Египеттік бөлшектер: тарихы мен қолданысы

Кіріспе

Түрлі бірлік бөлшектердің шекті қосындысы

Мысырлық бөлшек – әртүрлі бірлік бөлшектердің шекті қосындысы, мысалы,

Яғни, өрнектегі әр бөлшектің алымы 1-ге тең, ал бөлімі – оң бүтін сан, және барлық бөлімдер бір-бірінен өзгеше. Мұндай өрнектің мәні – оң рационал сан; мысалы, жоғарыдағы мысырлық бөлшек 1-ге тең. Кез келген оң рационал санды мысырлық бөлшек түрінде көрсетуге болады. Мұндай және ұқсас қосындылар, сондай-ақ, олардың ішінде 1/2 және 1/3 сияқты мүшелерді қамтитындар, ежелгі мысырлықтар рационал сандарды белгілеу үшін кеңінен пайдаланған, және орта ғасырларға дейін басқа да өркениеттерде қолданылып келген. Қазіргі математикалық жазуда мысырлық бөлшектердің орнын жалпы бөлшектер мен ондық жазулар басып алды. Дегенмен, мысырлық бөлшектер қазіргі сандар теориясы мен ойын-сауық математикасының, сондай-ақ ежелгі математиканың тарихи зерттеулерінің нысаны болып табылады.

Қолданбалар

Мысырлық бөлшектердің тарихи қолданысынан өзгеше, бөлшек сандарды өзгеше түрде көрсетуге қарағанда олардың бірнеше практикалық артықшылықтары бар. Мысалы, мысырлық бөлшектер тамақ немесе басқа да заттарды тең үлестерге бөлуге көмектеседі. Мысалы, егер біреу 5 пиццаны 8 адамға тең бөліп бергісі келсе, мысырлық бөлшек

әрбір адамға жарты пиццадан және тағы бір сегізден бір бөлігінен пицца береді, мысалы, 4 пиццаны 8 жартыға бөліп, қалған пиццаны 8 сегізден бір бөлікке бөлу арқылы. Оқушыларды жай бөлшектермен жұмыс істеуге үйретуде тамақты әділ бөлу есерлері – стандартты сынып мысалы. Мысырлық бөлшектер арқанды жағу жұмбақтарын шешуге де көмектеседі, онда белгілі бір уақытты өлшеу үшін біркелкі емес арқандарды тұтандыру керек, олар бірлік уақыт өткен соң толығымен жанып кетеді. Уақыттың кез келген рационалды бөлшегін бөлшекті бірлік бөлшектердің қосындысына жіктеу арқылы өлшеуге болады, содан кейін әрбір бірлік бөлшек үшін арқанды жағып, ол бір уақытта жанып тұратын нүктелерге ие болады. Бұл қолданыс үшін бірлік бөлшектердің бір-бірінен өзгеше болуы міндетті емес. Дегенмен, бұл шешімге шексіз қайта тұтандыру қадамдары қажет болуы мүмкін.

Ерте тарих

Мысырлық бөлшектер жазуы Мысырдың Орта патшалығында дамыған. Мысырлық бөлшектер кездесетін бес ерте мәтін – Мысыр математикалық былғары орамасы, Мәскеу математикалық папирусы, Рейснер папирусы, Кахун папирусы және Ахмим ағаш тақташасы. Кейінірек жазылған Ринд математикалық папирусы египеттік бөлшектерді жазудың жақсартылған тәсілдерін ұсынды. Ринд папирусын Ахмес жазған, ол Екінші аралық кезеңге жатады; онда рационал сандар үшін мысырлық бөлшектерге жіктеу кестесі және 84 есеп берілген. Әрбір есептің шешімі жазушылардың стенографиясымен жазылған, ал барлық 84 есептің соңғы жауаптары мысырлық бөлшектер түрінде көрсетілген. Ринд папирусындағыға ұқсас жіктеу кестелері басқа мәтіндерде де кездеседі. Дегенмен, Кахун папирусы көрсеткендей, жазушылар өз есептеулерінде кәдімгі бөлшектерді де пайдаланған.

