Реттік қатынастар теориясы

Кіріспе

Математиканың саласы

Тәртіп теориясы – бинарлық қатынастарды қолдана отырып, тәртіп туралы интуитивті ұғымды зерттейтін математиканың бір саласы. Ол "бұл одан кем" немесе "бұл одан ертерек" сияқты мәлімдемелерді сипаттау үшін формалды негіз ұсынады. Бұл мақала осы салаға кіріспе жасап, негізгі анықтамаларды береді. Тәртіп теориясы терминдерінің тізімін тәртіп теориясы сөздігінен табуға болады.

Негізгі фактілер және мотивация

Математика және компьютерлік ғылым сияқты ұқсас салаларда тәртіп кеңінен таралған. Бастауыш мектепте көбінесе талқыланатын алғашқы тәртіп – табиғи сандардың стандартты тәртібі, мысалы, "2 саны 3-тен кішi", "10 саны 5-тен үлкен" немесе "Томның Саллиден кем печеньесі бар ма?". Бұл интуитивті ұғымды бүтін сандар мен нақты сандар сияқты басқа да сандар жиындарына қатысты тәртіптерге кеңейтуге болады. Бір санның екінші саннан үлкен немесе кіші болу идеясы – сандық жүйелердің (сандар жүйелерімен салыстырғанда) жалпы негізгі түсінігінің бірі (әдетте екі санның нақты айырмасына да қызығушылық танытылады, бірақ тәртіп оны қамтамасыз етпейді). Тәртіптердің тағы бір таныс мысалдары – сөздіктегі сөздердің әліпбилік тәртібі және адамдар тобындағы туыстық байланыс. Тәртіп ұғымы өте жалпы, ол тікелей, интуитивті сезім беретін реттілік немесе салыстырмалы мөлшерден асып түседі. Басқа жағдайларда тәртіптер қамту немесе мамандану ұғымдарын көрсете алады. Абстрактілі түрде, мұндай тәртіп – кіші жиын қатынасына тең, мысалы, "Педиатрлар – дәрігерлер", және "Шеңберлер – арнайы эллипс жағдайлары ғана". "Табиғи сандардағы кішіден" және сөздердегі әліпбилік тәртіп сияқты кейбір тәртіптер ерекше қасиетке ие: әрбір элемент кез келген басқа элементпен салыстырылуы мүмкін, яғни ол кішi (алдыңғы), үлкен (кейінгі) немесе тең болады. Дегенмен, көптеген басқа тәртіптерде бұлай емес. Мысалы, жиындықтар жиынындағы кіші жиын тәртібін қарастырайық: құстар мен итттер жиынтығы жануарлар жиынтығының кіші жиындары болғанымен, құстар немесе итттер екіншісінің кіші жиынын құрамайды. Салыстыруға келмейтін элементтері бар тәртіптер толық емес тәртіптер деп аталады; элементтердің әрбір жұбы салыстырылатын тәртіптер толық тәртіптер болып табылады. Тәртіп теориясы осындай мысалдардан туындайтын тәртіптің интуициясын жалпы жағдайда қамтиды. Бұл ≤ қатынасының математикалық тәртіп болуы үшін қанағаттандыруы тиіс қасиеттерді анықтау арқылы жүзеге асырылады. Бұл абстрактілірек тәсілдің мағынасы зор, өйткені нақты тәртіптің егжей-тегжейіне назар аудармай, жалпы жағдайда көптеген теоремаларды алуға болады. Осы түсініктерді аз абстрактілі қолданыстарға оңай көшіруге болады. Тәртіптердің кеңінен практикалық қолданылуына байланысты реттелген жиынтықтардың көптеген ерекше түрлері анықталды, олардың кейбіреуі өздерінің математикалық салаларына айналды. Сонымен қатар, тәртіп теориясы тәртіптеу қатынастарының әр түрлі сыныптарымен ғана шектемейді, сонымен қатар олардың арасындағы тиісті функцияларды да қарастырады. Функциялардың тәртіптік қасиетінің қарапайым мысалы – монотонды функциялар жиі кездесетін талдау.

