Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Философиялық проблемалар жиынтығы
Set of philosophical problems
Зенонның парадокстары – б.з.д. 490–430 жылдар шамасында өмір сүрген ежелгі грек философы Элеялық Зенон ұсынған философиялық аргументтердің сериясы. Қазіргі ғалымдар осы парадокс авторлығын Зенонға жатқызады. Платон Сократтың айтуынша, Зенон мен Парменид негізінен бір мәселені талқылаған. Олар сонымен қатар Сократ қолданған диалектикалық әдіс пайда болған бастау деп есептеледі.
Zeno's paradoxes are a series of philosophical arguments presented by the ancient Greek philosopher Zeno of Elea (c. 490–430 BC), Modern academics attribute the paradox to Zeno. Plato has Socrates claim that Zeno and Parmenides were essentially arguing exactly the same point. They are also credited as a source of the dialectic method used by Socrates.
Парадокстер
Зенонның сақталған тоғыз парадоксының кейбіреулері (Аристотельдің "Физика" және Симплицийдің оған жазған түсіндірмесінде сақталған) өзара теңдес. Аристотель олардың бір бөлігіне жауап берген. Дегенмен, ешбір түпнұсқа көне деректе Зенон шексіз қатардың қосындысы туралы талқыламайды. Симплиций Зенонның "Шексіз көп нәрсені шекті уақыт ішінде басып өту мүмкін емес" дегенін келтіреді. Бұл Зенонның мәселесін қосынды табумен емес, керісінше, шексіз қадамдардан тұратын жұмысты аяқтаумен байланыстырады: егер B-ге жеткенге дейін шексіз көп (бірден-бір емес) оқиғалар болуы мүмкін болса, ал соңғы оқиғаның бастасына да жетпесе, адам A-дан B-ге қалай жете алады?
Some of Zeno's nine surviving paradoxes (preserved in Aristotle's Physics and Simplicius's commentary thereon) are essentially equivalent to one another. Aristotle offered a response to some of them. However, none of the original ancient sources has Zeno discussing the sum of any infinite series. Simplicius has Zeno saying "it is impossible to traverse an infinite number of things in a finite time". This presents Zeno's problem not with finding the sum, but rather with finishing a task with an infinite number of steps: how can one ever get from A to B, if an infinite number of (non instantaneous) events can be identified that need to precede the arrival at B, and one cannot reach even the beginning of a "last event"?
Қозғалыс парадокстері
Ең күшті және белгілі үш мысал – Ахилл мен тасбақа, дихотомиялық аргумент және ұшып бара жатқан жебе туралы – төменде толыққанды қарастырылады.
Three of the strongest and most famous—that of Achilles and the tortoise, the Dichotomy argument, and that of an arrow in flight—are presented in detail below.
Ахилл мен қиялы
Ахилл мен тасбақаның парадоксы бойынша, Ахилл тасбақамен жүгіріс жарысына түседі. Ахилл, мысалы, тасбақаға 100 метрден бастау артықшылығын береді. Егер әрбір жарыскер тұрақты жылдамдықпен жүгіріп бастаса, біреуі екіншісінен жылдам болса. Біршама уақыт өткен соң, Ахилл 100 метрді жүгіріп, тасбақаның бастаған орнына жетеді. Осы уақыт ішінде тасбақа одан әлдеқайда қысқа қашықтықты, мысалы, 2 метрді жүгіріп өтеді. Содан кейін Ахилл сол қашықтықты жүруге тағы да уақыт жұмсайды, ал осы уақытта тасбақа одан да алға жылжып кетеді; және одан кейін бұл үшінші нүктеге жетуге тағы көп уақыт керек болады, ал тасбақа одан да алға жылжып кетеді. Демек, Ахилл тасбақа болған жерге келген сайын, тасбақаға жете алмайынша, оған әлі де біршама қашықтық қалған болады. Аристотель атап өткендей, бұл аргумент Дихотомияға ұқсас. Дегенмен, оның қозғалмаудың айқын қорытындысы жоқ.