Есептеу әдістері

Қазіргі заманғы математика тарихшылары мысырлық бөлшектермен есептеу әдістерін анықтау үшін Ринд папирусын және басқа да ежелгі көздерді зерттеді. Атап айтқанда, осы саладағы зерттеулер Ринд папирусындағы түріндегі сандардың кеңейту кестелерін түсінуге бағытталған. Бұл кеңейтулерді әдетте алгебралық теңдіктер деп сипаттауға болады, бірақ мысырлықтар қолданған әдістер осы теңдіктерге тікелей сәйкес келмеуі мүмкін. Сонымен қатар, кестедегі кеңейтулердің ешқайсысы да бір ғана теңдікке сәйкес келмейді; керісінше, әртүрлі теңдіктер жай және күрделі бөлімдер үшін кеңейтулерге сәйкес келеді, және әрбір түр үшін бірнеше теңдіктерге сай келеді: Кішкентай тақ жай сандар үшін кеңейтуі қолданылды. Үлкен жай сандар үшін түріндегі кеңейту қолданылды, мұнда – көптеген бөлгіштері бар сан (мысалы, практикалық сан) аралығында. Қалған мүше санын бөлгіштерінің қосындысы ретінде көрсету арқылы кеңейтілді, және осы қосындыдағы әрбір бөлгіш үшін бөлшек құрылды. Мысалы, Ахмес кеңейтуі осы үлгіге сәйкес келеді, мұнда және , себебі және . Берілген сан үшін осы типтегі көптеген әртүрлі кеңейтулер болуы мүмкін; алайда, К.С. Браун атап өткендей, мысырлықтар таңдаған кеңейту көбінесе осы үлгіге сәйкес келетін барлық кеңейтулердің ішіндегі ең үлкен бөлімін ең кішкентай етуге мүмкіндік берді. Кейбір күрделі бөлімдер үшін , түріндегі кеңейтуі бар, мұнда әр бөлім көбейтіледі. Бұл әдіс Ринд папирусындағы көптеген күрделі сандар үшін қолданылған сияқты, бірақ ерекшеліктер де бар, атап айтқанда , , және . Сондай-ақ кеңейтуге болады. Мысалы, Ахмес кеңейтеді. Кейінгі жазушылар осы кеңейтудің жалпы түрін қолданды, ол жағдайында жұмыс істейді. Ринд папирусындағы соңғы (жай) кеңейтуі , ешқайсысы да осы формаларға сәйкес келмейді, бірақ оның орнына кеңейтуін қолданады, ол мәніне қарамастан қолданылуы мүмкін. Яғни, осыған ұқсас кеңейту Мысыр математикалық былғары рулонында да бірнеше жағдайларда қолданылды.

Modern historians of mathematics have studied the Rhind papyrus and other ancient sources in an attempt to discover the methods the Egyptians used in calculating with Egyptian fractions. In particular, study in this area has concentrated on understanding the tables of expansions for numbers of the form in the Rhind papyrus. Although these expansions can generally be described as algebraic identities, the methods used by the Egyptians may not correspond directly to these identities. Additionally, the expansions in the table do not match any single identity; rather, different identities match the expansions for prime and for composite denominators, and more than one identity fits the numbers of each type:

For small odd prime denominators , the expansion was used. For larger prime denominators, an expansion of the form was used, where is a number with many divisors (such as a practical number) between and The remaining term was expanded by representing the number as a sum of divisors of and forming a fraction for each such divisor in this sum. As an example, Ahmes' expansion fits this pattern with and , as and There may be many different expansions of this type for a given ; however, as K. S. Brown observed, the expansion chosen by the Egyptians was often the one that caused the largest denominator to be as small as possible, among all expansions fitting this pattern. For some composite denominators, factored as , the expansion for has the form of an expansion for with each denominator multiplied by This method appears to have been used for many of the composite numbers in the Rhind papyrus, but there are exceptions, notably , , and One can also expand For instance, Ahmes expands Later scribes used a more general form of this expansion, which works when is a multiple of The final (prime) expansion in the Rhind papyrus, , does not fit any of these forms, but instead uses an expansion that may be applied regardless of the value of That is, A related expansion was also used in the Egyptian Mathematical Leather Roll for several cases.