Orders are everywhere in mathematics and related fields like computer science. The first order often discussed in primary school is the standard order on the natural numbers e. g. "2 is less than 3", "10 is greater than 5", or "Does Tom have fewer cookies than Sally?". This intuitive concept can be extended to orders on other sets of numbers, such as the integers and the reals. The idea of being greater than or less than another number is one of the basic intuitions of number systems (compare with numeral systems) in general (although one usually is also interested in the actual difference of two numbers, which is not given by the order). Other familiar examples of orderings are the alphabetical order of words in a dictionary and the genealogical property of lineal descent within a group of people. The notion of order is very general, extending beyond contexts that have an immediate, intuitive feel of sequence or relative quantity. In other contexts orders may capture notions of containment or specialization. Abstractly, this type of order amounts to the subset relation, e. g., "Pediatricians are physicians," and "Circles are merely special case ellipses." Some orders, like "less than" on the natural numbers and alphabetical order on words, have a special property: each element can be compared to any other element, i. e. it is smaller (earlier) than, larger (later) than, or identical to. However, many other orders do not. Consider for example the subset order on a collection of sets: though the set of birds and the set of dogs are both subsets of the set of animals, neither the birds nor the dogs constitutes a subset of the other. Those orders like the "subset of" relation for which there exist incomparable elements are called partial orders; orders for which every pair of elements is comparable are total orders. Order theory captures the intuition of orders that arises from such examples in a general setting. This is achieved by specifying properties that a relation ≤ must have to be a mathematical order. This more abstract approach makes much sense, because one can derive numerous theorems in the general setting, without focusing on the details of any particular order. These insights can then be readily transferred to many less abstract applications. Driven by the wide practical usage of orders, numerous special kinds of ordered sets have been defined, some of which have grown into mathematical fields of their own. In addition, order theory does not restrict itself to the various classes of ordering relations, but also considers appropriate functions between them. A simple example of an order theoretic property for functions comes from analysis where monotone functions are frequently found.

Негізгі анықтамалар

Бұл бөлім жинақтар теориясы, арифметика және бинарлық қатынастар негізінде реттелген жиынтарды енгізеді.

Посетті елестету

Хассе диаграммалары ішінара реттелген жиынның элементтері мен қатынастарын визуальды түрде көрсетуге мүмкіндік береді. Бұл – элементтері жиынның өзі болып табылатын, ал реттік қатынас жиектер арқылы да, элементтердің өзара орналасуы арқылы да көрсетілетін графикалық сызбалар. Реттер төменнен жоғары қарай салынады: егер элемент x, y-дан кіші болса (алдында тұрса), онда x-тен y-ға қарай жоғары бағытталған жол болуы керек. Элементтерді қосатын жиектердің бір-бірімен қиылысуы жиі кездеседі, бірақ элементтер ешқашан жиектің ішінде орналаспауы тиіс. Жақсы жаттығу – 13-ке тең немесе кіші натурал сандар жиыны үшін Хассе диаграммасын салу. Тіпті кейбір шексіз жиындарды да шектік ішкі жиынға эллипс ( ) қосып диаграммалауға болады. Бұл натурал сандар үшін жақсы жұмыс істейді, бірақ 0-ден кейін тікелей келесі элементі жоқ нақты сандар үшін қолданылмайды; алайда, көбінесе осы сияқты диаграммаларға қатысты түсініктерге ие болуға болады.

