Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Математикада топологиялық кеңістік, егер ол санаулы көптеген компактты кіші кеңістіктердің бірі болса, σ-компакт деп аталады. Егер кеңістік σ-компакт және (әлсіз) локальді компакт болса, онда ол σ-локальді компакт деп аталады. Бұл терминология шатастыру тудыруы мүмкін, себебі ол σ (қасиет) белгісінің әдеттегі үлгісіне сәйкес келмейді, яғни (қасиет) қанағаттандыратын санаулы кеңістіктердің бірігуін білдіреді. Сондықтан мұндай кеңістіктер көбінесе σ-компакт (әлсіз) локальді компакт деп тікелей аталады, бұл компакт жиынтықтармен шарланумен тең.
In mathematics, a topological space is said to be σ compact if it is the union of countably many compact subspaces. A space is said to be σ locally compact if it is both σ compact and (weakly) locally compact. That terminology can be somewhat confusing as it does not fit the usual pattern of σ (property) meaning a countable union of spaces satisfying (property); that's why such spaces are more commonly referred to explicitly as σ compact (weakly) locally compact, which is also equivalent to being exhaustible by compact sets.
Қасиеттері мен мысалдар
Әрбір тығыз кеңістік σ-тығыз, ал әрбір σ-тығыз кеңістік Линделоф (яғни, әрбір ашық жамылғыда саналатын кіші жамылғы бар). Кері тұжырымдар дұрыс емес, мысалы, стандартты Евклид кеңістігі (Rn) σ-тығыз, бірақ тығыз емес, ал нақты түзудегі төменгі шек топологиясы Линделоф, бірақ σ-тығыз емес. Шындығында, кез келген санауға болмайтын жиынның саналатын толықтыру топологиясы Линделоф, бірақ σ-тығыз да, жергілікті тығыз да емес. Дегенмен, кез келген жергілікті тығыз Линделоф кеңістігі σ-тығыз екені рас. (Иррационал сандар) σ-тығыз емес. σ-тығыздығы бар Хаусдорф, Байр кеңістігі кем дегенде бір нүктеде жергілікті тығыз болуы керек. Егер G топологиялық топ болса және G бір нүктеде жергілікті тығыз болса, онда G барлық жерде жергілікті тығыз болады. Сондықтан, бұл қасиет егер G – σ-тығыз, Хаусдорф топологиялық тобы және Байр кеңістігі болса, онда G жергілікті тығыз екенін көрсетеді. Бұл Хаусдорф топологиялық топтары үшін, Байр кеңістігі болатын жағдайда, σ-тығыздық жергілікті тығыздықты білдіреді. Бұл қасиет, мысалы, Rω σ-тығыз емес екенін көрсетеді: егер ол σ-тығыз болса, онда ол міндетті түрде жергілікті тығыз болар еді, өйткені Rω топологиялық топ және Байр кеңістігі. Әр жартылай сыйымды кеңістік σ-сыйымды. Алайда, керісінше дұрыс емес; мысалы, әдеттегі топологиямен рационалдар кеңістігі σ-тығыз, бірақ жартылай сыйымды емес. σ-тығыз кеңістіктердің шекті санының көбейтіндісі σ-тығыз болады. Бірақ, σ-тығыз кеңістіктердің шексіз санының көбейтіндісі σ-тығыз болмауы мүмкін. σ-тығыз кеңістік X екінші санатты (сәйкесінше, Байр) болады, егер және тек қана X-тегі X жергілікті тығыз болатын нүктелер жиыны бос емес (сәйкесінше, тығыз) болса.
Every compact space is σ compact, and every σ compact space is Lindelöf (i. e. every open cover has a countable subcover). The reverse implications do not hold, for example, standard Euclidean space (Rn) is σ compact but not compact, and the lower limit topology on the real line is Lindelöf but not σ compact. In fact, the countable complement topology on any uncountable set is Lindelöf but neither σ compact nor locally compact. However, it is true that any locally compact Lindelöf space is σ compact. (The irrational numbers) is not σ compact. A Hausdorff, Baire space that is also σ compact, must be locally compact at at least one point. If G is a topological group and G is locally compact at one point, then G is locally compact everywhere. Therefore, the previous property tells us that if G is a σ compact, Hausdorff topological group that is also a Baire space, then G is locally compact. This shows that for Hausdorff topological groups that are also Baire spaces, σ compactness implies local compactness. The previous property implies for instance that Rω is not σ compact: if it were σ compact, it would necessarily be locally compact since Rω is a topological group that is also a Baire space. Every hemicompact space is σ compact. The converse, however, is not true; for example, the space of rationals, with the usual topology, is σ compact but not hemicompact. The product of a finite number of σ compact spaces is σ compact. However the product of an infinite number of σ compact spaces may fail to be σ compact. A σ compact space X is second category (respectively Baire) if and only if the set of points at which is X is locally compact is nonempty (respectively dense) in X.