Кіріспе
Азайту әдісі
In mathematics and computing, the method of complements is a technique to encode a symmetric range of positive and negative integers in a way that they can use the same algorithm (or mechanism) for addition throughout the whole range. For a given number of places half of the possible representations of numbers encode the positive numbers, the other half represents their respective additive inverses. The pairs of mutually additive inverse numbers are called complements. Thus subtraction of any number is implemented by adding its complement. Changing the sign of any number is encoded by generating its complement, which can be done by a very simple and efficient algorithm. This method was commonly used in mechanical calculators and is still used in modern computers. The generalized concept of the radix complement (as described below) is also valuable in number theory, such as in Midy's theorem. The nines' complement of a number given in decimal representation is formed by replacing each digit with nine minus that digit. To subtract a decimal number y (the subtrahend) from another number x (the minuend) two methods may be used:
In the first method, the nines' complement of x is added to y. Then the nines' complement of the result obtained is formed to produce the desired result. In the second method, the nines' complement of y is added to x and one is added to the sum. The leftmost digit '1' of the result is then discarded. Discarding the leftmost '1' is especially convenient on calculators or computers that use a fixed number of digits: there is nowhere for it to go so it is simply lost during the calculation. The nines' complement plus one is known as the tens' complement. The method of complements can be extended to other number bases (radices); in particular, it is used on most digital computers to perform subtraction, represent negative numbers in base 2 or binary arithmetic and test underflow and overflow in calculation.
Математика мен есептеу техникасында толықтыру әдісі – оң және теріс бүтін сандардың симметриялық диапазонын кодтау тәсілі, олардың барлық диапазон бойынша қосу үшін бірдей алгоритмді (немесе механизмді) пайдалануына мүмкіндік береді. Белгілі бір разряд саны үшін сандардың мүмкін бейнелеулерінің жартысы оң сандарды кодтайды, ал қалған жартысы олардың тиісті кері қосындыларын көрсетеді. Өзара кері қосынды сандар жұбы комплементтер деп аталады. Осылайша, кез келген санды азайту оның комплементін қосу арқылы жүзеге асырылады. Кез келген санның таңбасын өзгерту оның комплементін жасау арқылы кодталады, бұл өте қарапайым және тиімді алгоритммен орындалуы мүмкін. Бұл әдіс механикалық калькуляторларда кеңінен қолданылды және қазіргі компьютерлерде де қолданылады. Радикс комплементінің жалпыланған түсінігі (төменде сипатталғандай) сандар теориясында да құнды, мысалы, Миди теоремасында. Ондық жүйеде берілген санның толықтығы әр цифрды тоғыз бен сол цифрдың айырымымен алмастыру арқылы құрастырылады. Ондық санды y (азайғыш) басқа саннан x (азайылғыш) азайту үшін екі әдіс қолданылуы мүмкін: бірінші әдісте x-тің толықтығы y-ға қосылады. Содан кейін алынған нәтижеге толықтық жасалып, қажетті нәтиже шығарылады. Екінші әдісте y-тің толықтығы x-ке қосылады және сомаға бір қосылады. Нәтижедегі ең сол жақ цифры ‘1’ жойылады. Ең сол жақ ‘1’ цифрын жою, әсіресе, сандардың белгілі бір санымен жұмыс істейтін калькуляторларда немесе компьютерлерде ыңғайлы: оны қоюға басқа жер жоқ, сондықтан ол есептеу кезінде жоғалады. Толықтық плюс бір – ондық толықтық деп аталады. Толықтыру әдісі басқа сандар жүйелеріне (негіздерге) де қолданылуы мүмкін; әсіресе, ол көптеген цифрлық компьютерлерде азайту операциясын орындау, 2-лік немесе бинарлық арифметикадағы теріс сандарды көрсету және есептеулерде ағып кетуді (underflow) және асып кетуді (overflow) тексеру үшін қолданылады.
