Серр дуалдығы: алгебралық геометриядағы маңызды теорема. Когеренттік қабаттардың когомологиясы, проективтік сорттар, және Ходж теориясы туралы ақпарат.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Алгебралық геометрияда, математиканың бір саласы, Серрдің дуалдығы — Жан Пьер Серр дәлелдеген алгебралық сорттардың когерентті шоғыр кохомологиясы үшін дуалдық. Негізгі нұсқасы тегіс проективті сорттардағы векторлық бундельдерге қолданылады, бірақ Александр Гротендик кеңейтілген жалпыламаларды тапты, мысалы, ерекше сорттар үшін. n өлшемді сортта теорема кохомология тобының екіншісінің дуалдық кеңістігіне тең екенін көрсетеді. Серрдің дуалдығы — топологиядағы Пуанкаре дуалдығының когерентті шоғыр кохомологиясы бойынша аналогы, онда канондық түзу бунделі бағдар шоғырын алмастырады. Серрдің дуалдық теоремасы күрделі геометрияда да қолданылады, әсіресе проективті күрделі алгебралық сорттар болмаған компактты күрделі көптүрліліктер үшін. Бұл жағдайда Серрдің дуалдық теоремасы Дольбо кохомологиясы үшін Ходж теориясының қолданылуы болып табылады және эллиптикалық операторлар теориясының нәтижесі ретінде қарастырылуы мүмкін. Дольбо теоремасының шоғыр кохомологиясын Дольбо кохомологиясымен байланыстыру арқылы, ерекше емес проективті күрделі алгебралық сорттар үшін Серрдің дуалдығының екі түсінігі сәйкес келеді.
In algebraic geometry, a branch of mathematics, Serre duality is a duality for the coherent sheaf cohomology of algebraic varieties, proved by Jean Pierre Serre. The basic version applies to vector bundles on a smooth projective variety, but Alexander Grothendieck found wide generalizations, for example to singular varieties. On an n dimensional variety, the theorem says that a cohomology group is the dual space of another one, Serre duality is the analog for coherent sheaf cohomology of Poincaré duality in topology, with the canonical line bundle replacing the orientation sheaf. The Serre duality theorem is also true in complex geometry more generally, for compact complex manifolds that are not necessarily projective complex algebraic varieties. In this setting, the Serre duality theorem is an application of Hodge theory for Dolbeault cohomology, and may be seen as a result in the theory of elliptic operators. These two different interpretations of Serre duality coincide for non singular projective complex algebraic varieties, by an application of Dolbeault's theorem relating sheaf cohomology to Dolbeault cohomology.
Алгебралық теорема
X-ті k өрісіндегі n өлшемді тегіс сан алуандық деп алсын. Каноникалық түзу тобын X-тегі n-формалар тобы, котангенттік топтың жоғарғы сыртқы қуаты деп анықтаңыз:
Let X be a smooth variety of dimension n over a field k. Define the canonical line bundle to be the bundle of n forms on X, the top exterior power of the cotangent bundle:
Сонымен қатар, X-ті k үстінде дұрыс (мысалы, проективті) деп есептейік. Онда Серре дуалдығы былай дейді: X-тегі алгебралық векторлық топ E және i бүтін саны үшін табиғи изоморфизм бар:
Suppose in addition that X is proper (for example, projective) over k. Then Serre duality says: for an algebraic vector bundle E on X and an integer i, there is a natural isomorphism:
шекті өлшемді k векторлық кеңістіктері. Мұнда векторлық топтардың тензорлық көбейтіндісі белгіленген. Осыдан екі кохомология тобының өлшемдері тең екендігі шығады:
of finite dimensional k vector spaces. Here denotes the tensor product of vector bundles. It follows that the dimensions of the two cohomology groups are equal:
Пуанкаре дуалдығындағыдай, Серре дуалдығындағы изоморфизм буынды кохомологиядағы тостаған көбейтіндісінен туындайды. Атап айтқанда, тостаған көбейтіндісінің табиғи із картасымен құрамы толық жұптасу болып табылады:
As in Poincaré duality, the isomorphism in Serre duality comes from the cup product in sheaf cohomology. Namely, the composition of the cup product with a natural trace map on is a perfect pairing:
Із картасы – үйлесімді бушақ кохомологиясындағы интеграцияның де Рам кохомологиясындағы аналогы.
The trace map is the analog for coherent sheaf cohomology of integration in de Rham cohomology.
Калаби-Яу үштігінің күрделі модульдері
Әсіресе, Серре дуалдығын қолдана отырып, Калаби-Яу сортындағы бесінші дәрежелі үштік үшін күрделі деформациялардың санын есептеуге болады. Калаби-Яу қасиеті Серре дуалдығын қамтамасыз етеді, сондықтан Серре дуалдығы бізге Ходж ромбындағы күрделі модульдер саны тең екенін көрсетеді. Әрине, соңғы тұжырым Богомолев-Тянь-Тодоров теоремасына байланысты, ол Калаби-Яу сортындағы кез келген деформация кедергісіз екенін айтады.
In particular, we can compute the number of complex deformations, equal to for a quintic threefold in , a Calabi–Yau variety, using Serre duality. Since the Calabi–Yau property ensures Serre duality shows us that showing the number of complex moduli is equal to in the Hodge diamond. Of course, the last statement depends on the Bogomolev–Tian–Todorov theorem which states every deformation on a Calabi–Yau is unobstructed.