In the paradox of Achilles and the tortoise, Achilles is in a footrace with the tortoise. Achilles allows the tortoise a head start of 100 meters, for example. Suppose that each racer starts running at some constant speed, one faster than the other. After some finite time, Achilles will have run 100 meters, bringing him to the tortoise's starting point. During this time, the tortoise has run a much shorter distance, say 2 meters. It will then take Achilles some further time to run that distance, by which time the tortoise will have advanced farther; and then more time still to reach this third point, while the tortoise moves ahead. Thus, whenever Achilles arrives somewhere the tortoise has been, he still has some distance to go before he can even reach the tortoise. As Aristotle noted, this argument is similar to the Dichotomy. It lacks, however, the apparent conclusion of motionlessness.
Жебе парадоксы
Жебе парадоксінде Зенон қозғалыс болу үшін дененің орны өзгеруі керек екенін айтады. Ол ұшып бара жатқан жебені мысалға келтіреді. Ол кез келген (ұзақтығы жоқ) сәтте жебе өзі бар жерге де, өзі жоқ жерге де қозғалмайтынын мәлімдейді. Ол өзі жоқ жерге қозғала алмайды, себебі ол жерге жетуіне уақыт жетпейді; ал өзі бар жерге қозғала алмайды, себебі ол оның ішінде болады. Басқаша айтқанда, әрбір сәтте қозғалыс болмайды. Егер әр сәттегі барлық нәрсе қозғалмайтын болса, ал уақыт толығымен сәттерден тұратын болса, онда қозғалыс мүмкін емес. Алғашқы екі парадокс кеңістікті бөледі, ал бұл парадокс уақытты бөледі – сегменттерге емес, нүктелерге.
In the arrow paradox, Zeno states that for motion to occur, an object must change the position which it occupies. He gives an example of an arrow in flight. He states that at any one (durationless) instant of time, the arrow is neither moving to where it is, nor to where it is not. It cannot move to where it is not, because no time elapses for it to move there; it cannot move to where it is, because it is already there. In other words, at every instant of time there is no motion occurring. If everything is motionless at every instant, and time is entirely composed of instants, then motion is impossible. Whereas the first two paradoxes divide space, this paradox starts by dividing time—and not into segments, but into points.
Басқа парадокстер
Аристотель тағы үш парадокс келтіреді.
Aristotle gives three other paradoxes.
Классикалық антикалық дәуірде
Симплицийдің айтуынша, Диоген циник Зенонның аргументтерін естігеннен кейін ештеңе демеді, бірақ Зенонның қорытындыларының жалған екенін көрсету үшін орнынан тұрып кетіп, жүре бастады. Аристотель сондай-ақ "бөліну арқылы шексіз нәрселерді" (мысалы, кеңістіктің бірлігін, оны кеңістікте өзгермей, санамен одан да кішкентай бірліктерге бөлуге болады) кеңістікте шексіз ұзындығы бар нәрселерден (немесе қашықтықтардан) ("олардың шектеріне қатысты") ажыратты. Аристотельдің жебе парадоксына қарсылығы: "Уақыт ешқандай шама сияқты, бөлінбейтін сәттерден тұрмайды". Аристотельдің қарсылығына түсініктеме берген Тома Аквинский: "Біз бұрын дәлелдегендей, сәттер уақыттың бөліктері емес, өйткені уақыт сәттерден, ал шама нүктелерден жасалмайды. Сондықтан, белгілі бір уақытта бір нәрсе қозғалмайды дегеніміз, сол уақыттың ешбір сәтінде ол қозғалмайды дегенді білдірмейді".
According to Simplicius, Diogenes the Cynic said nothing upon hearing Zeno's arguments, but stood up and walked, in order to demonstrate the falsity of Zeno's conclusions. Aristotle also distinguished "things infinite in respect of divisibility" (such as a unit of space that can be mentally divided into ever smaller units while remaining spatially the same) from things (or distances) that are infinite in extension ("with respect to their extremities"). Aristotle's objection to the arrow paradox was that "Time is not composed of indivisible nows any more than any other magnitude is composed of indivisibles." Thomas Aquinas, commenting on Aristotle's objection, wrote "Instants are not parts of time, for time is not made up of instants any more than a magnitude is made of points, as we have already proved. Hence it does not follow that a thing is not in motion in a given time, just because it is not in motion in any instant of that time."
