виде объединения двух разделенных подмножеств.