Кіріспе
Неміс математигі Фердинанд Георг Фробеньюс (26 қазан 1849 – 3 тамыз 1917) – неміс математигі, эллиптік функциялар теориясы, дифференциалдық теңдеулер, сан теориясы және топтар теориясына қосқан үлесімен әйгілі. Ол эллиптік функцияларды басқаратын, Фробеньюс–Штикельбергер формулалары деп аталатын белгілі детерминанттық теңдіктерді және биквадраттық формалар теориясын жасаумен танымал. Ол сонымен қатар функциялардың рационалды жуықтау түсінігін (қазіргі кезде Паде жуықтамалары деп аталады) алғаш рет енгізді және Кейли–Гамильтон теоремасын толыққанды дәлелдеудің алғашқы нұсқасын ұсынды. Қазіргі математикалық физикадағы белгілі бір дифференциалдық геометриялық объектілерге де оның есімі берілген, олар Фробеньюс манифольдтары деп аталады.
Ferdinand Georg Frobenius (26 October 1849 – 3 August 1917) was a German mathematician, best known for his contributions to the theory of elliptic functions, differential equations, number theory, and to group theory. He is known for the famous determinantal identities, known as Frobenius–Stickelberger formulae, governing elliptic functions, and for developing the theory of biquadratic forms. He was also the first to introduce the notion of rational approximations of functions (nowadays known as Padé approximants), and gave the first full proof for the Cayley–Hamilton theorem. He also lent his name to certain differential geometric objects in modern mathematical physics, known as Frobenius manifolds.
Сандар теориясына қосқан үлесі
Фробен Q-ға Галлои топтарында жай сандарды конъюгация кластарына айналдырудың канондық әдісін енгізді. Атап айтқанда, егер K/Q шекті Галуа кеңейтуі болса, онда K-те тармақталмайтын әрбір (оң) жай сан p және K-те p үстіне жататын әрбір жай идеал P үшін Gal(K/Q) тобында g-нің бірегей элементі болады, ол барлық K сандары x үшін g(x) ≡ xp (mod P) шартын қанағаттандырады. P-ні p үстінде өзгерту g-ні конъюгатқа айналдырады (және g-нің әрбір конъюгаты осылай пайда болады), сондықтан Галлои тобындағы g-нің конъюгация класы p-ге канондық түрде байланысты. Бұл p-нің Фробендік конъюгация класы деп аталады, ал конъюгация класының кез келген элементі p-нің Фробендік элементі деп аталады. Егер K-ны m-інші циклотомиялық өріс деп алсақ, оның Галлои тобы Q үстінде m модуль бойынша бірліктер (яғни абельдік) болады, онда m-ге бөлінбейтін p үшін Галлои тобындағы Фробендік класы p mod m-ге тең болады. Осы көзқарас бойынша, Галлои топтарындағы Фробендік конъюгация кластарының таралуы (немесе, жалпырақ айтқанда, кез келген сан өрісі үстіндегі Галлои топтары) Дирихленің арифметикалық прогрессиядағы жай сандар туралы классикалық нәтижесін жалпылайды. Q-ның шексіз дәрежелі кеңейтулерінің Галлои топтарын зерттеу Фробендік элементтерінің осы құрылысына өте тәуелді, ол белгілі бір мағынада егжей-тегжейлі зерттеуге қолжетімді элементтердің тығыз жиынтығын қамтамасыз етеді.
the conjugacy class is called a Frobenius element of p. If we take for K the mth cyclotomic field, whose Galois group over Q is the units modulo m (and thus
is abelian, so conjugacy classes become elements), then for p not dividing m the Frobenius class in the Galois group is p mod m. From this point of view,
the distribution of Frobenius conjugacy classes in Galois groups over Q (or, more generally, Galois groups over any number field) generalizes Dirichlet's classical result about primes in arithmetic progressions. The study of Galois groups of infinite degree extensions of Q depends crucially on this construction of Frobenius elements, which provides in a sense a dense subset of elements which are accessible to detailed study.