Универсальная обволакивающая алгебра C*-алгебры.

Введение

универсальная обволакивающая W*-алгебра C*-алгебры. В математике универсальная обволакивающая алгебра алгебры Ли — это унитальная ассоциативная алгебра, представления которой точно соответствуют представлениям данной алгебры Ли. Универсальные обволакивающие алгебры используются в теории представлений групп и алгебр Ли. Например, модули Вермы можно построить как фактор-алгебры универсальной обволакивающей алгебры. Кроме того, обволакивающая алгебра даёт точное определение операторов Казимира. Поскольку операторы Казимира коммутируют со всеми элементами алгебры Ли, они могут использоваться для классификации представлений. Точное определение также позволяет переносить операторы Казимира в другие области математики, в частности, в те, которые оперируют с дифференциальными алгебрами. Они также играют центральную роль в некоторых недавних достижениях в математике. В частности, их двойственное пространство предоставляет коммутативный пример объектов, изучаемых в некоммутативной геометрии, а именно, квантовых группах. Эта двойственность, согласно теореме Гельфанд — Наймарка, содержит C*-алгебру соответствующей группы Ли. Это соотношение обобщается до идеи дуальности Таннаки — Крейна между компактными топологическими группами и их представлениями. С аналитической точки зрения, универсальную обволакивающую алгебру алгебры Ли группы Ли можно отождествить с алгеброй левоинвариантных дифференциальных операторов на группе.

Неформальное строительство

Идея универсальной обволакивающей алгебры состоит в том, чтобы вложить алгебру Ли в ассоциативную алгебру с единицей таким образом, чтобы абстрактная операция скобок в алгебре Ли соответствовала коммутатору в ассоциативной алгебре, и чтобы эта алгебра порождалась элементами из алгебры Ли. Существует множество способов осуществить такое вложение, но существует уникальная "наибольшая" такая алгебра, называемая универсальной обволакивающей алгеброй данной алгебры Ли.

Поиск основы

В общем, элементы универсальной обволакивающей алгебры – это линейные комбинации произведений генераторов во всех возможных порядках. Используя определяющие соотношения универсальной обволакивающей алгебры, мы всегда можем переставить эти произведения в определенном порядке, скажем, со всеми факторами сначала, затем факторами , и так далее. Например, если у нас есть слагаемое, содержащее (в "неправильном" порядке), мы можем использовать соотношения, чтобы переписать его как плюс линейная комбинация элементов . Повторяя подобные действия, в конечном итоге любой элемент можно представить в виде линейной комбинации слагаемых в возрастающем порядке. Таким образом, элементы вида

с – неотрицательными целыми числами – порождают обволакивающую алгебру. (Мы допускаем , что означает, что допускаются слагаемые, в которых нет факторов .) Теорема Пуанкаре — Биркгоффа — Витта, которая будет рассмотрена ниже, утверждает, что эти элементы линейно независимы и, следовательно, образуют базис для универсальной обволакивающей алгебры. В частности, универсальная обволакивающая алгебра всегда бесконечномерна. Теорема Пуанкаре — Биркгоффа — Витта, в частности, подразумевает линейную независимость самих элементов . Поэтому часто – хотя это может быть потенциально сбивающим с толку – отождествляют с генераторами исходной алгебры Ли. То есть, исходную алгебру Ли идентифицируют как подпространство ее универсальной обволакивающей алгебры, порожденное генераторами. Хотя может быть алгеброй матриц, универсальная обволакивающая алгебра не состоит из (конечномерных) матриц. В частности, не существует конечномерной алгебры, содержащей универсальную обволакивающую алгебру ; универсальная обволакивающая алгебра всегда бесконечномерна. Таким образом, в случае sl(2,C), если мы отождествляем нашу алгебру Ли как подпространство ее универсальной обволакивающей алгебры, мы не должны интерпретировать , и как матрицы, а скорее как символы, не обладающие никакими дополнительными свойствами (кроме коммутационных соотношений).

Формальности

Формальное построение универсальной обволакивающей алгебры опирается на вышеизложенные идеи и оформляет их в обозначения и терминологию, что облегчает работу с ними. Наиболее существенное отличие заключается в том, что свободная ассоциативная алгебра, использованная ранее, сужается до тензорной алгебры, при этом произведение символов интерпретируется как тензорное произведение. Коммутационные соотношения накладываются посредством построения фактор-пространства тензорной алгебры по наименьшему двустороннему идеалу, содержащему элементы вида. Универсальная обволакивающая алгебра – это "наибольшая" унитарная ассоциативная алгебра, порожденная элементами с операцией, совместимой с исходной алгеброй Ли.

