Кіріспе
C* алгебрасының W* алгебрасын толық қамтитын универсалдық алгебрасы. Математикада, Ли алгебрасының толық қамтитын универсалдық алгебрасы – бұл Ли алгебрасының өрнектеулерімен дәл сәйкес келетін унитальды ассоциативті алгебра. Толық қамтитын универсалдық алгебралар Ли топтары мен Ли алгебраларының өрнектеу теориясында қолданылады. Мысалы, Верма модульдерін универсалдық қамтитын алгебраның бөліктері ретінде құруға болады. Сонымен қатар, қамтитын алгебра Казимир операторларына нақты анықтама береді. Казимир операторлары Ли алгебрасының барлық элементтерімен коммутациялайтындықтан, оларды өрнектеулерді жіктеу үшін пайдалануға болады. Нақты анықтама сондай-ақ Казимир операторларын математиканың басқа салаларына, әсіресе дифференциалдық алгебраға енгізуге мүмкіндік береді. Олар математикадағы соңғы жетістіктерде де маңызды рөл атқарады. Атап айтқанда, олардың дуалы коммутативті емес геометрияда зерттелетін объектілердің, яғни кванттық топтардың коммутативті мысалын ұсынады. Бұл дуал Гельфанд-Наймарк теоремасы бойынша сәйкес Ли тобының C* алгебрасын қамтитыны көрсетілуі мүмкін. Бұл қатынас тығыз топологиялық топтар мен олардың өрнектеулері арасындағы Таннака-Крейн дуалдығы идеясына жалпыланады. Аналитикалық тұрғыдан алғанда, Ли тобының Ли алгебрасының толық қамтитын универсалдық алгебрасы сол инвариантты дифференциалдық операторлардың алгебрасымен топта анықталуы мүмкін.
In mathematics, the universal enveloping algebra of a Lie algebra is the unital associative algebra whose representations correspond precisely to the representations of that Lie algebra. Universal enveloping algebras are used in the representation theory of Lie groups and Lie algebras. For example, Verma modules can be constructed as quotients of the universal enveloping algebra. In addition, the enveloping algebra gives a precise definition for the Casimir operators. Because Casimir operators commute with all elements of a Lie algebra, they can be used to classify representations. The precise definition also allows the importation of Casimir operators into other areas of mathematics, specifically, those that have a differential algebra. They also play a central role in some recent developments in mathematics. In particular, their dual provides a commutative example of the objects studied in non commutative geometry, the quantum groups. This dual can be shown, by the Gelfand–Naimark theorem, to contain the C* algebra of the corresponding Lie group. This relationship generalizes to the idea of Tannaka–Krein duality between compact topological groups and their representations. From an analytic viewpoint, the universal enveloping algebra of the Lie algebra of a Lie group may be identified with the algebra of left invariant differential operators on the group.
Бейресми құрылыс
Универсалды қоршау алгебрасының идеясы – Ли алгебрасын бірлікпен ассоциативтік алгебраға ендіру, осылайша Ли алгебрасындағы абстрактілі жақша операциясы ассоциативтік алгебрадағы коммутаторға сәйкес келеді және алгебра Ли алгебрасының элементтерімен жасалады. Мұндай ендірудің көптеген тәсілдері болуы мүмкін, бірақ бірегей «ең үлкені» бар, ол Ли алгебрасының универсалды қоршау алгебрасы деп аталады.
Негізгі негізді табу
Жалпы алғанда, әмбебап қоршау алгебрасының элементтері генераторлардың өнімдерінің барлық мүмкін реттеріндегі сызықтық комбинациялары болып табылады. әмбебап қоршау алгебрасының анықтамалық қатынастарын пайдаланып, біз әрқашан осы өнімдерді белгілі бір ретпен қайта орналастыра аламыз, мысалы, барлық факторларын бірінші, содан кейін факторларын, және т.б. орналастыру арқылы. Мысалы, егер бізде (дұрыс емес ретпен) болатын термин болса, онда қатынастарды пайдаланып, оны плюс сызықтық комбинациясы ретінде қайта жаза аламыз. Мұны қайталап жасау кез келген элементті өсу ретімен терминдердің сызықтық комбинациясына айналдырады. Осылайша, -і теріс емес бүтін сандар болатын элементтер әмбебап қоршау алгебрасын жабады. (Біз -ке рұқсат етеміз, яғни факторлары жоқ терминдерге рұқсат етеміз.) Төменде талқыланатын Пуанкаре-Беркхофф-Витт теоремасы осы элементтердің сызықтық тәуелсіз екенін және осылайша әмбебап қоршау алгебрасының негізін құрайтынын көрсетеді. Әсіресе, әмбебап қоршау алгебрасы әрқашан шексіз өлшемді болады. Поанкаре-Беркхофф-Витт теоремасы, атап айтқанда, элементтерінің өзі сызықтық тәуелсіз екенін білдіреді. Сондықтан, -ті бастапқы Ли алгебрасының генераторларымен сәйкестендіру жиі қолданылады – әлдебір шатасу тудырса да. Яғни, бастапқы Ли алгебрасын генераторлармен жабатын оның әмбебап қоршау алгебрасының ішкі кеңістігі ретінде қарастырамыз. матрицалар алгебрасы болғанымен, оның әмбебап қоршауы (шексіз өлшемді) матрицалардан тұрмайды. Әсіресе, әмбебап қоршауды қамтитын шекті өлшемді алгебра жоқ; әмбебап қоршау алгебрасы әрқашан шексіз өлшемді болады. Осылайша, sl(2,C) жағдайында, егер біз Ли алгебрасын оның әмбебап қоршау алгебрасының ішкі кеңістігі ретінде қарастырсақ, онда және -ді матрицалар ретінде түсіндірмеуіміз керек, олар коммутациялық қатынастардан басқа қосымша қасиеттері жоқ символдар болып табылады.
