Введение

Конечная сумма различных единичных дробей

Египетская дробь — это конечная сумма различных единичных дробей, например,

То есть, каждая дробь в выражении имеет числитель, равный 1, и знаменатель, являющийся положительным целым числом, при этом все знаменатели различны. Значение выражения такого типа — положительное рациональное число; например, приведенная выше египетская дробь равна 5/6. Любое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби. Суммы такого типа, а также подобные суммы, включающие дроби с числителем, отличным от единицы, использовались древними египтянами как серьезная система записи рациональных чисел и продолжали использоваться другими цивилизациями вплоть до средневековья. В современной математической нотации египетские дроби уступили место обыкновенным дробям и десятичному представлению. Тем не менее, египетские дроби остаются объектом изучения в современной теории чисел и рекреационной математике, а также в современных исторических исследованиях древней математики.

Приложения

Помимо исторического использования, египетские дроби обладают некоторыми практическими преимуществами по сравнению с другими представлениями дробных чисел. Например, египетские дроби могут помочь при делении пищи или других предметов на равные доли. Например, если кто-то хочет разделить 5 пицц поровну между 8 обедающими, египетская дробь

означает, что каждый обедающий получит половину пиццы плюс еще одну восьмую пиццы, например, разрезав 4 пиццы на 8 половинок, а оставшуюся пиццу – на 8 восьмых. Упражнения по выполнению такого справедливого разделения пищи являются стандартным примером в классе при обучении студентов работе с единичными дробями. Египетские дроби могут предложить решение для задач о сжигании веревок, в которых заданную продолжительность времени необходимо измерить, поджигая неравномерные веревки, которые полностью сгорают за единицу времени. Любую рациональную дробь единицы времени можно измерить, разложив дробь в сумму единичных дробей, а затем, для каждой единичной дроби, поджигая веревку таким образом, чтобы в ней одновременно горело количество точек, соответствующее этой дроби. Для этого применения не требуется, чтобы единичные дроби были различными. Однако для этого решения может потребоваться бесконечное число повторных поджиганий.

Ранняя история

Египетская система записи дробей была разработана в Среднем царстве Египта. Пять ранних текстов, содержащих египетские дроби, – это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус, Папирус Рейснера, Папирус Кахуна и Деревянная табличка из Ахмима. Более поздний текст, Риндский математический папирус, представил усовершенствованные способы записи египетских дробей. Папирус Ринд был написан Ахмесом и датируется Вторым переходным периодом; он включает таблицу египетских разложений для рациональных чисел, а также 84 задачи. Решения каждой задачи были записаны стенографическим почерком писцов, а окончательные ответы на все 84 задачи были представлены в виде египетских дробей. Таблицы разложений, подобные той, что содержится в папирусе Ринд, также встречаются в некоторых других текстах. Однако, как показывает Папирус Кахуна, писцы также использовали обыкновенные дроби в своих вычислениях.

Методы расчета

Современные историки математики изучили папирус Ринда и другие древние источники в попытке выяснить методы, которые египтяне использовали при вычислениях с египетскими дробями. В частности, исследования в этой области были сосредоточены на понимании таблиц разложений для чисел вида в папирусе Ринда. Хотя эти разложения обычно можно описать как алгебраические тождества, методы, использовавшиеся египтянами, могли не соответствовать напрямую этим тождествам. Кроме того, разложения в таблице не соответствуют какой-либо единой тождественности; скорее, различные тождества соответствуют разложениям для простых и составных знаменателей, и для чисел каждого типа подходит более одной тождественности:

Для небольших нечетных простых знаменателей *p* использовалось разложение . Для больших простых знаменателей использовалось разложение вида , где *n* – число с большим количеством делителей (например, практическое число) между *p* и . Оставшийся член разлагался путем представления числа *p* – *n* в виде суммы делителей *n* и формирования дроби для каждого такого делителя в этой сумме. Например, разложение Ахмеса соответствует этой схеме с *p* = 13 и *n* = 12, так как и . Для данного *p* может существовать множество различных разложений этого типа; однако, как заметил К. С. Браун, египтяне часто выбирали то разложение, которое приводило к наименьшему возможному наибольшему знаменателю среди всех разложений, соответствующих этой схеме. Для некоторых составных знаменателей, разложенных как *pq*, разложение для *pq* имеет вид разложения для *p* с каждым знаменателем, умноженным на *q*. Этот метод, по-видимому, использовался для многих составных чисел в папирусе Ринда, но есть исключения, в частности, 6, 9 и 10. Можно также разложить . Например, Ахмес разлагает . Позднее писцы использовали более общую форму этого разложения, , которая работает, когда *n* кратно *p*. Конечное (простое) разложение в папирусе Ринда, , не соответствует ни одной из этих форм, но вместо этого использует разложение , которое можно применить независимо от значения *p*. То есть, подобное разложение также использовалось в египетском математическом кожаном свитке в нескольких случаях.

