Введение

Дифференциальное отображение между многообразиями, дифференциал которого повсюду сюръективен. В математике, субмерсия — это дифференцируемое отображение между дифференцируемыми многообразиями, дифференциал которого повсюду сюръективен. Это базовое понятие в дифференциальной топологии. Понятие субмерсии двойственно понятию погружения.

Определение

Пусть M и N – дифференцируемые многообразия, а f – дифференцируемое отображение между ними. Отображение f называется подмногообразием в точке p, если его дифференциал

является сюръективным линейным отображением. В этом случае точка p называется регулярной точкой отображения f, иначе – критической точкой. Точка y является регулярным значением f, если все точки p из прообраза f⁻¹(y) являются регулярными точками. Дифференцируемое отображение f, являющееся подмногообразием в каждой точке, называется подмногообразием. Эквивалентно, f является подмногообразием, если его дифференциал имеет постоянный ранг, равный размерности N.

Предупреждение: некоторые авторы используют термин «критическая точка» для описания точки, в которой ранг якобиана f в точке p не является максимальным. Действительно, это более полезное понятие в теории особенностей. Если размерность M больше или равна размерности N, то эти два понятия критической точки совпадают. Но если размерность M меньше размерности N, то все точки являются критическими согласно определению выше (дифференциал не может быть сюръективным), но ранг якобиана все равно может быть максимальным (если он равен dim M). Приведенное выше определение является наиболее распространенным, например, в формулировке теоремы Сарда.

Семьи алгебраических сортов

Другой большой класс погружений задается семействами алгебраических многообразий, волокна которых являются гладкими алгебраическими многообразиями. Если мы рассмотрим лежащие в основе многообразия этих многообразий, мы получим гладкие многообразия. Например, семейство эллиптических кривых Вейерштрасса — это широко изучаемое погружение, поскольку оно включает в себя множество технических сложностей, используемых для демонстрации более сложной теории, такой как гомология пересечений и перверсивные пучки. Это семейство задается выражением, где — аффинная прямая, а — аффинная плоскость. Поскольку мы рассматриваем комплексные многообразия, это эквивалентно пространствам комплексной прямой и комплексной плоскости. Следует отметить, что нам следует исключить точки , поскольку там есть сингулярности (из-за двойного корня).

Топологические многообразные погружения

Погружения также хорошо определены для общих топологических многообразий. Топологическое многообразие, являющееся погружением, — это непрерывное сюръективное отображение f : M → N, такое что для любой точки p из M существуют непрерывные локальные координаты ψ в точке p и φ в точке f(p), для которых отображение ψ⁻¹ ∘ f ∘ φ совпадает с проекцией из Rᵐ в Rⁿ.