Қазіргі сандар теориясы

Мысырлық бөлшектер қазір математиканың көптеген практикалық қолданыстарында қолданылмайтын болса да, қазіргі заманғы сандар теориясы мамандары олармен байланысты көптеген әртүрлі мәселелерді зерттеуді жалғастыруда. Оларға мысырлық бөлшектер ұзындығының немесе ең үлкен атаушының шектелуі, белгілі бір ерекше формалардағы кеңейтулерді табу немесе атаушыларының барлығы белгілі бір ерекше типте болуы, мысырлық бөлшектерді кеңейтудің әртүрлі әдістерін аяқтау және жеткілікті тығыздықтағы жеткілікті тегіс сандар жиыны үшін кеңейтулердің бар екенін көрсету мәселелері жатады. Пол Эрдостың ең алғашқы жарияланымдарының бірі, гармониялық прогрессияның бүтін санның мысырлық бөлшек түрінде бейнеленуі мүмкін емес екенін дәлелдеді. Себебі, міндетті түрде, прогрессияның кем дегенде бір атаушысы басқа атаушыны бөлмейтін жай санға бөлінеді. Эрдостың қайтысынан кейін 20 жыл өткен соң жарық көрген соңғы басылымы, кез келген бүтін санның барлық атаушылары үш жай санның көбейтіндісі болатын бейнеленуі бар екенін дәлелдейді. Комбинаторлық сандар теориясындағы Эрдёс-Грэм болжамы, 1-ден үлкен бүтін сандардың шекті көп ішкі жиындықтарға бөлінуі жағдайында, олардың біреуінің өзіндегі шекті ішкі жиындығы бар, олардың кері шамаларының қосындысы бірге тең. Яғни, кез келген r > 0 үшін және 1-ден үлкен бүтін сандардың кез келген r түспен боялуы үшін, осы бүтін сандардың шекті монохроматикалық S ішкі жиындығы бар. Бұл болжамды 2003 жылы Эрнест С. Крот III дәлелдеді. Знамның мәселесі және бастапқы псевдоперфект сандары мысырлық бөлшектердің болуымен тығыз байланысты. Мысалы, бастапқы псевдоперфект сан 1806 – 2, 3, 7 және 43 жай сандарының көбейтіндісі, және ол мысырлық бөлшекті тудырады. Мысырлық бөлшектер әдетте барлық атаушылардың ерекше болуын талап етеді, бірақ бұл талапты қайталанатын атаушыларды рұқсат ету үшін жеңілдетуге болады. Алайда, мысырлық бөлшектердің бұл жеңілдетілген түрі кез келген санды азырақ бөлшектерді пайдалану арқылы көрсетуге мүмкіндік бермейді, себебі қайталанатын бөлшектермен кез келген кеңейтуді k жұп болса, k-ны жұппен ауыстыру арқылы немесе k-ны тақ болса, оны қайталап қолдану арқылы бірдей немесе кіші ұзындықтағы мысырлық бөлшекке айналдыруға болады. Бұл нәтижені алғаш Грэм және Джуетт дәлелдеді, сондай-ақ қайталанатын атаушыларды (ұзындығы) мысырлық бөлшектерге айналдыруға болады. Бұл әдіс үлкен атаушылары бар ұзын кеңейтулерге әкелуі мүмкін, мысалы, бастапқыда кез келген рационалды санның мысырлық бөлшектік бейнесін еркін түрде үлкен ең аз атаушылармен көрсету үшін осы ауыстыру әдісін қолданған. Кез келген бөлшектің ең үлкен атаушымен шектелген мысырлық бөлшектік бейнесі және ең көп мүшелері бар бейнесі бар. Кейде терминдер саны кем дегенде log log y-ге пропорционал болуы керек; мысалы, бұл Sylvester тізбегіндегі бөлшектерге қатысты дұрыс. O(log log y) терминдері әрқашан жеткілікті деп болжанады. Сонымен қатар, ең үлкен атаушы да, терминдер саны да аз болатын өрнектерді табуға болады. Мысырлық бөлшектер арқылы бейнеленетін сандарды сипаттады, онда барлық атаушылар n-ші дәрежеде болады. Атап айтқанда, рационалды сан q квадратты атаушылармен мысырлық бөлшек ретінде бейнелене алады, егер және тек егер q екі жартылай ашық аралықтың бірінде болса. Кез келген рационалды санның өте тығыз кеңейтулері бар екендігі көрсетілді, кез келген жеткілікті үлкен N үшін атаушылардың тұрақты үлесін пайдалана отырып. Энгель кеңейтуі, кейде мысырлық көбейтіндісі деп аталады, бұл мысырлық бөлшектерді кеңейтудің бір түрі, онда әрбір атаушы алдыңғысының еселігі болып табылады: Сонымен қатар, көбейтушілердің ai тізбегі өспеуі керек. Кез келген рационалды санның шекті Энгель кеңейтуі болады, ал иррационалды сандардың шексіз Энгель кеңейтуі болады. Бірнеше түрлі мысырлық бөлшектердің бейнеленуі бар сандарды зерттейді, олардың саны бірдей және атаушыларының көбейтіндісі бірдей; мысалы, олар ұсынатын мысалдардың бірі – ежелгі мысырлықтардан айырмашылығы, олар осы кеңейтулерде атаушыларды қайталауға мүмкіндік береді. Олар өздерінің осы мәселеге арналған нәтижелерін Абель топтарының еркін өнімдерін сандық параметрлердің аз санымен сипаттауға қолданады: коммутаторлық ішкі топтың рангі, еркін өнімдегі терминдер саны және факторлардың тапсырыстарының көбейтіндісі. Бір санның әр түрлі n-мүшелі мысырлық бөлшектердің бейнеленуінің саны n-нің қос экспоненциалдық функцияларымен жоғары және төмен шектеледі.