In mathematics and computing, the method of complements is a technique to encode a symmetric range of positive and negative integers in a way that they can use the same algorithm (or mechanism) for addition throughout the whole range. For a given number of places half of the possible representations of numbers encode the positive numbers, the other half represents their respective additive inverses. The pairs of mutually additive inverse numbers are called complements. Thus subtraction of any number is implemented by adding its complement. Changing the sign of any number is encoded by generating its complement, which can be done by a very simple and efficient algorithm. This method was commonly used in mechanical calculators and is still used in modern computers. The generalized concept of the radix complement (as described below) is also valuable in number theory, such as in Midy's theorem. The nines' complement of a number given in decimal representation is formed by replacing each digit with nine minus that digit. To subtract a decimal number y (the subtrahend) from another number x (the minuend) two methods may be used:
In the first method, the nines' complement of x is added to y. Then the nines' complement of the result obtained is formed to produce the desired result. In the second method, the nines' complement of y is added to x and one is added to the sum. The leftmost digit '1' of the result is then discarded. Discarding the leftmost '1' is especially convenient on calculators or computers that use a fixed number of digits: there is nowhere for it to go so it is simply lost during the calculation. The nines' complement plus one is known as the tens' complement. The method of complements can be extended to other number bases (radices); in particular, it is used on most digital computers to perform subtraction, represent negative numbers in base 2 or binary arithmetic and test underflow and overflow in calculation.
Сандық қосымшалар
Радикс санның радикс толықтығы ретінде анықталады. Іс жүзінде радикс толықтығын азайтылған радикс толықтығына 1 қосу арқылы оңай алуға болады, бұл радикс толықтығын есептеу де қиындық тудырса да, шын мәнінде қарапайым, себебі – бұл сан бірнеше рет қайталанады. Өйткені (Геометриялық қатарлар формуласына да қараңыз). Бұл мәліметті білгеннен кейін, санның азайтылған радикс толықтығын әр цифрды -қа қатысты толықтыру арқылы табуға болады, яғни санның әр цифрынан -ты шығару арқылы. Азайтылған радикс толықтығын пайдаланып -ты -дан шығару мынадай түрде орындалуы мүмкін. -тың азайтылған радикс толықтығын -қа қосып, немесе эквивалентті түрде , яғни -тың азайтылған радикс толықтығын алуға болады. Содан кейін -тың азайтылған радикс толықтығын алып, қажетті жауапты – аламыз. Балама ретінде, радикс толықтығын пайдаланып, -ты -тың радикс толықтығын -қа қосу арқылы алуға болады, нәтижесінде немесе егер деп есептесек, нәтиже кемінде болады және нәтижеден бастапқы -ты шығарып тастау -ты шығарумен бірдей, нәтижесінде немесе жай ғана , қажетті нәтиже шығады. Ондық санау жүйесінде радикс толықтығы ондық толықтық деп, ал азайтылған радикс толықтығы тоғыздық толықтық деп аталады. Екілік санау жүйесінде радикс толықтығы екілік толықтық деп, ал азайтылған радикс толықтығы бірлік толықтық деп аталады. Басқа базалардағы толықтықтардың атаулары да ұқсас. Кейбір мамандар, әсіресе Дональд Кнут, радикс толықтығы мен азайтылған радикс толықтығын ажырату үшін апострофтың орналасуын қолдануды ұсынады. Осы қолданыста төрттік толықтық төрттік санау жүйесіндегі санның радикс толықтығын, ал төрттің толықтығы бес негіздік санау жүйесіндегі санның азайтылған радикс толықтығын білдіреді. Дегенмен, радикс анық болған жағдайда (көбінесе) бұл айырмашылық маңызды емес және апострофтың орналасуындағы шағын айырмашылық кең таралған емес. Көптеген авторлар бірлік және тоғыздық толықтықтарын қолданады, ал көптеген стильдік нұсқаулықтар апострофты тастап, бірлік және тоғыздық толықтықтарын ұсынады.
The subtraction of from using diminished radix complements may be performed as follows. Add the diminished radix complement of to to obtain or equivalently , which is the diminished radix complement of Further taking the diminished radix complement of results in the desired answer of
Alternatively using the radix complement, may be obtained by adding the radix complement of to to obtain or Assuming , the result will be greater or equal to and dropping the leading from the result is the same as subtracting , making the result or just , the desired result. In the decimal numbering system, the radix complement is called the ten's complement and the diminished radix complement the nines' complement. In binary, the radix complement is called the two's complement and the diminished radix complement the ones' complement. The naming of complements in other bases is similar. Some people, notably Donald Knuth, recommend using the placement of the apostrophe to distinguish between the radix complement and the diminished radix complement. In this usage, the four's complement refers to the radix complement of a number in base four while fours' complement is the diminished radix complement of a number in base 5. However, the distinction is not important when the radix is apparent (nearly always), and the subtle difference in apostrophe placement is not common practice. Most writers use one's and nine's complement, and many style manuals leave out the apostrophe, recommending ones and nines complement.
