Введение
Встраивание категорий в категории функторов. В математике лемма Йонеды является фундаментальным результатом теории категорий. Один из двух функторов — это функтор оценки, который отображает пару, состоящую из морфизма в и естественного преобразования , в отображение
In mathematics, the Yoneda lemma is a fundamental result in category theory. One of the two functors is the evaluation functor
that sends a pair of a morphism in and a natural transformation to the map
This is enough to determine the other functor since we know what the natural isomorphism is. Under the second functor
the image of a pair is the map
that sends a natural transformation to the natural transformation , whose components are
Этого достаточно для определения другого функтора, поскольку мы знаем, что такое естественный изоморфизм. Под действием второго функтора
In mathematics, the Yoneda lemma is a fundamental result in category theory. One of the two functors is the evaluation functor
that sends a pair of a morphism in and a natural transformation to the map
This is enough to determine the other functor since we know what the natural isomorphism is. Under the second functor
the image of a pair is the map
that sends a natural transformation to the natural transformation , whose components are
образ пары — это отображение
In mathematics, the Yoneda lemma is a fundamental result in category theory. One of the two functors is the evaluation functor
that sends a pair of a morphism in and a natural transformation to the map
This is enough to determine the other functor since we know what the natural isomorphism is. Under the second functor
the image of a pair is the map
that sends a natural transformation to the natural transformation , whose components are
, которое переводит естественное преобразование в естественное преобразование, компоненты которого равны
In mathematics, the Yoneda lemma is a fundamental result in category theory. One of the two functors is the evaluation functor
that sends a pair of a morphism in and a natural transformation to the map
This is enough to determine the other functor since we know what the natural isomorphism is. Under the second functor
the image of a pair is the map
that sends a natural transformation to the natural transformation , whose components are
Конвенции о наименовании
Использование обозначения для ковариантного хом-функтора и для контравариантного хом-функтора не является полностью стандартным. Многие тексты и статьи либо используют обратную конвенцию, либо совершенно другие символы для этих двух функторов. Однако большинство современных текстов по алгебраической геометрии, начиная с основополагающей работы EGA Александра Гротендика, используют конвенцию, представленную в этой статье. Мнемоническое правило "падение во что-то" может помочь запомнить, что – это ковариантный хом-функтор. Когда буква является индексом (т.е. стоит внизу), отображает объекту морфизмы из в .
Представляемый функтор
Внедрение Йонеды по существу утверждает, что для каждой (локально малой) категории объекты этой категории могут быть представлены предпучками в полном и точном соответствии. Многие распространенные категории, по сути, являются категориями предпучков, и при более детальном рассмотрении оказываются категориями пучков. Поскольку такие примеры обычно имеют топологическую природу, их часто можно рассматривать как топосы в общем случае. Лемма Йонеды предоставляет инструмент для изучения и понимания топологической структуры категории.
for a presheaf P. Many common categories are, in fact, categories of pre sheaves, and on closer inspection, prove to be categories of sheaves, and as such examples are commonly topological in nature, they can be seen to be topoi in general. The Yoneda lemma provides a point of leverage by which the topological structure of a category can be studied and understood.
В терминах (ко) конца исчисления
При заданных двух категориях и двух функторах, естественные преобразования между ними могут быть представлены следующим пределом. Для любых функторов и следующие формулы являются различными формулировками леммы Йонеды.
Предодитивные категории, кольца и модули
Преаддитивная категория — это категория, в которой множества морфизмов образуют абелевы группы, а композиция морфизмов билинейна; примерами служат категории абелевых групп или модулей. В предаддитивной категории существует как "умножение", так и "сложение" морфизмов, поэтому предаддитивные категории рассматриваются как обобщения колец. Кольца — это предаддитивные категории с одним объектом. Лемма Йонеды остаётся верной для предаддитивных категорий, если в качестве расширения выбрать категорию аддитивных контравариантных функторов из исходной категории в категорию абелевых групп; это функторы, согласованные со сложением морфизмов, которые следует рассматривать как образующие категорию модулей над исходной категорией. Тогда лемма Йонеды даёт естественный способ расширить предаддитивную категорию так, чтобы расширенная версия оставалась предаддитивной — более того, расширенная версия является абелевой категорией, что является гораздо более сильным условием. В случае кольца , расширенная категория — это категория всех правых модулей над , а утверждение леммы Йонеды сводится к хорошо известному изоморфизму для всех правых модулей над .
for all right modules over .
История
Йосики Киношита заявил в 1996 году, что термин "лемма Йонеды" был придуман Со́ндерсом Ма́к-Лейном после беседы, которую он провёл с Йоне́дой на станции Gare du Nord.