with the 's being non negative integers, span the enveloping algebra. (We allow , meaning that we allow terms in which no factors of occur.) The Poincaré–Birkhoff–Witt theorem, discussed below, asserts that these elements are linearly independent and thus form a basis for the universal enveloping algebra. In particular, the universal enveloping algebra is always infinite dimensional. The Poincaré–Birkhoff–Witt theorem implies, in particular, that the elements themselves are linearly independent. It is therefore common—if potentially confusing—to identify the 's with the generators of the original Lie algebra. That is to say, we identify the original Lie algebra as the subspace of its universal enveloping algebra spanned by the generators. Although may be an algebra of matrices, the universal enveloping of does not consist of (finite dimensional) matrices. In particular, there is no finite dimensional algebra that contains the universal enveloping of ; the universal enveloping algebra is always infinite dimensional. Thus, in the case of sl(2,C), if we identify our Lie algebra as a subspace of its universal enveloping algebra, we must not interpret , and as matrices, but rather as symbols with no further properties (other than the commutation relations).
Формальдықтар
Универсалды жапсырмалы алгебраның формалды құрылымы жоғарыда айтылған идеяларды пайдаланады және оларды жұмыс істеуді қолайлы ететін белгілеулер мен терминологиямен жабады. Ең маңызды айырмашылық – жоғарыда қолданылған еркін ассоциативтік алгебра тензорлық алгебраға дейін тарылтылады, сондықтан символдардың көбейтіндісі тензорлық көбейтінді ретінде түсініледі. Коммутациялық қатынастар тензорлық алгебраны, оның ішіндегі элементтерін қамтитын ең кіші екі жақты идеалға қатысты бөлу арқылы орнатылады. Универсалды жапсырмалы алгебра – бастапқы Ли алгебрасымен сәйкес келетін Ли жақшасы бар элементтер арқылы жасалған "ең үлкен" бірлік ассоциативтік алгебра.
Басқа алгебралар
Жоғарыда келтірілген каноникалық құрылымды басқа алгебраларға қолдануға болатындықтан, нәтижесі көбінесе әмбебап қасиетке ие болмайды. Мысалы, бұл құрылымды Джордан алгебраларына қолданғанда, алынған қоршау алгебрасы арнайы Джордан алгебраларын қамтиды, бірақ ерекше алгебраларды – Альберт алгебраларын қамтымайды. Сол сияқты, төменде келтірілген Пуанкаре-Биркхофф-Уитт теоремасы қоршау алгебрасы үшін негіз жасайды, бірақ ол әмбебап болмайды. Осыған ұқсас ескертулер Лие супералгебраларына да қатысты.
Понкаре Бёркхофф Витт теоремасы
Поанкаре – Биркгофф – Витт теоремасы мұны екі әртүрлі тәсілмен сипаттайды: Ли алгебрасындағы нақты векторлық негізге сілтеме арқылы немесе координаттарға тәуелсіз түрде.