Тапсырманың ерекше элементтері

Ішінара реттелген жиынтықта ерекше рөл атқаратын кейбір элементтер болуы мүмкін. Ең негізгі мысал – реттік жиынның ең кіші элементі. Мысалы, 1 – оң бүтін сандардың ең кіші элементі, ал бос жиын – кіші жиын ретінде ең кіші жиын. Формальды түрде, элемент m ең кіші элемент болып табылады, егер: m ≤ a, реттің барлық элементтері a үшін. Ең кіші элементті белгілеу үшін 0 жиі қолданылады, тіпті сандар туралы сөз болмаса да. Дегенмен, сандар жиынтығындағы реттеулерде бұл белгіленуі орынсыз немесе түсініксіз болуы мүмкін, өйткені 0 саны әрқашан ең кіші емес. Мысал ретінде жоғарыдағы бөлінгіштік ретін қарастырайық, онда 1 ең кіші элемент болып табылады, өйткені ол барлық басқа сандарды бөледі. Керісінше, 0 – барлық басқа сандардың бөлгісі. Сондықтан ол реттің ең үлкен элементі. Ең кіші және ең үлкен элементтерді белгілеу үшін жиі қолданылатын басқа терминдер – төменгі және жоғарғы, немесе нөл және бірлік. Ең кіші және ең үлкен элементтердің болмауы мүмкін, мысалы, нақты сандарда. Бірақ егер олар болса, олар әрқашан бірегей болады. Мысалы, {2,3,4,5,6} жиынын қарастырайық. Бұл жиынның жоғарғы және төменгі шектері болмаса да, 2, 3 және 5 элементтерінің төмендегі элементтері жоқ, ал 4, 5 және 6 элементтерінің жоғарыдағы элементтері жоқ. Мұндай элементтер тиісінше минималды және максималды деп аталады. Формальды түрде, элемент m минималды болып табылады, егер: барлық элементтер үшін a, a ≤ m болса, a = m. ≤ белгісін ≥ белгісімен алмастыру максималдықтың анықтамасын береді. Мысалдан көрініп тұрғандай, көптеген максималды элементтер болуы мүмкін, және кейбір элементтер бір мезгілде максималды да, минималды да болуы мүмкін (мысалы, жоғарыдағы 5 саны). Алайда, егер ең кіші элемент болса, онда ол реттің жалғыз минималды элементі болады. Сонымен қатар, шексіз реттік жиынтықтарда максималды элементтер әрқашан бола бермейді – берілген шексіз жиынның барлық шекті кіші жиынтықтарының жиынтығы, кіші жиынтықтарды қосу арқылы реттелген, көптеген қарсы мысалдардың бірін ұсынады. Максималды элементтердің болуын қамтамасыз етудің маңызды құралы – Зорн леммасы. Ішінара реттелген жиынтықтардың кіші жиынтықтары реттік қасиеттерді мұралайды. Біз бұны {2,3,4,5,6} жиынын қарастыру арқылы қолдандық, ол табиғи сандардың кіші жиыны болып табылады және бөлінгіштік ретімен реттелген. Сонымен қатар, реттің кейбір кіші жиынтықтарына қатысты ерекше болатын элементтер де бар. Бұл жоғарғы шектерді анықтауға әкеледі. Егер P реттік жиынының S кіші жиыны берілген болса, S-тің жоғарғы шегі – P-нің барлық элементтерінен жоғары болатын b элементі. Формальды түрде, бұл S-дегі барлық s үшін s ≤ b дегенді білдіреді. Төменгі шектерді анықтау үшін ретті кері қайтару жеткілікті. Мысалы, 5 – бүтін сандар жиынының кіші жиыны ретінде табиғи сандардың төменгі шегі. Егер жинақтар жиыны берілген болса, олардың жинағының жоғарғы шегі олардың бірігуімен беріледі. Шын мәнінде, бұл жоғарғы шек өте ерекше: ол барлық жинақтарды қамтитын ең кіші жинақ. Сондықтан, біз жинақтар жиынының ең кіші жоғарғы шегін таптық. Бұл ұғымды supremum немесе join деп те атайды, ал S жиыны үшін sup(S) немесе оның ең кіші жоғарғы шегі деп жазады. Керісінше, ең кіші төменгі шек инфимум немесе meet деп аталады және inf(S) деп белгіленеді. Бұл ұғымдар реттік теорияның көптеген қолданбаларында маңызды рөл атқарады. Екі элемент x және y үшін, sup({x,y}) және inf({x,y}) деп жазады. Мысалы, 1 – бүтін сандар жиынының кіші жиыны ретінде оң бүтін сандардың инфимумы. Тағы бір мысалға келсек, табиғи сандардағы | қатынасын қарастырайық. Екі санның ең кіші жоғарғы шегі – бұл екеуіне де бөлінетін ең кіші сан, яғни сандардың ең кіші ортақ еселігі. Ең үлкен төменгі шектер ең үлкен ортақ бөлгішпен беріледі.