Although Egyptian fractions are no longer used in most practical applications of mathematics, modern number theorists have continued to study many different problems related to them. These include problems of bounding the length or maximum denominator in Egyptian fraction representations, finding expansions of certain special forms or in which the denominators are all of some special type, the termination of various methods for Egyptian fraction expansion, and showing that expansions exist for any sufficiently dense set of sufficiently smooth numbers. One of the earliest publications of Paul Erdős proved that it is not possible for a harmonic progression to form an Egyptian fraction representation of an integer. The reason is that, necessarily, at least one denominator of the progression will be divisible by a prime number that does not divide any other denominator. The latest publication of Erdős, nearly 20 years after his death, proves that every integer has a representation in which all denominators are products of three primes. The Erdős–Graham conjecture in combinatorial number theory states that, if the integers greater than 1 are partitioned into finitely many subsets, then one of the subsets has a finite subset of itself whose reciprocals sum to one. That is, for every r > 0, and every r coloring of the integers greater than one, there is a finite monochromatic subset S of these integers such that The conjecture was proven in 2003 by Ernest S. Croot III. Znám's problem and primary pseudoperfect numbers are closely related to the existence of Egyptian fractions of the form For instance, the primary pseudoperfect number 1806 is the product of the prime numbers 2, 3, 7, and 43, and gives rise to the Egyptian fraction Egyptian fractions are normally defined as requiring all denominators to be distinct, but this requirement can be relaxed to allow repeated denominators. However, this relaxed form of Egyptian fractions does not allow for any number to be represented using fewer fractions, as any expansion with repeated fractions can be converted to an Egyptian fraction of equal or smaller length by repeated application of the replacement if k is odd, or simply by replacing by if k is even. This result was first proven by Graham and Jewett proved that it is similarly possible to convert expansions with repeated denominators to (longer) Egyptian fractions, via the replacement This method can lead to long expansions with large denominators, such as had originally used this replacement technique to show that any rational number has Egyptian fraction representations with arbitrarily large minimum denominators. Any fraction has an Egyptian fraction representation in which the maximum denominator is bounded by and a representation with at most terms. The number of terms must sometimes be at least proportional to log log y; for instance this is true for the fractions in the sequence , , , , , whose denominators form Sylvester's sequence. It has been conjectured that O(log log y) terms are always enough. It is also possible to find representations in which both the maximum denominator and the number of terms are small. characterized the numbers that can be represented by Egyptian fractions in which all denominators are nth powers. In particular, a rational number q can be represented as an Egyptian fraction with square denominators if and only if q lies in one of the two half open intervals
showed that any rational number has very dense expansions, using a constant fraction of the denominators up to N for any sufficiently large N.
Engel expansion, sometimes called an Egyptian product, is a form of Egyptian fraction expansion in which each denominator is a multiple of the previous one: In addition, the sequence of multipliers ai is required to be nondecreasing. Every rational number has a finite Engel expansion, while irrational numbers have an infinite Engel expansion. study numbers that have multiple distinct Egyptian fraction representations with the same number of terms and the same product of denominators; for instance, one of the examples they supply is Unlike the ancient Egyptians, they allow denominators to be repeated in these expansions. They apply their results for this problem to the characterization of free products of Abelian groups by a small number of numerical parameters: the rank of the commutator subgroup, the number of terms in the free product, and the product of the orders of the factors. The number of different n term Egyptian fraction representations of the number one is bounded above and below by double exponential functions of n.