Негізгі элементтерді пайдалану
Бір жолы – Ли алгебрасына толық реттелген негіз беру болып табылады, яғни ол толық реттелген жиынның еркін векторлық кеңістігі. Еске сала кетейік, еркін векторлық кеңістік – X жиынынан K өрісіне дейінгі барлық шекті қолдауға ие функциялардың кеңістігі ретінде анықталады (шекті қолдауға ие дегеніміз, тек шекті көп мәндері нөлден өзгеше); оған негіз беруге болады, ол индикаторлық функциясы болып табылады. Бұл тензорлық алгебраға да негіз беру үшін қолданылады; берілген тізбегі үшін, оның кеңейтілуі анықталады:
Поэнкаре–Биркгофф–Витт теоремасы X жиынының толық ретін алгебраға енгізу арқылы, жоғарыда көрсетілгеннен үшін негіз алуға болатынын айтады. Яғни, негізі
түрінде болады, мұндағы реттеу X жиынындағы толық реттеуге сәйкес келеді. Теореманың дәлелі, егер ретсіз негізгі элементтерден бастаса, оларды әрқашан коммутаторды (құрылым тұрақтыларымен бірге) пайдаланып ауыстыруға болатынын атап өтуді қамтиды. Дәлелдің ең қиын бөлігі – соңғы нәтиже бірегей және ауыстырулар орындалған реттің тәуелсіз екенін көрсету. Бұл негіз симметриялық алгебраның негізі ретінде оңай танылады. Яғни, және симметриялық алгебраның негізгі векторлық кеңістіктері изоморфты, және осыны PBW теоремасы көрсетеді. Дегенмен, изоморфизмнің мәні туралы толыққанды мәлімдеме үшін төмендегі символдар алгебрасы бөлімін қараңыз. Бұл процесті екі қадамға бөлу пайдалы болуы мүмкін. Бірінші қадамда, еркін Ли алгебрасы құрастырылады: егер барлық коммутаторлардың мәнін көрсетпей, барлық коммутаторлар бойынша факторлау жүргізсе, осы нәтижеге жетеді. Екінші қадам – коммутациялық қатынастарды қолдану. Бірінші қадам – жалпыға ортақ және нақты алгебрасына тәуелді емес. Оны дәл анықтауға болады: негізгі элементтер Холл сөздерімен беріледі, олардың ерекше жағдайы – Линдон сөздері; олар коммутаторлар ретінде дұрыс әрекет ету үшін арнайы құрылған.
Басқа алгебралар
Иордания алгебраларына қолданылған теорема симметриялық алгебраның орнына сыртқы алгебраны тудырады. Анығында, бұл құрылым антикоммутаторларды жояды. Соның нәтижесінде пайда болатын алгебра – жапсырма алгебра, бірақ ол әмбебап емес. Жоғарыда айтылғандай, ол ерекше Иордания алгебраларын қамтуға қабілетсіз.
Сол жаққа ауыспалы дифференциалдық операторлар
Егер нақты Lie тобында Lie алгебрасы болса, қазіргі көзқарас бойынша оны сол жақтан инвариантты векторлық өрістер кеңістігімен (яғни, бірінші ретті сол жақтан инвариантты дифференциалдық операторлар) сәйкестендіруге болады. Егер бізді Lie тобының бірлік нүктесіндегі жанама кеңістік ретінде қарастырсақ, онда әрбір вектордың бірегей сол жақтан инвариантты кеңейтілуі болады. Содан кейін, жанама кеңістіктегі векторды оған сәйкес келетін сол жақтан инвариантты векторлық өріспен анықтаймыз. Енді, екі сол жақтан инвариантты векторлық өрістің коммутаторы (дифференциалдық операторлар ретінде) қайтадан векторлық өріс болады және ол да сол жақтан инвариантты болады. Осылайша, Lie алгебрасындағы скобка операциясын сәйкес сол жақтан инвариантты векторлық өрістердегі коммутатор ретінде анықтауға болады. Бұл анықтама Lie тобының Lie алгебрасындағы скобка құрылымының кез келген басқа стандартты анықтамасымен сәйкес келеді. Содан кейін, кез келген ретті сол жақтан инвариантты дифференциалдық операторларды қарастыруға болады. Кез келген мұндай операторды сол жақтан инвариантты векторлық өрістердің көбейтінділерінің сызықтық комбинациясы ретінде (бірегей емес) өрнектеуге болады. Барлық сол жақтан инвариантты дифференциалдық операторлар жиынтығы алгебра құрайды, оны деп белгілейміз. Осы алгебраның универсалды орау алгебрасына изоморфты екенін көрсетуге болады. Егер Lie тобының Lie алгебрасы ретінде пайда болса, онда Поанкаре-Биркгофф-Витт теоремасын аналитикалық түрде дәлелдеу үшін сол жақтан инвариантты дифференциалдық операторларды қолдануға болады. Атап айтқанда, сол жақтан инвариантты дифференциалдық операторлардың алгебрасы элементтермен (сол жақтан инвариантты векторлық өрістер) туындайды, олар коммутация қатынастарын қанағаттандырады. Осылайша, орау алгебрасының универсалды қасиетіне сәйкес, егер PBW негіз элементтері сызықтық тәуелсіз болса, онда олар сызықтық тәуелсіз болуы керек. (Сонымен қатар, алгебраның орау алгебрасына изоморфтығы осы кезде анық көрінеді.)