In a partially ordered set there may be some elements that play a special role. The most basic example is given by the least element of a poset. For example, 1 is the least element of the positive integers and the empty set is the least set under the subset order. Formally, an element m is a least element if:

m ≤ a, for all elements a of the order. The notation 0 is frequently found for the least element, even when no numbers are concerned. However, in orders on sets of numbers, this notation might be inappropriate or ambiguous, since the number 0 is not always least. An example is given by the above divisibility order |, where 1 is the least element since it divides all other numbers. In contrast, 0 is the number that is divided by all other numbers. Hence it is the greatest element of the order. Other frequent terms for the least and greatest elements is bottom and top or zero and unit. Least and greatest elements may fail to exist, as the example of the real numbers shows. But if they exist, they are always unique. In contrast, consider the divisibility relation | on the set {2,3,4,5,6}. Although this set has neither top nor bottom, the elements 2, 3, and 5 have no elements below them, while 4, 5 and 6 have none above. Such elements are called minimal and maximal, respectively. Formally, an element m is minimal if:

a ≤ m implies a = m, for all elements a of the order. Exchanging ≤ with ≥ yields the definition of maximality. As the example shows, there can be many maximal elements and some elements may be both maximal and minimal (e. g. 5 above). However, if there is a least element, then it is the only minimal element of the order. Again, in infinite posets maximal elements do not always exist the set of all finite subsets of a given infinite set, ordered by subset inclusion, provides one of many counterexamples. An important tool to ensure the existence of maximal elements under certain conditions is Zorn's Lemma. Subsets of partially ordered sets inherit the order. We already applied this by considering the subset {2,3,4,5,6} of the natural numbers with the induced divisibility ordering. Now there are also elements of a poset that are special with respect to some subset of the order. This leads to the definition of upper bounds. Given a subset S of some poset P, an upper bound of S is an element b of P that is above all elements of S. Formally, this means that

s ≤ b, for all s in S.

Lower bounds again are defined by inverting the order. For example, 5 is a lower bound of the natural numbers as a subset of the integers. Given a set of sets, an upper bound for these sets under the subset ordering is given by their union. In fact, this upper bound is quite special: it is the smallest set that contains all of the sets. Hence, we have found the least upper bound of a set of sets. This concept is also called supremum or join, and for a set S one writes sup(S) or for its least upper bound. Conversely, the greatest lower bound is known as infimum or meet and denoted inf(S) or These concepts play an important role in many applications of order theory. For two elements x and y, one also writes and for sup({x,y}) and inf({x,y}), respectively. For example, 1 is the infimum of the positive integers as a subset of integers. For another example, consider again the relation | on natural numbers. The least upper bound of two numbers is the smallest number that is divided by both of them, i. e. the least common multiple of the numbers. Greatest lower bounds in turn are given by the greatest common divisor.

