Кіріспе

Математикада, суръективті дифференциалы бар дифференциалдық көптүрліліктер арасындағы дифференциалдық бейнелеу – суръективті дифференциалы бар дифференциалдық көптүрліліктер арасындағы дифференциалдық бейнелеу. Бұл дифференциалдық топологияның негізгі түсінігі. Субмерсия ұғымы иммерсия ұғымына қарама-қарсы.

Анықтама

M және N дифференциалданатын көптешіктер болсын, ал f – олар арасындағы дифференциалданатын бейнелеу болсын. Егер оның дифференциалы

сверхъективті сызықтық бейнелеу болса, онда f бейнелеуі p нүктесінде субамерсия болады. Бұл жағдайда p нүктесі f бейнелеуінің тұрақты нүктесі деп аталады, әйтпесе p – сындық нүкте. Егер f-тің кері бейнесіндегі барлық p нүктелері тұрақты нүктелер болса, онда нүкте f-тің тұрақты мәні болып табылады. Әрбір p нүктесінде субамерсия болатын дифференциалданатын f бейнелеуі субамерсия деп аталады. Балама ретінде, егер f-тің дифференциалының тұрақты ранкі N өлшеміне тең болса, онда f субамерсия болады.

Ескерту: кейбір авторлар сындық нүкте терминін f-тің p нүктесіндегі Якоби матрицасының ранкі максималды болмаған нүктесін сипаттау үшін қолданады. Шындығында, бұл сингулярлық теорияда көбірек пайдалы ұғым. Егер M өлшемі N өлшемінен үлкен немесе тең болса, онда осы екі сындық нүкте ұғымы сәйкес келеді. Бірақ егер M өлшемі N өлшемінен кіші болса, барлық нүктелер жоғарыдағы анықтамаға сәйкес сындық болып табылады (дифференциал сюръективті бола алмайды), бірақ Якобианның ранкі әлі де максималды болуы мүмкін (егер ол dim M-ге тең болса). Жоғарыдағы анықтама көбірек қолданылады; мысалы, Сард теоремасын тұжырымдағанда.

Алгебралық сорттардың отбасылары

Суға батып кетудің тағы бір үлкен класы алгебралық сорттар отбасылары арқылы беріледі, олардың талшықтары тегіс алгебралық сорттар болып табылады. Егер осы сорттардың жатқан кеңістіктерін қарастырсақ, біз тегіс кеңістіктерді аламыз. Мысалы, Вейерштрасс эллиптік қисықтар отбасы кеңінен зерттелген суға батып кету болып табылады, себебі ол қиылыс гомологиясы және бұрыс шоғырлар сияқты күрделі теорияны көрсету үшін қолданылатын көптеген техникалық қиындықтарды қамтиды. Бұл отбасы мына арқылы беріледі: , мұнда – аффинді түзу, ал – аффинді жазықтық. Біз күрделі сорттарды қарастырып отырғандықтан, олар күрделі түзудің және күрделі жазықтықтың кеңістіктерімен теңдес. Біз нүктелерін жоюымыз керек, себебі сингулярлықтар бар (қос түбір болғандықтан).

Топологиялық көпқабатты суға бату

Суға батырулар жалпы топологиялық көптүрліліктер үшін де жақсы анықталған. Топологиялық көптүрліліктің суға батыруы – бұл үздіксіз және сюръективті f: M → N функциясы, онда M-дегі кез келген p үшін, p нүктесіндегі ψ және f(p) нүктесіндегі φ үздіксіз координаттар жұбы үшін, ψ⁻¹ ∘ f ∘ φ функциясы Rᵐ-ден Rⁿ-ге проекцияға тең болады, мұндағы .