Введение
Техника математического доказательства с использованием противоречия. В математике доказательство бесконечным спуском, также известное как метод Ферма о спуске, является особым видом доказательства от противного, используемым для того, чтобы показать, что утверждение не может выполняться ни для какого числа, демонстрируя, что если бы утверждение выполнялось для некоторого числа, то оно выполнялось бы и для меньшего числа, что привело бы к бесконечному спуску и, в конечном итоге, к противоречию. Этот метод опирается на принцип хорошо упорядоченности и часто используется для доказательства того, что данное уравнение, например, диофантово уравнение, не имеет решений. Обычно показывается, что если бы решение задачи существовало и было связано в некотором смысле с одним или несколькими натуральными числами, то это неизбежно подразумевало бы существование второго решения, связанного с одним или несколькими «меньшими» натуральными числами. Это, в свою очередь, подразумевало бы существование третьего решения, связанного с меньшими натуральными числами, затем четвертого решения, пятого и так далее. Однако не может существовать бесконечно много все меньших и меньших натуральных чисел, и, следовательно, по принципу математической индукции, исходное предположение о существовании решения неверно: его истинность приводит к противоречию. Альтернативный способ выразить это – предположить существование одного или нескольких решений или примеров, из которых можно вывести наименьшее решение или пример – минимальный контрпример. Затем можно попытаться доказать, что если существует наименьшее решение, то оно должно подразумевать существование меньшего решения (в некотором смысле), что снова доказывает, что существование любого решения привело бы к противоречию. Самые ранние применения метода бесконечного спуска встречаются в «Началах» Евклида. Два типичных примера – доказательство неразрешимости диофантова уравнения и доказательство теоремы Ферма о суммах двух квадратов, которая утверждает, что нечетное простое число p можно представить в виде суммы двух квадратов, когда (см. Модульная арифметика и доказательство бесконечным спуском). Таким образом, Ферма смог показать отсутствие решений во многих случаях диофантовых уравнений, представляющих классический интерес (например, задача о четырех полных квадратах в арифметической прогрессии). В некоторых случаях, с современной точки зрения, его «метод бесконечного спуска» представляет собой использование инверсии функции удвоения для рациональных точек на эллиптической кривой E. Контекст – гипотетическая нетривиальная рациональная точка на E. Удвоение точки на E примерно удваивает длину чисел, необходимых для ее записи (как количество цифр), так что «половина» точки дает рациональное число с меньшими коэффициентами. Поскольку коэффициенты положительны, они не могут бесконечно уменьшаться.
In mathematics, a proof by infinite descent, also known as Fermat's method of descent, is a particular kind of proof by contradiction used to show that a statement cannot possibly hold for any number, by showing that if the statement were to hold for a number, then the same would be true for a smaller number, leading to an infinite descent and ultimately a contradiction. It is a method which relies on the well ordering principle, and is often used to show that a given equation, such as a Diophantine equation, has no solutions. Typically, one shows that if a solution to a problem existed, which in some sense was related to one or more natural numbers, it would necessarily imply that a second solution existed, which was related to one or more 'smaller' natural numbers. This in turn would imply a third solution related to smaller natural numbers, implying a fourth solution, therefore a fifth solution, and so on. However, there cannot be an infinity of ever smaller natural numbers, and therefore by mathematical induction, the original premise—that any solution exists—is incorrect: its correctness produces a contradiction. An alternative way to express this is to assume one or more solutions or examples exists, from which a smallest solution or example—a minimal counterexample—can then be inferred. Once there, one would try to prove that if a smallest solution exists, then it must imply the existence of a smaller solution (in some sense), which again proves that the existence of any solution would lead to a contradiction. The earliest uses of the method of infinite descent appear in Euclid's Elements. Two typical examples are showing the non solvability of the Diophantine equation and proving Fermat's theorem on sums of two squares, which states that an odd prime p can be expressed as a sum of two squares when (see Modular arithmetic and proof by infinite descent). In this way Fermat was able to show the non existence of solutions in many cases of Diophantine equations of classical interest (for example, the problem of four perfect squares in arithmetic progression). In some cases, to the modern eye, his "method of infinite descent" is an exploitation of the inversion of the doubling function for rational points on an elliptic curve E. The context is of a hypothetical non trivial rational point on E. Doubling a point on E roughly doubles the length of the numbers required to write it (as number of digits), so that a "halving" a point gives a rational with smaller terms. Since the terms are positive, they cannot decrease forever.
Теория чисел
В теории чисел двадцатого века метод бесконечного спуска был вновь востребован и доведен до точки, где он соединился с основным направлением алгебраической теории чисел и изучением L-функций. Структурный результат Морделла, утверждающий, что рациональные точки на эллиптической кривой E образуют конечно порожденную абелеву группу, использовал аргумент бесконечного спуска, основанный на E/2E в стиле Ферма. Чтобы распространить это на случай абелева многообразия A, Андре Вейлю потребовалось более четко определить способ количественной оценки размера решения, используя функцию высоты – концепцию, которая стала основополагающей. Для доказательства того, что A(Q)/2A(Q) конечно, что, безусловно, является необходимым условием для конечной порождаемости группы A(Q) рациональных точек A, необходимо было проводить вычисления в том, что впоследствии было признано как когомологии Галуа. Таким образом, абстрактно определенные когомологические группы в теории отождествляются с методами бесконечного спуска в традиции Ферма. Теорема Морделла — Вейля стала началом впоследствии очень обширной теории.
Ирациональность, если это не целое число
Для положительного целого числа k, предположим, что не является целым числом, но рациональным и может быть выражено как для натуральных чисел m и n, и пусть q будет наибольшим целым числом, меньшим (то есть q является целой частью ). Тогда числитель и знаменатель были умножены на выражение ( − q) — которое положительно, но меньше 1 — и затем упрощены независимо друг от друга. Таким образом, полученные произведения, обозначим их m′ и n′, сами являются целыми числами и меньше, чем m и n соответственно. Следовательно, независимо от того, какие натуральные числа m и n используются для выражения , существуют меньшие натуральные числа m′ < m и n′ < n, которые имеют то же отношение. Но бесконечный спуск по натуральным числам невозможен, поэтому это опровергает исходное предположение о том, что может быть выражено в виде отношения натуральных чисел.
The numerator and denominator were each multiplied by the expression ( − q)—which is positive but less than 1—and then simplified independently. So, the resulting products, say m′ and n′, are themselves integers, and are less than m and n respectively. Therefore, no matter what natural numbers m and n are used to express , there exist smaller natural numbers m′ < m and n′ < n that have the same ratio. But infinite descent on the natural numbers is impossible, so this disproves the original assumption that could be expressed as a ratio of natural numbers.