Дуальділік

Алдыңғы анықтамаларда біз ұғымды бұрынғы анықтаманың ретін кері аудару арқылы анықтауға болатынын жиі атап өттік. Бұл "ең кіші" және "ең үлкен", "минимал" және "максимал", "жоғарғы шек" және "төменгі шек" және т.б. үшін де осылай. Бұл тәртіп теориясындағы жалпы жағдай: берілген тәртіпті оның бағытын өзгертіп, Хассе диаграммасын жоғарыдан төменге қарай бұрып кері айналдыруға болады. Бұл осылайша екілік, кері немесе қарама-қарсы тәртіп деп аталады. Кез келген тәртіп теориялық анықтаманың екілігі бар: ол кері тәртіпке анықтаманы қолдану арқылы алынған ұғым. Барлық ұғымдар симметриялық болғандықтан, бұл операция ішінара тәртіптердің теоремаларын сақтайды. Берілген математикалық нәтиже үшін, тәртіпті кері аударып, барлық анықтамаларды олардың екіліктерімен алмастырсаңыз, тағы бір дұрыс теорема аласыз. Бұл маңызды және пайдалы, себебі бір теореманың орнына екі теорема аласыз. Тәртіп теориясындағы екілік туралы мақалада осыған қатысты толыққанды мәліметтер мен мысалдарды табуға болады.

Жаңа тапсырыстарды құру

Берілген бұйрықтардан бұйрықтарды құрудың көптеген жолдары бар. Екілік тәртіп – осыған бір мысал. Тағы бір маңызды құрылым – екі жартылай реттелген жиынның декарт көбейтіндісі, элементтер жұптарындағы көбейтінділік ретпен бірге. Реттеу (a, x) ≤ (b, y) шартымен анықталады, егер және тек қана егер a ≤ b және x ≤ y болса. (Осы анықтамада ≤ қатынас белгісінің үш түрлі мағынасы бар екеніне назар аударыңыз.) Екі ішінара реттелген жиынның ажыратылған біріктірілуі – тәртіп құрастырудың тағы бір типік мысалы, онда реттеу бастапқы реттеулердің (ажыратылған) біріктірілуі болып табылады. Кез келген ішінара реттеу ≤, a ≤ b және b ≤ a емес болса, a < b деп анықталғанда, «қатаң реттеу» деп аталатын < реттеуін тудырады. Бұл түрлендіруді a < b немесе a = b болса, a ≤ b деп қою арқылы кері қайтаруға болады. Екі түсінік эквивалентті, бірақ кейбір жағдайларда біреуі екіншісінен жұмыс істеуге ыңғайлырақ болуы мүмкін.