Практикалық қолдану
Көптеген механикалық калькуляторларда тетіктерді кері қайтарудың орнына толықтыру әдісі қолданылған. Мысалы: Паскаль калькуляторында екі сандық жиынтық болған, қара жиынтық қалыпты нәтижені көрсетсе, қызыл жиынтық оның тоғызыншы толықтығын көрсеткен. Бірін жауып, екіншісін ашық қалдыру үшін көлденең тақташа пайдаланылған. Азайту үшін қызыл цифрлар ашылып, 0-ге орнатылған. Содан кейін азайтылатын сандың тоғызыншы толықтығы енгізілген. Кейбір машиналарда бұл азайтылатын санды толықтырудың ішкі дөңгелектерін пайдаланып (яғни азайтылатын сандың тоғызыншы толықтығын есептемей) теру арқылы жасалуы мүмкін. Бұл деректерді толықтыру терезесінде (қызыл жиынтықта) көрсету кезінде оператор азайтылатын сандың тоғызыншы толықтығының тоғызыншы толықтығын, яғни азайтылатын санды көре алатын. Содан кейін тақташаны қара цифрларды көрсету үшін жылжытқан (ол азайтылатын сандың тоғызыншы толықтығын көрсеткен), ал азайғышты теру арқылы қосылған. Соңында, оператор дұрыс жауапты алу үшін тақташаны қайтадан жылжыту керек болған. Комптометрде әр пернеде әдеттегі цифрлармен қатар тоғыздың толықтығы кішірек шрифтпен басылған. Азайту үшін оператор азайғыштан 1-ді санақта алып тастау керек және нәтижені кішірек цифрларды пайдаланып енгізу керек. Азайтудан 1-ді алып тастау кейін 1-ді қосуға тең болғандықтан, оператор осылайша азайғыштың ондық толықтығын қосып беретін. Оператор сондай-ақ жауаптың ең сол жақ цифрына сәйкес келетін "азайту тоқтату тілігін" басып тұру керек. Бұл тілік нәтиженің бастапқы 1-ін жоюдың Комптометр әдісі болған, одан әрі таралуға жол бермейтін. Curta калькуляторы азайту үшін толықтыру әдісін қолданды және оны пайдаланушыдан жасыруға тырысты. Сандар құрылғының бүйірінде орналасқан цифрлық сырғанаулар арқылы енгізілген. Әр сырғанаудағы сан нәтиже санауышқа айналмалы "эшелондық барабанға" (немесе "қадамдық барабанға") шестернялық механизм арқылы қосылған. Барабан құрылғының үстіндегі тұтқаны пайдаланып айналдырылған. Әр цифр тұтқа айналғанда кездесетін камералар саны сол цифрдың мәнімен анықталған. Мысалы, егер сырғанау "6" позициясына орнатылса, барабанның айналасында осы позицияға сәйкес 6 камерадан тұратын қатар кездеседі. Азайту үшін барабанды айналдырудан бұрын сәл ығыстырды, бұл басқа камералар қатарын орнына жылжытты. Бұл қатардағы камералар цифрлардың тоғызыншы толықтығын құрады. Осылайша, 6 камерадан тұратын қатар енді 3 камерадан тұратын қатарға айналды. Ығыстырылған барабан сондай-ақ қосымша бір камераны қосты, ол нәтижеге 1 қосты (толықтыру әдісі үшін қажет). Нәтижелер тізілімінің ең маңызды цифрынан тысқары шығатын, әрқашан болатын ондық толықтырудың "1-лік ағылымы" іс жүзінде жойылды.
