Кіріспе
Шексіз түсіру арқылы математикалық дәлелдеу, сондай-ақ Ферманың түсіру әдісі деп аталатын бұл әдіс, кез келген сан үшін бір тұжырымның дұрыс еместігін көрсету үшін қолданылатын қарама-қайшылық арқылы дәлелдеудің ерекше түрі. Егер тұжырым бір сан үшін дұрыс болса, онда сол саннан кішірек сан үшін де дұрыс болатынын көрсету арқылы, шексіз түсіруге және соңында қарама-қайшылыққа келіп тіреледі. Бұл әдіс жақсы реттелгендік принципіне негізделген және көбінесе Диофанти теңдеуі сияқты берілген теңдеудің шешімі жоқ екенін көрсету үшін қолданылады. Әдетте, егер проблеманың шешімі болса, және ол шешім бір немесе бірнеше натурал санмен байланысты болса, онда одан кішірек натурал санмен байланысты екінші шешімнің де бар екендігі шығады. Бұл өз кезегінде, одан да кішірек натурал санмен байланысты үшінші шешімді, содан кейін төртінші, бесінші және т.б. шешімдерді білдіреді. Бірақ, одан әрі кішірейе беретін натурал сандардың шексіз саны болуы мүмкін емес. Сондықтан, математикалық индукция бойынша, бастапқы болжам – яғни, шешімнің бар екендігі – дұрыс емес: оның дұрыстығы қарама-қайшылыққа әкеледі. Мұны басқаша айтқанда, бір немесе бірнеше шешімдердің немесе мысалдардың бар екенін жорамалдап, содан кейін ең кішкентай шешімді немесе мысалды – ең кішкентай қарсы мысалды анықтауға болады. Содан кейін, егер ең кішкентай шешім болса, онда одан кішірек шешім де болуы керек екенін дәлелдеуге тырысады (біраз жағдайда), бұл кез келген шешімнің бар екендігі қарама-қайшылыққа әкелетінін тағы да көрсетеді. Шексіз түсіру әдісінің алғашқы қолданылуы Эвклидтің "Элементтер" еңбегінде кездеседі. Типтік мысалдардың екеуі – Диофанти теңдеуінің шешілмейтінін көрсету және екі квадраттың қосындысы туралы Ферма теоремасын дәлелдеу. Бұл теоремаға сәйкес, екі квадраттың қосындысы түрінде жазыла алатын тақ сан p бар (модульдік арифметика және шексіз түсіру арқылы дәлелдеуді қараңыз). Осылайша Ферма классикалық Диофанти теңдеулерінің көптеген жағдайларында шешімнің жоқтығын көрсетті (мысалы, арифметикалық прогрессиядағы төрт толық квадрат мәселесі). Кейбір жағдайларда, қазіргі көзқарас бойынша, оның "шексіз түсіру әдісі" эллиптік қисық E-дегі рационалдық нүктелер үшін функцияны екі еселеудің инверсиясын пайдалану болып табылады. Мұндағы контекст – E қисығындағы гипотетикалық тривиальді емес рационалдық нүкте. E қисығындағы нүктені екі еселеу, оны жазу үшін қажетті сандардың ұзындығын шамамен екі есеге арттырады (сандар саны ретінде), сондықтан нүктені "жартылай бөлу" кішірек мүшелермен рационалдық нүктені береді. Мүшелер оң болғандықтан, олар шексіз кішірейе алмайды.
