Введение
В математике топологическое пространство называется σ-компактным, если оно является объединением счётного числа компактных подпространств. Пространство называется σ-локально компактным, если оно одновременно σ-компактно и (слабо) локально компактно. Эта терминология может быть несколько запутанной, так как она не соответствует общепринятому шаблону, когда σ (свойство) означает счётное объединение пространств, обладающих (свойством); поэтому такие пространства чаще всего называют явно σ-компактными (слабо) локально компактными, что также эквивалентно возможности быть исчерпымым компактными множествами.
Свойства и примеры
Каждое компактное пространство является σ-компактным, а каждое σ-компактное пространство – Линделёфом (т.е. каждое открытое покрытие имеет счётное подпокрытие). Обратные утверждения не верны: например, стандартное евклидово пространство (Rn) является σ-компактным, но не компактным, а топология нижнего предела на действительной прямой – Линделёфа, но не σ-компактна. Более того, счётная топология дополнений на любом несчётном множестве является Линделёфа, но не σ-компактна и не локально компактна. Однако верно, что любое локально компактное пространство Линделёфа является σ-компактным. (Иррациональные числа) не являются σ-компактными. Хаусдорфово пространство Байра, которое также является σ-компактным, должно быть локально компактным хотя бы в одной точке. Если G – топологическая группа и G локально компактна в одной точке, то G локально компактна везде. Следовательно, предыдущее свойство говорит нам, что если G – σ-компактная топологическая группа Хаусдорфа, которая также является пространством Байра, то G локально компактна. Это показывает, что для топологических групп Хаусдорфа, которые также являются пространствами Байра, σ-компактность влечёт локальную компактность. Предыдущее свойство, например, подразумевает, что Rω не является σ-компактным: если бы оно было σ-компактным, то оно обязательно было бы локально компактным, поскольку Rω является топологической группой, которая также является пространством Байра. Каждое полукомпактное пространство является σ-компактным. Обратное, однако, не верно: например, пространство рациональных чисел с обычной топологией является σ-компактным, но не полукомпактным. Произведение конечного числа σ-компактных пространств является σ-компактным. Однако произведение бесконечного числа σ-компактных пространств может не быть σ-компактным. σ-компактное пространство X является пространством второй категории (соответственно, пространством Байра) тогда и только тогда, когда множество точек, в которых X локально компактно, непусто (соответственно, плотно) в X.