Ашық мәселелер

Кейбір маңызды мәселелер мысырлық бөлшектерге қатысты әлі де шешілмеген күйде қалады, математиктердің көп күш салуына қарамастан. Эрдос-Страус болжамы – n-нің қандай да бір мәні үшін, 1/x + 1/y + 1/z = 1 түріндегі бөлшек үшін ең қысқа кеңеюдің ұзындығына қатысты. Мұндай кеңею әр n үшін бар ма? Бұл барлық n < 1017 үшін және n-нің мүмкін мәндерінің едәуір аз бөлігі үшін дұрыс екені белгілі, бірақ болжамның жалпы дұрыстығы әлі белгісіз. Тақ бөлімшесі бар әр бөлшек үшін ашкөз кеңеюдің болатыны да белгісіз. Егер Фибоначчидің ашкөз әдісі әрқашан ең кіші мүмкін тақ бөлімшені таңдау үшін өзгертілсе, онда бұл өзгертілген алгоритм қандай шарттарда шекті кеңеюді тудырады? Қажетті шарт – бастапқы бөлшектің тақ бөлімшесі y болуы, және бұл жеткілікті шарт екені болжанады, бірақ дәлелденбеген. Тақ y-і бар әр бөлшек, ашкөз алгоритмнен өзге әдіспен құрастырылған, ерекше тақ бірлік бөлшектерге кеңейтіледі. Берілген санның египеттік бөлшек түріндегі ұсынысын ең аз мүшелермен табу үшін немесе ең үлкен бөлімшені азайту үшін күшпен іздеу алгоритмдерін қолдануға болады; алайда, мұндай алгоритмдер өте тиімсіз болуы мүмкін. Бұл мәселелер үшін полиномиалдық уақыт алгоритмдерінің болуы немесе жалпы алғанда мұндай мәселелердің есептеу күрделілігі әлі белгісіз. Осы мәселелерді толығырақ сипаттайды және көптеген қосымша шешілмеген мәселелерді тізімдейді.