In mathematics, a proof by infinite descent, also known as Fermat's method of descent, is a particular kind of proof by contradiction used to show that a statement cannot possibly hold for any number, by showing that if the statement were to hold for a number, then the same would be true for a smaller number, leading to an infinite descent and ultimately a contradiction. It is a method which relies on the well ordering principle, and is often used to show that a given equation, such as a Diophantine equation, has no solutions. Typically, one shows that if a solution to a problem existed, which in some sense was related to one or more natural numbers, it would necessarily imply that a second solution existed, which was related to one or more 'smaller' natural numbers. This in turn would imply a third solution related to smaller natural numbers, implying a fourth solution, therefore a fifth solution, and so on. However, there cannot be an infinity of ever smaller natural numbers, and therefore by mathematical induction, the original premise—that any solution exists—is incorrect: its correctness produces a contradiction. An alternative way to express this is to assume one or more solutions or examples exists, from which a smallest solution or example—a minimal counterexample—can then be inferred. Once there, one would try to prove that if a smallest solution exists, then it must imply the existence of a smaller solution (in some sense), which again proves that the existence of any solution would lead to a contradiction. The earliest uses of the method of infinite descent appear in Euclid's Elements. Two typical examples are showing the non solvability of the Diophantine equation and proving Fermat's theorem on sums of two squares, which states that an odd prime p can be expressed as a sum of two squares when (see Modular arithmetic and proof by infinite descent). In this way Fermat was able to show the non existence of solutions in many cases of Diophantine equations of classical interest (for example, the problem of four perfect squares in arithmetic progression). In some cases, to the modern eye, his "method of infinite descent" is an exploitation of the inversion of the doubling function for rational points on an elliptic curve E. The context is of a hypothetical non trivial rational point on E. Doubling a point on E roughly doubles the length of the numbers required to write it (as number of digits), so that a "halving" a point gives a rational with smaller terms. Since the terms are positive, they cannot decrease forever.
Сандар теориясы
ХХ ғасырдағы сан теориясында шексіз түсу әдісі қайта қолға алынып, алгебралық сан теориясының басты бағытымен және L-функцияларды зерттеумен байланысты деңгейге жеткізілді. Морделлдің эллиптік қисық E-нің рационалдық нүктелерінің шекті туынды Абель тобын құрайтыны туралы құрылымдық нәтижесі Ферма стиліндегі E/2E негізінде шексіз түсу аргументін қолданды. Бұл принципті Абельдік түрлілік A жағдайына кеңейту үшін Андре Вейльге шешімнің мөлшерін анықтау жолын, яғни негізгі ұғымға айналған биіктік функциясы арқылы нақтылау қажет болды. A(Q)/2A(Q)-ның шекті екенін көрсету, A-ның рационалдық нүктелері тобының шекті генерациясы үшін қажетті шарт есебінен, кейіннен Галуа когомологиясы деп танылған есептеулерді жүргізу қажет. Осылайша, теорияда абстрактілі түрде анықталған когомология топтары Ферма дәстүріндегі түсулермен сәйкестендіріледі. Морделл-Вейль теоремасы кейіннен кең ауқымды теорияның бастауы болды.
Егер ол бүтін сан болмаса, оның иррационалдылығы
Кез келген оң бүтін сан үшін, егер ол бүтін сан болмаса, бірақ рационалды сан болып, оны табиғи сандар m және n арқылы өрнектеуге болады, және q саны одан үлкен емес ең үлкен бүтін сан болсын (яғни, q – бөлшектің бүтін бөлігі). Онда, алымы мен бөлімі әрқайсысы оң, бірақ 1-ден кіші болатын (–q) өрнегіне көбейтіліп, содан кейін жеке-жеке қысқартылады. Демек, нәтижеде алынған m' және n' көбейтінділері де бүтін сандар болып табылады және тиісінше m мен n-ден кіші. Сондықтан, m және n сандарын қандай табиғи сандар ретінде қолдансақ та, бірдей қатынаста болатын m' < m және n' < n кіші табиғи сандары табылады. Бірақ табиғи сандар бойынша шексіз төмен түсу мүмкін емес, сондықтан бұл бастапқы болжамды жоққа шығарады, яғни оны табиғи сандардың қатынасы ретінде өрнектеуге болмайды.
The numerator and denominator were each multiplied by the expression ( − q)—which is positive but less than 1—and then simplified independently. So, the resulting products, say m′ and n′, are themselves integers, and are less than m and n respectively. Therefore, no matter what natural numbers m and n are used to express , there exist smaller natural numbers m′ < m and n′ < n that have the same ratio. But infinite descent on the natural numbers is impossible, so this disproves the original assumption that could be expressed as a ratio of natural numbers.