Современная теория чисел

Хотя египетские дроби больше не используются в большинстве практических приложений математики, современные теоретики чисел продолжают изучать многие различные проблемы, связанные с ними. К ним относятся задачи об ограничении длины или максимального знаменателя в представлениях в виде египетских дробей, нахождение разложений определенных специальных форм или в которых знаменатели все какого-то специального типа, исследование завершаемости различных методов для разложения на египетские дроби и доказательство существования разложений для любого достаточно плотного множества достаточно гладких чисел. Одна из самых ранних публикаций Пола Эрдоша доказала, что гармоническая прогрессия не может представлять целое число в виде египетской дроби. Причина в том, что, по крайней мере, один знаменатель прогрессии будет делиться на простое число, которое не делит ни один другой знаменатель. Последняя публикация Эрдоша, вышедшая почти через 20 лет после его смерти, доказывает, что каждое целое число имеет представление, в котором все знаменатели являются произведениями трех простых чисел. Гипотеза Эрдоша — Грэма в комбинаторной теории чисел утверждает, что если целые числа, большие 1, разбиты на конечное число подмножеств, то одно из подмножеств содержит конечное подмножество, сумма обратных величин элементов которого равна единице. То есть, для любого r > 0 и любого r-раскрашивания целых чисел, больших одного, существует конечное монохроматическое подмножество S этих целых чисел, такое, что гипотеза была доказана в 2003 году Эрнестом С. Крутом III. Проблема Знама и первичные псевдосовершенные числа тесно связаны с существованием египетских дробей вида. Например, первичное псевдосовершенное число 1806 является произведением простых чисел 2, 3, 7 и 43 и порождает египетскую дробь. Египетские дроби обычно определяются как требующие, чтобы все знаменатели были различными, но это требование можно ослабить, разрешив повторяющиеся знаменатели. Однако эта ослабленная форма египетских дробей не позволяет представить какое-либо число, используя меньшее количество дробей, поскольку любое разложение с повторяющимися дробями можно преобразовать в египетскую дробь равной или меньшей длины путем повторного применения замены, если k нечетно, или просто замены, если k четно. Этот результат был впервые доказан Грэмом, а Джуетт доказал, что аналогичным образом можно преобразовать разложения с повторяющимися знаменателями в (более длинные) египетские дроби с помощью замены. Этот метод может приводить к длинным разложениям с большими знаменателями, например, первоначально использовал этот метод замены, чтобы показать, что любое рациональное число имеет представления в виде египетских дробей с произвольно большими минимальными знаменателями. Любая дробь имеет египетское представление, в котором максимальный знаменатель ограничен, и представление содержит не более членов. Количество членов иногда должно быть по крайней мере пропорционально log log y; например, это верно для дробей в последовательности , , , , , чьи знаменатели образуют последовательность Сильвестра. Предполагается, что O(log log y) членов всегда достаточно. Также можно найти представления, в которых как максимальный знаменатель, так и количество членов малы. характеризует числа, которые могут быть представлены египетскими дробями, в которых все знаменатели являются n-ми степенями. В частности, рациональное число q может быть представлено в виде египетской дроби с квадратными знаменателями тогда и только тогда, когда q лежит в одном из двух полуоткрытых интервалов. Было показано, что любое рациональное число имеет очень плотные разложения, использующие постоянную долю знаменателей до N для любого достаточно большого N. Разложение Энгеля, иногда называемое египетским произведением, является формой разложения на египетские дроби, в которой каждый знаменатель кратен предыдущему: Кроме того, последовательность множителей ai должна быть неубывающей. Каждое рациональное число имеет конечное разложение Энгеля, в то время как иррациональные числа имеют бесконечное разложение Энгеля. Исследуют числа, которые имеют несколько различных египетских дроби с одинаковым количеством членов и одинаковым произведением знаменателей; например, один из примеров, которые они приводят, — это. В отличие от древних египтян, они допускают повторение знаменателей в этих разложениях. Они применяют свои результаты к этой проблеме для характеризации свободных произведений абелевых групп небольшим числом числовых параметров: ранга коммутаторной подгруппы, числа членов в свободном произведении и произведения порядков сомножителей. Количество различных n-членных египетских дроби, представляющих число один, ограничено сверху и снизу двойными экспоненциальными функциями от n.

Открытые проблемы

Некоторые заметные проблемы остаются нерешенными в отношении египетских дробей, несмотря на значительные усилия математиков. Гипотеза Эрдоша — Страуса касается длины кратчайшего представления для дроби вида Существует ли представление для каждого n? Известно, что она верна для всех n < 1017 и для всех, за исключением исчезающе малой доли возможных значений n, но общая истинность гипотезы остается неизвестной. Неизвестно, существует ли нечетное жадное представление для каждой дроби с нечетным знаменателем. Если жадный метод Фибоначчи модифицирован таким образом, что он всегда выбирает наименьший возможный нечетный знаменатель, то при каких условиях этот модифицированный алгоритм выдает конечное представление? Очевидным необходимым условием является то, что исходная дробь имеет нечетный знаменатель y, и предполагается, но не доказано, что это также является достаточным условием. Известно, что каждая дробь с нечетным y имеет представление в виде различных нечетных единичных дробей, построенное с использованием метода, отличного от жадного алгоритма. Можно использовать алгоритмы полного перебора для поиска египетского представления данного числа с минимальным количеством слагаемых или для минимизации наибольшего знаменателя; однако такие алгоритмы могут быть весьма неэффективными. Существование алгоритмов полиномиального времени для решения этих задач, или, в более общем случае, вычислительная сложность этих задач, остается неизвестным. подробно описывает эти проблемы и перечисляет множество других открытых вопросов.