Тапсырмалар арасындағы функциялар

Екі жиынның рет қатынастарына байланысты белгілі бір қосымша қасиеттері бар ішінара реттелген жиынтар арасындағы функцияларды қарастыру орынды. Бұл жағдайда ең негізгі жағдай - біртектілік. P жиынынан Q жиынына f функциясы монотонды немесе тәртіпті сақтайтын болады, егер P-де a ≤ b болса, онда Q-да f(a) ≤ f(b) болса (Екі қатынас әртүрлі, өйткені олар әртүрлі жиынтарға қолданылады). Бұл қатынастың керісі реттілікті көрсететін функцияларға алып келеді, яғни f(a) ≤ f(b) болса, онда a ≤ b болатын f функциялары. Екінші жағынан, функция реттік кері немесе антитон болуы мүмкін, егер a ≤ b болса, онда f(a) ≥ f(b) болса. Ретті ендіру – бұл ретті сақтайтын және ретті көрсететін функция, яғни f функциясы екі қасиетті де қанағаттандырады. Мұндай анықтамаларға мысалдар оңай табылады. Мысалы, табиғи санды оның кейінгісімен сәйкестендіретін функция табиғи реттілікке қатысты айқын монотонды. Сәйкестік ретімен (=) реттелген жиыннан кез келген функция да монотонды болады. Әрбір табиғи санды сәйкес келетін нақты санға сәйкестендіру ретті ендірудің мысалы. Күш жиынындағы жиынның толықтыруы антитон функциясының мысалы. Маңызды сұрақ – екі рет "негізінен тең" болғанда, яғни элементтерін қайта атаудан басқа ешқандай айырмашылығы болмағанда. Реттік изоморфизмдер – мұндай қайта атауды анықтайтын функциялар. Реттік изоморфизм – монотонды кері функциясы бар монотонды биективті функция. Бұл сюръективті рет ендіруге тең. Сондықтан, рет ендірудің бейнесі f(P) әрқашан P-ге изоморфты болады, бұл "ендіру" терминін негідейді. Функциялардың тағы бір күрделі түрі – Галуа байланыстары. Монотонды Галуа байланыстарын реттік изоморфизмдердің жалпылауы ретінде қарастыруға болады, өйткені олар кері бағыттағы екі функциядан тұрады, олар бір-біріне толыққанды кері емес, бірақ жақын қарым-қатынаста болады. Посеттегі өзіне-өз функцияларының тағы бір ерекше түрі – жабылу операторлары, олар монотонды ғана емес, сонымен қатар идемпотентті, яғни f(x) = f(f(x)), және экстенсивті (немесе инфляциялық), яғни x ≤ f(x). Бұлар математикада кездесетін "жабылулардың" барлық түрлерінде көптеген қолданысқа ие. Функциялар позиттер арасындағы реттік қатынастармен үйлесімді болудан басқа, арнайы элементтер мен құрылымдарға қатысты да жақсы қасиеттерге ие болуы мүмкін. Мысалы, ең кіші элементі бар позиттер туралы сөйлескенде, осы элементті сақтайтын, яғни ең кіші элементтерді ең кіші элементтерге бейнелейтін монотонды функцияларды ғана қарастыру орынды болып көрінуі мүмкін. Егер екілік инфимум ∧ болса, онда f(x ∧ y) = f(x) ∧ f(y) шарты барлық x және y үшін орындалуы мүмкін. Осы қасиеттердің барлығын және одан да көптерін шек сақтайтын функциялар деп біріктіруге болады. Соңында, функциялардың ретінен функциялар ретіне көзқарасты ауыстыруға болады. Шын мәнінде, екі позит P және Q арасындағы функцияларды нүктелік рет арқылы реттеуге болады. Егер барлық x элементтері үшін f(x) ≤ g(x) болса, онда f ≤ g. Мұндай жағдай, мысалы, домен теориясында кездеседі, онда функциялық кеңістіктер маңызды рөл атқарады.

It is reasonable to consider functions between partially ordered sets having certain additional properties that are related to the ordering relations of the two sets. The most fundamental condition that occurs in this context is monotonicity. A function f from a poset P to a poset Q is monotone, or order preserving, if a ≤ b in P implies f(a) ≤ f(b) in Q (Noting that, strictly, the two relations here are different since they apply to different sets.). The converse of this implication leads to functions that are order reflecting, i. e. functions f as above for which f(a) ≤ f(b) implies a ≤ b. On the other hand, a function may also be order reversing or antitone, if a ≤ b implies f(a) ≥ f(b). An order embedding is a function f between orders that is both order preserving and order reflecting. Examples for these definitions are found easily. For instance, the function that maps a natural number to its successor is clearly monotone with respect to the natural order. Any function from a discrete order, i. e. from a set ordered by the identity order "=", is also monotone. Mapping each natural number to the corresponding real number gives an example for an order embedding. The set complement on a powerset is an example of an antitone function. An important question is when two orders are "essentially equal", i. e. when they are the same up to renaming of elements. Order isomorphisms are functions that define such a renaming. An order isomorphism is a monotone bijective function that has a monotone inverse. This is equivalent to being a surjective order embedding. Hence, the image f(P) of an order embedding is always isomorphic to P, which justifies the term "embedding". A more elaborate type of functions is given by so called Galois connections. Monotone Galois connections can be viewed as a generalization of order isomorphisms, since they constitute of a pair of two functions in converse directions, which are "not quite" inverse to each other, but that still have close relationships. Another special type of self maps on a poset are closure operators, which are not only monotonic, but also idempotent, i. e. f(x) = f(f(x)), and extensive (or inflationary), i. e. x ≤ f(x). These have many applications in all kinds of "closures" that appear in mathematics. Besides being compatible with the mere order relations, functions between posets may also behave well with respect to special elements and constructions. For example, when talking about posets with least element, it may seem reasonable to consider only monotonic functions that preserve this element, i. e. which map least elements to least elements. If binary infima ∧ exist, then a reasonable property might be to require that f(x ∧ y) = f(x) ∧ f(y), for all x and y. All of these properties, and indeed many more, may be compiled under the label of limit preserving functions. Finally, one can invert the view, switching from functions of orders to orders of functions. Indeed, the functions between two posets P and Q can be ordered via the pointwise order. For two functions f and g, we have f ≤ g if f(x) ≤ g(x) for all elements x of P. This occurs for example in domain theory, where function spaces play an important role.