Қазіргі заманғы математикада
Кейбір математиктер мен тарихшылар, мысалы Карл Бойер, Зенонның парадокстарын жай ғана математикалық мәселелер деп санайды, ал қазіргі заманғы есептеу оларға математикалық шешім ұсынады. Сансыз процестер математикада 19 ғасырдың соңына дейін теориялық тұрғыдан қиындық туғызып келді. Эпсилон-дельта шек анықтамасы арқылы Вейерштрасс және Коши осыған қатысты логика мен есептеудің қатаң формулировкасын жасады. Бұл жұмыстар сансыз процестерге қатысты математикалық мәселені шешті. Дегенмен, кейбір философтар Зенонның парадокстары мен олардың вариациялары (Томсонның шамдарына қараңыз) маңызды метафизикалық проблемалар болып қала береді дейді. Математика Зенон парадоксындағы Ахиллдің қозғалатын бақсыны қайда және қашан жететінін есептесе де, Кевин Браун және Фрэнсис Муркрофт сияқты философтар...
Some mathematicians and historians, such as Carl Boyer, hold that Zeno's paradoxes are simply mathematical problems, for which modern calculus provides a mathematical solution. Infinite processes remained theoretically troublesome in mathematics until the late 19th century. With the epsilon delta definition of limit, Weierstrass and Cauchy developed a rigorous formulation of the logic and calculus involved. These works resolved the mathematics involving infinite processes. Some philosophers, however, say that Zeno's paradoxes and their variations (see Thomson's lamp) remain relevant metaphysical problems. While mathematics can calculate where and when the moving Achilles will overtake the Tortoise of Zeno's paradox, philosophers such as Kevin Brown and Francis Moorcroft
Питер Линдс
2003 жылы Питер Линдс Зенонның барлық қозғалыс парадокстары уақыттың сәттері мен мезгілдік шамалар физикалық жағынан жоқ деген қорытындымен шешіледі деп мәлімдеді. Линдс салыстырмалы қозғалыстағы объектінің бір мезгілде немесе анықталған салыстырмалы орны болуы мүмкін емес (егер болса, ол қозғалыста бола алмайды) және сондықтан оның қозғалысын парадокстардағыдай бөлшектеп қарастыруға болмайды деп тұжырымдайды. Ник Хэггет Зенон тыныш тұрғандағыдай бір кеңістікті иеленетін объектілер тыныш болуы керек деген тұжырымды қабылдап алған деп санайды. Бертран Расселл парадокстарға «бір сәтте болу» деп аталатын шешім ұсынды. Ол ұзақтығы жоқ сәтте қозғалыс болуы мүмкін емес екенімен келіседі және қозғалыс үшін жебе бір уақытта бір нүктеде, екінші уақытта екінші нүктеде және осы екі нүкте арасындағы уақытта тиісті нүктелерде болуы жеткілікті деп есептейді. Бұл көзқарас бойынша қозғалыс – уақыт өте келе орынның өзгеруі.
In 2003, Peter Lynds argued that all of Zeno's motion paradoxes are resolved by the conclusion that instants in time and instantaneous magnitudes do not physically exist. Lynds argues that an object in relative motion cannot have an instantaneous or determined relative position (for if it did, it could not be in motion), and so cannot have its motion fractionally dissected as if it does, as is assumed by the paradoxes. Nick Huggett argues that Zeno is assuming the conclusion when he says that objects that occupy the same space as they do at rest must be at rest. Bertrand Russell offered a solution to the paradoxes, what is known as the "at at theory of motion". It agrees that there can be no motion "during" a durationless instant, and contends that all that is required for motion is that the arrow be at one point at one time, at another point another time, and at appropriate points between those two points for intervening times. In this view motion is just change in position over time.