In the case that arises as the Lie algebra of a real Lie group, one can use left invariant differential operators to give an analytic proof of the Poincaré–Birkhoff–Witt theorem. Specifically, the algebra of left invariant differential operators is generated by elements (the left invariant vector fields) that satisfy the commutation relations of Thus, by the universal property of the enveloping algebra, is a quotient of Thus, if the PBW basis elements are linearly independent in —which one can establish analytically—they must certainly be linearly independent in (And, at this point, the isomorphism of with is apparent.)
Мысал: Псевдодифференциалдық операторлар
Жоғарыда айтылғандарды құрастыру кезіндегі маңызды байқау – бұл дифференциалдық алгебра екендігі, себебі Ли алгебрасындағы кез келген туынды оған көтерілуі мүмкін. Осылайша, псевдодифференциалдық операторлар сақинасына келіп тіреледі, одан Казимир инварианттарын құрастыруға болады. Егер Ли алгебрасы сызықтық операторлар кеңістігінде әрекет етсе, мысалы, Фредхольм теориясында, онда операторлардың сәйкес кеңістігінде Казимир инварианттарын құрастыруға болады. Квадраттық Казимир операторы эллиптік операторға сәйкес келеді. Егер Ли алгебрасы дифференциалданатын көптүрлілікте әрекет етсе, онда әрбір Казимир операторы котангенттік көптүрлілікте жоғары ретті дифференциалға сәйкес келеді, екінші ретті дифференциал ең көп таралған және ең маңыздысы. Егер алгебраның әрекеті изометриялық болса, яғни метрикамен және SO(N) және SO(P, Q) симметриялық топтарымен жабдықталған Риманн немесе псевдо-Риманн көптүрліліктері үшін, онда жоғарғы және төменгі индекстерді (метриялық тензор арқылы) біріктіру арқылы қызықтырақ құрылымдар алуға болады. Квадраттық Казимир инварианты үшін бұл Лапласиан. Квартикалық Казимир операторлары стресс-энергия тензорын квадратына көтеруге мүмкіндік береді, нәтижесінде Янг-Миллс әрекеті пайда болады. Кольман-Мандула теоремасы қарапайым Ли алгебраларын қарастырғанда олардың қабылдайтын формасын шектейді. Алайда, Ли супералгебралары Кольман-Мандула теоремасының алғышарттарынан қашып, кеңістік және ішкі симметрияларды біріктіруге қолданылуы мүмкін.
Ерекше жағдайлардың мысалдары
Егер , онда оның матрицалар базасы бар, олар стандартты жақшадағы келесі сәйкестіктерді қанағаттандырады: , және бұл бізге әмбебап қоршау алгебрасының ұсынылуын көрсетеді, бұл коммутативті емес сақина. Егер абельдік болса (яғни, жақша әрқашан 0-ге тең болса), онда коммутативті болады; егер векторлық кеңістіктің негізі таңдалған болса, онда оны K-ге полиномиялық алгебрамен, әрбір негізгі элемент үшін бір айнымалымен анықтауға болады. Егер Lie алгебрасы Lie тобы G-ге сәйкес келсе, онда оны G-дегі сол инвариант дифференциалдық операторлардың (барлық реттердегі) алгебрасымен сәйкестендіруге болады; оның ішінде сол инвариант векторлық өрістер бірінші реттік дифференциалдық операторлар ретінде орналасқан. Жоғарыдағы екі жағдайды байланыстыру үшін: егер V векторлық кеңістік абельдік Lie алгебрасы болса, онда сол инвариант дифференциалдық операторлар тұрақты коэффициенттері бар операторлар болып табылады, бұл бірінші реттік жеке туындылардағы полиномиялық алгебра болып табылады. Орталық элементтер сол және оң инвариант дифференциалдық операторлардан тұрады; бұл G коммутативті емес жағдайда бірінші реттік операторлармен жиі туындамайды (мысалы, жартылай қарапайым Lie алгебрасының Казимир операторын қараңыз). Lie тобы теориясындағы тағы бір сипаттама – бұл G тобының e бірлік элементінде ғана қолдау табатын үлестірулердің конволюция алгебрасы. Полиномиялық коэффициенттері бар n айнымалыдағы дифференциалдық операторлардың алгебрасын Гейзенберг тобының Lie алгебрасынан бастап алуға болады. Бұл үшін Вейл алгебрасын қараңыз; Lie алгебрасының орталық элементтері белгіленген скалярлар ретінде әрекет етуі үшін бөліп алу қажет. Шектелген өлшемді Lie алгебрасының әмбебап қоршау алгебрасы – сүзгіленген квадраттық алгебра.
The algebra of differential operators in n variables with polynomial coefficients may be obtained starting with the Lie algebra of the Heisenberg group. See Weyl algebra for this; one must take a quotient, so that the central elements of the Lie algebra act as prescribed scalars. The universal enveloping algebra of a finite dimensional Lie algebra is a filtered quadratic algebra.