Реттелген жиынтықтардың кіші жиынтығы

Реттелген жиынтықта берілген тәртіпке сүйене отырып, көптеген арнайы жиынтық түрлерін анықтауға болады. Мысалы, жоғарғы жиынтықтар; яғни, тәртіп бойынша өздерінен жоғары тұрған барлық элементтерді қамтитын жиынтықтар. Формальды түрде, S жиынтығының P жиынындағы жоғарғы жабылуы – P жиынындағы x элементтерінің жиынтығы, мұнда S жиынтығындағы әрбір y үшін y ≤ x орындалады. Егер жиынтық өзінің жоғарғы жабылуына тең болса, онда ол жоғарғы жиынтық деп аталады. Төменгі жиынтықтар осыған сәйкес анықталады. Күрделірек төменгі жиынтықтар – идеалдар, олардың кез келген екі элементінің идеал ішінде жоғарғы шегі болады. Олардың дуалы – сүзгілер. Байланысты түсінік – бағытталған жиынтық, ол идеал сияқты шекті жиынтықтардың жоғарғы шектерін қамтиды, бірақ міндетті түрде төменгі жиынтық болмауы мүмкін. Бұл түсінік көбінесе алдын ала реттелген жиынтықтарға да қолданылады. Егер жиынтықтың ішіндегі элементтер сызықтық тәртіппен реттелген болса, онда ол тізбек деп аталады. Ал, антижелі – салыстырылатын екі элементі жоқ жиынтық; яғни, дискретті тәртіп.

Математикалық салалар

Математиканың көптеген салалары белгілі бір тәртіптің қағидаларын қолданса да, кейбір теориялардың қатынастары қарапайым қолданыстан әлдеқайда артық. Осы теориялардың негізгі байланыс нүктелерімен бірге, олардың тәртіп теориясымен байланысын төменде қарастырамыз.

Жалпыға ортақ алгебра

Жоғарыда айтылғандай, әмбебап алгебраның әдістері мен формализмдері көптеген тәртіп теориялық мәселелерді қарастыру үшін маңызды құрал болып табылады. Белгілі бір өзгешеліктерді қанағаттандыратын алгебралық құрылымдар арқылы тәртіптерді формализациялаудан өзге, алгебрамен басқа да байланыстарды орнатуға болады. Бұл ретте, бұла алгебрасы мен бұла сақиналары арасындағы сәйкестік мысал ретінде келтіріледі. Басқа мәселелерге берілген генераторлар жиынтығына негізделген еркін торлар сияқты еркін құралымдардың болуы да қатысты. Сонымен қатар, жабылу операторлары әмбебап алгебраны зерттеуде маңызды рөл атқарады.

