Введение
Ограничение скаляров
В математике ограничение скаляров (также известное как "ограничение Вейля") — это функтор, который для любого конечного расширения полей L/k и любого алгебраического многообразия X над L порождает другое многообразие ResL/kX, определенное над k. Оно полезно для сведения вопросов о многообразиях над большими полями к вопросам о более сложных многообразиях над меньшими полями.
In mathematics, restriction of scalars (also known as "Weil restriction") is a functor which, for any finite extension of fields L/k and any algebraic variety X over L, produces another variety ResL/kX, defined over k. It is useful for reducing questions about varieties over large fields to questions about more complicated varieties over smaller fields.
Определение
Пусть L/k — конечное расширение полей, а X — многообразие, определенное над L. Функтор из k-схем в множества определяется следующим образом:
(В частности, k-рациональные точки X — это L-рациональные точки X.) Многообразие, представляющее этот функтор, называется ограничением скаляров и является единственным с точностью до единственного изоморфизма, если оно существует. С точки зрения пучков множеств, ограничение скаляров — это просто прямое отображение вдоль морфизма и является правым сопряженным к волокнистому произведению схем, поэтому вышеприведенное определение можно перефразировать в гораздо более общем виде. В частности, можно заменить расширение полей любым морфизмом кольцевых топосов, а условия на X можно ослабить, например, до стеков. Это достигается за счет меньшего контроля над поведением ограничения скаляров.
Альтернативное определение
Пусть φ — морфизм схем. Для схемы S, если контравариантный функтор
is representable, then we call the corresponding scheme, which we also denote with , the Weil restriction of with respect to
Where denotes the dual of the category of schemes over a fixed scheme .
Hom(S, –) : Cat(Sch/k) → Set
is representable, then we call the corresponding scheme, which we also denote with , the Weil restriction of with respect to
Where denotes the dual of the category of schemes over a fixed scheme .
представим, то соответствующую схему, которую мы также обозначаем как φ*S, называем ограничением Вейля схемы S относительно φ.
is representable, then we call the corresponding scheme, which we also denote with , the Weil restriction of with respect to
Where denotes the dual of the category of schemes over a fixed scheme .
Здесь Cat(Sch/k) обозначает двойственную категорию к категории схем над фиксированной схемой k.
is representable, then we call the corresponding scheme, which we also denote with , the Weil restriction of with respect to
Where denotes the dual of the category of schemes over a fixed scheme .
Свойства
Для любого конечного расширения полей ограничение скаляров переводит квазипроективные многообразия в квазипроективные многообразия. Размерность полученного многообразия умножается на степень расширения. При подходящих предположениях (например, плоское, собственное, конечно представленное), любой морфизм алгебраических пространств порождает функтор ограничения скаляров, который переводит алгебраические стеки в алгебраические стеки, сохраняя свойства, такие как Артинов, Делинь — Мамфордов и представимость.
Ограничения Вейла против преобразований Гринберга
Ограничение скаляров аналогично преобразованию Гринберга, но не является его обобщением, так как кольцо векторов Витта над коммутативной алгеброй A, как правило, не является A-алгеброй.