Введение
В алгебраической геометрии, ветви математики, дуальность Серра — это дуальность для когерентной когомологии пучков на алгебраических многообразиях, доказанная Жаном Пьером Серром. Базовая версия применима к векторным расслоениям на гладком проективном многообразии, но Александр Гротендик нашёл широкие обобщения, например, для сингулярных многообразий. Для n-мерного многообразия теорема утверждает, что группа когомологий является двойственным пространством к другой группе. Дуальность Серра является аналогом двойственности Пуанкаре в топологии для когерентной когомологии пучков, где каноническое линейное расслоение заменяет ориентирующий пучок. Теорема о дуальности Серра также справедлива в комплексной геометрии в более общем смысле, для компактных комплексных многообразий, не обязательно являющихся проективными комплексными алгебраическими многообразиями. В этом контексте теорема о дуальности Серра является применением теории Ходжа для когомологий Долбо и может рассматриваться как результат в теории эллиптических операторов. Эти две различные интерпретации дуальности Серра совпадают для несингулярных проективных комплексных алгебраических многообразий благодаря применению теоремы Долбо, связывающей когомологии пучков с когомологиями Долбо.
Алгебраическая теорема
Пусть X — гладкое многообразие размерности n над полем k. Определим канонический пучок как пучок n-форм на X, верхнюю внешнюю степень котангентного пучка:
Предположим дополнительно, что X является собственным (например, проективным) над k. Тогда двойственность Серра утверждает: для алгебраического векторного пучка E на X и целого числа i существует естественный изоморфизм:
конечных размерных k-векторных пространств. Здесь обозначает тензорное произведение векторных пучков. Отсюда следует, что размерности двух групп когомологий равны:
Как и в двойственности Пуанкаре, изоморфизм в двойственности Серра происходит из произведения чашек в когомологиях пучков. А именно, композиция произведения чашек с естественным следом на карте является совершенным спариванием:
След является аналогом для когерентных когомологий пучков интегрирования в когомологиях де Рама.
Комплексные модули CalabiYau тройных
В частности, мы можем вычислить количество комплексных деформаций, равное для квинтического трехмерного многообразия в , разновидности Калаби-Яу, используя дуальность Серра. Поскольку свойство Калаби-Яу гарантирует выполнение дуальности Серра, это показывает, что число комплексных модулей равно в диаграмме Ходжа. Конечно, последнее утверждение зависит от теоремы Богомолева — Тяня — Тодорова, которая утверждает, что каждая деформация на Калаби-Яу не имеет препятствий.