Топология

Топологияда тапсырыстар өте маңызды рөл атқарады. Шындығында, ашық жиынтықтар жинағы толық тордың классикалық мысалын, дәлірек айтқанда толық Хайтинг алгебрасын (немесе "рамканы" немесе "жергіліктілікті") ұсынады. Сүзгілер мен торлар – бұл тәртіп теориясымен тығыз байланысты ұғымдар, ал жиынтықтардың жабылу операторы топологияны анықтау үшін қолданылуы мүмкін. Бұл қатынастардан асып, топологияны тек ашық жиынтықтар торлары тұрғысынан қарастыруға болады, бұл мәнсіз топологияны зерттеуге алып келеді. Сонымен қатар, топологияның негізгі жиынтығының элементтерінің табиғи алдын ала тәртібін мамандану тәртібі деп атайды, ол егер топология T0 болса, шын мәнінде ішінара тәртіп болып табылады. Керісінше, тәртіп теориясында көбінесе топологиялық нәтижелер қолданылады. Топологияның ашық жиынтықтары ретінде қарастырылатын тәртіптің кіші жиынтықтарын анықтаудың әртүрлі жолдары бар. Посеттегі (X, ≤) топологияларды қарастыра отырып, олар өз кезегінде ≤-ды олардың мамандану тәртібі ретінде тудырады, ең жақсы мұндай топология Александров топологиясы болып табылады, ол барлық жоғарғы жиынтықтарды ашық деп қабылдағанда беріледі. Керісінше, мамандану тәртібін тудыратын ең дөңгелек топология – бұл жоғарғы топология, негізгі идеалдардың (яғни, кейбір x үшін {y ∈ X | y ≤ x} түріндегі жиынтықтардың) толықтыруларын негіз ретінде пайдаланады. Сонымен қатар, мамандану тәртібі ≤ бар топология тәртіпке сәйкес болуы мүмкін, яғни олардың ашық жиынтықтары "бағытталған жоғары шектермен қол жеткізілмейді" (≤ қатысты). Ең жақсы тәртіпке сәйкес топология – Скотт топологиясы, ол Александров топологиясынан дөңгелек. Осы мағынадағы үшінші маңызды топология – Лоусон топологиясы. Бұл топологиялар мен тәртіп теориясының ұғымдары арасында тығыз байланыстар бар. Мысалы, функция бағытталған жоғары шектерді сақтайды, егер ол Скотт топологиясына қатысты үздіксіз болса (осы себепті бұл тәртіптік қасиет Скотт үздіксіздігі деп те аталады).

Категориялық теория

Хассе диаграммалары арқылы тапсырыстарды визуализациялаудың тікелей жалпылануы бар: үлкен элементтерден төменгі кіші элементтерді көрсетудің орнына, тапсырыстың бағытын график қабырғаларына бағыт беру арқылы бейнелеуге болады. Осылайша, әрбір тапсырыс бағытталған ациклді графқа тең болып көрінеді, онда түйіндер – позит элементтері, ал a-дан b-ге бағытталған жол бар, егер және тек қана a ≤ b болса. Ациклді болу талабын жою арқылы, барлық алдын ала тапсырыстарды алуға болады. Барлық транзитивті қабырғаларымен жабдықталғанда, бұл графтар өз кезегінде арнайы категориялар болып табылады, онда элементтер объектілер, ал екі элемент арасындағы морфизмдер жиыны ең көп дегенде бір элементтен тұрады. Тапсырыстар арасындағы функциялар категориялар арасындағы функторларға айналады. Тәртіп теориясының көптеген идеялары категория теориясының кіші ұғымдары болып табылады. Мысалы, инфимум – бұл категориялық көбейтінді. Көбірек айтқанда, инфимумдар мен супремумдарды категориялық лимит (немесе коллимит) абстрактілі ұғымы арқылы ұстауға болады. Категориялық идеялардың пайда болатын тағы бір жері – (монотонды) Галуа байланысы ұғымы, ол екі функтордың жұбымен бірдей. Бірақ категория теориясы тәртіп теориясына одан да кең ауқымда әсер етеді. Жоғарыда талқыланғандай тиісті функциялары бар позиттер кластары қызықты категорияларды құрайды. Көбінесе тапсырыстардың құрылысын, мысалы, көбейтінді тапсырысын, категориялар тұрғысынан беруге болады. Тапсырыстар категориялары басқа категорияларға, мысалы, топологиялық кеңістіктерге категориялық түрде тең болып табылғанда қосымша түсініктер пайда болады. Бұл зерттеу бағыты әртүрлі бейнелеу теоремаларына әкеледі, олар көбінесе Стоунның дуалдығы деп аталады.