Pascal's calculator had two sets of result digits, a black set displaying the normal result and a red set displaying the nines' complement of this. A horizontal slat was used to cover up one of these sets, exposing the other. To subtract, the red digits were exposed and set to 0. Then the nines' complement of the minuend was entered. On some machine this could be done by dialing in the minuend using inner wheels of complements (i. e. without having to mentally determine the nines' complement of the minuend). In displaying that data in the complement window (red set), the operator could see the nines' complement of the nines' complement of the minuend, that is the minuend. The slat was then moved to expose the black digits (which now displayed the nines' complement of the minuend) and the subtrahend was added by dialing it in. Finally, the operator had to move the slat again to read the correct answer. The Comptometer had nines' complement digits printed in smaller type along with the normal digits on each key. To subtract, the operator was expected to mentally subtract 1 from the subtrahend and enter the result using the smaller digits. Since subtracting 1 before complementing is equivalent to adding 1 afterwards, the operator would thus effectively add the ten's complement of the subtrahend. The operator also needed to hold down the "subtraction cutoff tab" corresponding to the leftmost digit of the answer. This tab prevented the carry from being propagated past it, the Comptometer's method of dropping the initial 1 from the result. The Curta calculator used the method of complements for subtraction, and managed to hide this from the user. Numbers were entered using digit input slides along the side of the device. The number on each slide was added to a result counter by a gearing mechanism which engaged cams on a rotating "echelon drum" (a. k. a. "step drum"). The drum was turned by use of a crank on the top of the instrument. The number of cams encountered by each digit as the crank turned was determined by the value of that digit. For example, if a slide is set to its "6" position, a row of 6 cams would be encountered around the drum corresponding to that position. For subtraction, the drum was shifted slightly before it was turned, which moved a different row of cams into position. This alternate row contained the nines' complement of the digits. Thus, the row of 6 cams that had been in position for addition now had a row with 3 cams. The shifted drum also engaged one extra cam which added 1 to the result (as required for the method of complements). The always present ten's complement "overflow 1" which carried out beyond the most significant digit of the results register was, in effect, discarded.
Компьютерде
Қосымшалар әдісі цифрлық компьютерлерде қолданылатын сандық өрнешеуге қарамастан кеңінен қолданылады. Дегенмен, қажетті схемалық тізбектер қолданылатын өрнешеуге байланысты:
Егер екілік толықтырғыш өрнешеуі қолданылса, азайту үшін азайғыштың биттерін инверттеу және ең оң битке тасымалды қосу жеткілікті. Бірлік толықтырғыш өрнешеуін пайдаланғанда, азайғыштың биттерін инверттеу және ең маңызды биттен шыққан тасымалды ең кіші маңызды битке қосу қажет (айналма тасымалды). Белгі-шама өрнешеуінде азайғыштың белгі бітін толықтыру және қосу жеткілікті, бірақ қосу/азайту логикасы белгі біттерін салыстыруы керек, егер олар әртүрлі болса, бір кірісті толықтыруы керек, айналма тасымалды жүзеге асыруы керек және ең маңызды биттен тасымалды болмаса, нәтижені толықтыруы керек.
Қолмен пайдалану
Есептік кітаптары қолмен жазылған кезде қателерді түзету үшін толықтыру әдісі қолданылды. Сандар тізімінен жазбаны жою үшін бухгалтер, шегерілетін санның ондық толықтыруын қосып, жаңа жазба жасай алатын. Бұл жазбаның цифрларының үстіне оның ерекше екенін білдіретін сызық салынатын. Содан кейін, барлық тізімді қосу арқылы дұрыс нәтиже алуға болады. Толықтыру сомасы, кассирлерге бір номиналдағы валютадан (мысалы, 10, 100, 1000 және т.б.) сатып алудан қалдық беретін ақшаны есептеуге көмектеседі. Ондық валюта үшін бұл 10, 100, 1000 сияқты болады, мысалы, $10.00 банкнот.
Бастауыш сыныптағы білім беруде
Бастауыш сыныптарда оқушыларға кейде толықтыру әдісі ақыл-есептеуде пайдалы қысқа жол ретінде оқытылады. Шегеру, шегілінетін санның ондық толықтырысын қосу арқылы жасалады, ол тоғыздық толықтырыс плюс 1-ге тең. Егер айырманың оң болатыны анық болса, осы қосудың нәтижесі қолданылады, әйтпесе қосу нәтижесінің ондық толықтырысы қолданылып, теріс деп белгіленеді. Осы техника қосу машинасымен шегеру үшін де қолданылады.