Герман Вейл
Тағы бір ұсынылған шешім – Зенонның парадокстарында (әсіресе Дихотомияда) қолданған болжамдарының біріне күмән тудыру, атап айтқанда, кез келген екі әртүрлі нүкте арасында кеңістікте (немесе уақытта) әрқашан тағы бір нүкте бар деген пікірге. Осы болжам болмаса, екі нүкте арасындағы қашықтықтар саны шектеулі болады, демек, қозғалыстардың шексіз тізбегі жоқ және парадокс шешіледі. Герман Вейльдің сөзіне қарағанда, кеңістік шекті және дискретті бірліктерден тұрады деген болжам "плитка аргументі" немесе "қашықтық функциясы мәселесі" арқылы қосымша қиындықтар тудырады. Осыған сәйкес, дискреттелген кеңістіктегі тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасының ұзындығы геометрияға қайшы келіп, екі катетінің бірінің ұзындығына тең болады. Жан Пол Ван Бендегем плиткалық аргументті шешуге болады және дискреттеу парадоксты жоюға мүмкіндік береді деп мәлімдеді.
Another proposed solution is to question one of the assumptions Zeno used in his paradoxes (particularly the Dichotomy), which is that between any two different points in space (or time), there is always another point. Without this assumption there are only a finite number of distances between two points, hence there is no infinite sequence of movements, and the paradox is resolved. According to Hermann Weyl, the assumption that space is made of finite and discrete units is subject to a further problem, given by the "tile argument" or "distance function problem". According to this, the length of the hypotenuse of a right angled triangle in discretized space is always equal to the length of one of the two sides, in contradiction to geometry. Jean Paul Van Bendegem has argued that the Tile Argument can be resolved, and that discretization can therefore remove the paradox.
Кванттық Зено эффектісі
1977 жылы физиктер Е. С. Джордж Сударшан мен Б. Мисра кванттық жүйенің динамикалық эволюциясы (қозғалысы) жүйені бақылау арқылы бәсеңдетілуі (немесе тіпті тоқтатылуы) мүмкін екенін анықтады. Бұл құбылыс әдетте "кванттық Зено эффектісі" деп аталады, себебі ол Зеноның жебе парадоксін еске салады. Бұл эффект алғаш рет 1958 жылы теориялық тұрғыда болжалды.
In 1977, physicists E. C. George Sudarshan and B. Misra discovered that the dynamical evolution (motion) of a quantum system can be hindered (or even inhibited) through observation of the system. This effect is usually called the "quantum Zeno effect" as it is strongly reminiscent of Zeno's arrow paradox. This effect was first theorized in 1958.
Зеноның мінез-құлқы
Уақытталған және гибридтік жүйелерді тексеру және жобалау саласында, егер жүйе мінез-құлқы шектеулі уақыт ішінде шексіз көп дискретті қадамдарды қамтитын болса, онда ол Zeno мінез-құлқы деп аталады. Кейбір формальды тексеру техникалары осы мінез-құлықтарды талдаудан шығарып тастайды, егер олар Zeno емес мінез-құлыққа эквивалент болмаса. Жүйелерді жобалау кезінде осы мінез-құлықтар көбінесе жүйе модельдерінен алынып тасталады, себебі оларды цифрлық басқару құрылғысымен іске асыру мүмкін емес.
In the field of verification and design of timed and hybrid systems, the system behaviour is called Zeno if it includes an infinite number of discrete steps in a finite amount of time. Some formal verification techniques exclude these behaviours from analysis, if they are not equivalent to non Zeno behaviour. In systems design these behaviours will also often be excluded from system models, since they cannot be implemented with a digital controller.
Танымал мәдениетте
Том Стоппард өзінің 1972 жылғы "Жумперс" пьесасында әзілді көзқарас ұсынады, онда басты кейіпкер, философия профессоры Джордж Мур Зенонның парадоксына сәйкес, 3 ғасырдағы христиан әулиесі Сент-Себастьянды жебелермен атып өлтірген, ол қорқып қайтыс болды деген пікірді айтады. 1969 жылы The Firesign Theatre Зенонның дихотомия парадоксының нұсқасын пайдаланды, онда алдағы шығудың жол белгілері әрқашан екіге бөліне береді, жүргізуші мақсатына ешқашан жете алмайды, бұл олардың екінші LP-сі "Бір уақытта екі жерде болуға қалай болады, егер сіз мүлдем ешқайда болмасаңыз?" деп аталады. Халық әншілері Лу мен Питер Берриман "Бір сағаттық қашықтықта" әнінде күлкілі вариация ұсынады, онда көлік жүргізушісі жылдамдықты төмендетуді талап ететін құрылысқа үнемі тап болады, сондықтан ол жүріп келе жатса да, мақсаты бір сағаттық қашықтықта қалады және ол сүйіктісіне жете алмайды.
