Введение
Фердинанд Георг Фробеньюс (26 октября 1849 – 3 августа 1917) — немецкий математик, наиболее известный своими вкладами в теорию эллиптических функций, дифференциальных уравнений, теорию чисел и теорию групп. Он известен своими знаменитыми детерминантными тождествами, известными как формулы Фробениуса — Стикльбергера, описывающими эллиптические функции, и разработкой теории биквадратичных форм. Он также первым ввёл понятие рациональных приближений функций (в настоящее время известных как аппроксиманты Паде) и дал первое полное доказательство теоремы Кэли — Гамильтона. Его имя также носят определенные дифференциально-геометрические объекты в современной математической физике, известные как многообразия Фробениуса.
Ferdinand Georg Frobenius (26 October 1849 – 3 August 1917) was a German mathematician, best known for his contributions to the theory of elliptic functions, differential equations, number theory, and to group theory. He is known for the famous determinantal identities, known as Frobenius–Stickelberger formulae, governing elliptic functions, and for developing the theory of biquadratic forms. He was also the first to introduce the notion of rational approximations of functions (nowadays known as Padé approximants), and gave the first full proof for the Cayley–Hamilton theorem. He also lent his name to certain differential geometric objects in modern mathematical physics, known as Frobenius manifolds.
Вклад в теорию чисел
Фробень ввёл канонический способ перевода простых чисел в классы сопряжённости в группах Галуа над Q. В частности, если K/Q – конечное галуазово расширение, то для каждого (положительного) простого числа p, не ветвящегося в K, и для каждого простого идеала P, лежащего над p в K, существует единственный элемент g из Gal(K/Q), удовлетворяющий условию g(x) ≡ xp (mod P) для всех целых чисел x из K. Изменяя P над p, мы получаем сопряжённый элемент g (и каждый сопряжённый элемент g получается таким образом), поэтому класс сопряжённости g в группе Галуа канонически связан с p. Это называется классом сопряжённости Фробениуса для p, и любой элемент этого класса сопряжённости называется элементом Фробениуса для p. Если взять за K m-е круговое поле, группа Галуа которого над Q состоит из единиц по модулю m (и, следовательно, является абелевой, так что классы сопряжённости становятся элементами), то для p, не делящего m, класс Фробениуса в группе Галуа равен p по модулю m. С этой точки зрения, распределение классов сопряжённости Фробениуса в группах Галуа над Q (или, в более общем случае, в группах Галуа над любым числовым полем) обобщает классический результат Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях. Изучение групп Галуа бесконечномерных расширений Q существенно зависит от этой конструкции элементов Фробениуса, которая в некотором смысле предоставляет плотное подмножество элементов, доступных для детального изучения.
the conjugacy class is called a Frobenius element of p. If we take for K the mth cyclotomic field, whose Galois group over Q is the units modulo m (and thus
is abelian, so conjugacy classes become elements), then for p not dividing m the Frobenius class in the Galois group is p mod m. From this point of view,
the distribution of Frobenius conjugacy classes in Galois groups over Q (or, more generally, Galois groups over any number field) generalizes Dirichlet's classical result about primes in arithmetic progressions. The study of Galois groups of infinite degree extensions of Q depends crucially on this construction of Frobenius elements, which provides in a sense a dense subset of elements which are accessible to detailed study.