A humorous take is offered by Tom Stoppard in his 1972 play Jumpers, in which the principal protagonist, the philosophy professor George Moore, suggests that according to Zeno's paradox, Saint Sebastian, a 3rd Century Christian saint martyred by being shot with arrows, died of fright. In 1969, The Firesign Theatre used a version of Zeno's dichotomy paradox when speaking road signs for an approaching exit continued to divide in half, with the destination never being reached by the driver, on their second LP, "How Can You Be In Two Places at Once, When You're Not Anywhere At All." Folk musicians Lou and Peter Berryman provide a humorous variation in their song "An Hour Away", in which the driver of a car keeps encountering construction that requires a slower speed, so that even as they keep driving, their destination remains an hour away and they can't reach their romantic interest.
Атаулар мектебі
Соғыс мемлекеттерінің кезеңінде (б.з.д. 475-221) шамамен бір уақытта, логика мен диалектикамен айналысқан Атаулар мектебінің ежелгі қытай философтары Зенонның парадокстарына ұқсас парадокстарды дамытты. Атаулар мектебінің еңбектерінің көп бөлігі жоғалып кеткен, Гонсун Лонцзидің фрагменттерінен басқа. Хуй Шидің он тезисінің екіншісі инфинитезимальдар туралы білімді көрсетеді: Қалыңдығы жоқ ештеңені үйірмейсің; десе де, оның өлшемі мың лиге жетеді. Чжуанцзиде жазылған көптеген жұмбақтардың арасында Зенонның дихотомиясына өте ұқсас мысал бар: Мохист каноны бұл парадоксқа былай шешім ұсынады – өлшенген ұзындықты басып өту кезінде қашықтық ұзындықтың тізбектелген бөліктерімен емес, бір қадаммен өтіледі. Атаулар мектебінің сақталған еңбектерінің аздығына байланысты, тізімдегі басқа парадокстарды түсіндіру қиын.
Roughly contemporaneously during the Warring States period (475–221 BCE), ancient Chinese philosophers from the School of Names, a school of thought similarly concerned with logic and dialectics, developed paradoxes similar to those of Zeno. The works of the School of Names have largely been lost, with the exception of portions of the Gongsun Longzi. The second of the Ten Theses of Hui Shi suggests knowledge of infinitesimals:That which has no thickness cannot be piled up; yet it is a thousand li in dimension. Among the many puzzles of his recorded in the Zhuangzi is one very similar to Zeno's Dichotomy: The Mohist canon appears to propose a solution to this paradox by arguing that in moving across a measured length, the distance is not covered in successive fractions of the length, but in one stage. Due to the lack of surviving works from the School of Names, most of the other paradoxes listed are difficult to interpret.
Льюис Кэрроллдің "Қорқыт Ахиллеске не деді"
"Ахиллеске Тасбақа не деді", 1895 жылы Льюис Кэрролл жазған, таза логика саласындағы парадоксалды шексіз регресс аргументін сипаттайды, онда Ахиллес пен Тасбақа кейіпкерлер ретінде қолданылған, бұл Зенонның Ахиллес парадоксына нақты сілтеме.
"What the Tortoise Said to Achilles", written in 1895 by Lewis Carroll, which described a paradoxical infinite regress argument in the realm of pure logic, used Achilles and the Tortoise as characters, in a clear reference to Zeno's paradox of Achilles.
Дуглас Хофстадтердің Гёдель, Эшер, Бах
Айта кетерлігі, Дуглас Хофстадтердің Кэрроллдан шабыттанған "Гёдель, Эшер, Бах" кітабында кітап бойындағы әртүрлі диалогтарда бірдей кейіпкерлер кездеседі. Бұл математиканың негіздері және оның жасанды интеллектпен байланысы туралы танымал, жүлделі 742 беттік еңбек.
Notably, Douglas Hofstadter's Gödel, Escher, Bach, inspired by Carroll, features the same characters in dialogues throughout the book, which is a popular, award winning 742 page book on the foundations of mathematics and its relationship to artificial intelligence.