Другие алгебры

Хотя каноническая конструкция, приведенная выше, может быть применена и к другим алгебрам, результат, как правило, не обладает универсальным свойством. Так, например, при применении этой конструкции к алгебрам Джордана, полученная обволакивающая алгебра содержит специальные алгебры Джордана, но не исключительные: то есть она не обволакивает алгебры Альберта. Аналогично, теорема Пуанкаре — Биркгоффа — Витта, представленная ниже, строит базис для обволакивающей алгебры, но этот базис не является универсальным. Подобные замечания справедливы и для супералгебр Ли.

Теорема Понкаре Биркхофф Витт

Теорема Пуанкаре — Биркгоффа — Витта даёт точное описание этого. Это можно сделать двумя различными способами: либо со ссылкой на явный векторный базис в алгебре Ли, либо без использования координат.

Использование базовых элементов

Один из способов — предположить, что алгебре Ли можно задать вполне упорядоченную основу, то есть она является свободным векторным пространством вполне упорядоченного множества. Напомним, что свободное векторное пространство определяется как пространство всех функций с конечным носителем из множества X в поле K (конечный носитель означает, что только конечное число значений отлично от нуля); ему можно задать основу, являющуюся индикаторной функцией для . Пусть — вложение в тензорную алгебру; оно используется для задания основы тензорной алгебре. Это делается посредством расширения: для произвольной последовательности определяется расширение как . Теорема Пуанкаре — Биркгоффа — Витта утверждает, что можно получить основу для из вышеописанного, наложив общий порядок на X на алгебру. То есть, имеет основу, где , порядок соответствует общему порядку на множестве X. Доказательство теоремы включает замечание о том, что если начать с элементов базиса, не упорядоченных по порядку, их всегда можно поменять местами, используя коммутатор (вместе со структурными константами). Сложность доказательства заключается в установлении уникальности конечного результата и его независимости от порядка, в котором выполнялись перестановки. Эта основа должна быть легко узнаваема как основа симметричной алгебры. То есть, базовые векторные пространства и симметричной алгебры изоморфны, и именно теорема PBW показывает это. Однако см. раздел об алгебре символов ниже для более точного определения природы изоморфизма. Возможно, полезно разбить процесс на два этапа. На первом этапе строится свободная алгебра Ли: это то, что получается, если вычислять по модулю всех коммутаторов, не указывая их значения. Второй этап — применение конкретных соотношений коммутации из . Первый этап универсален и не зависит от конкретного . Его также можно определить точно: элементы базиса задаются словами Холла, частным случаем которых являются слова Линдона; они явно сконструированы для соответствующего поведения в качестве коммутаторов.

Другие алгебры

Теорема, примененная к алгебрам Джордана, приводит к внешней алгебре, а не к симметричной. По сути, данная конструкция обнуляет антикоммутаторы. Получающаяся алгебра является обволакивающей, но не универсальной. Как было сказано выше, она не может обволакивать исключительные алгебры Джордана.

Левоинвариантные дифференциальные операторы

Предположим, что – реальная группа Ли с алгеброй Ли . Следуя современному подходу, мы можем отождествить с пространством левоинвариантных векторных полей (т.е. дифференциальных операторов первого порядка, инвариантных относительно сдвига). В частности, если мы изначально рассматриваем как касательное пространство к в единице, то каждый вектор в имеет единственное левоинвариантное продолжение. Затем мы отождествляем вектор в касательном пространстве с соответствующим левоинвариантным векторным полем. Коммутатор (как дифференциальные операторы) двух левоинвариантных векторных полей снова является векторным полем и снова левоинвариантным. Мы можем определить операцию скобки на как коммутатор соответствующих левоинвариантных векторных полей. Это определение согласуется с любым другим стандартным определением структуры скобки на алгебре Ли группы Ли. Далее мы можем рассмотреть левоинвариантные дифференциальные операторы произвольного порядка. Каждый такой оператор может быть выражен (не единственным образом) как линейная комбинация произведений левоинвариантных векторных полей. Множество всех левоинвариантных дифференциальных операторов на образует алгебру, обозначаемую как . В случае, когда возникает как алгебра Ли реальной группы Ли, можно использовать левоинвариантные дифференциальные операторы для получения аналитического доказательства теоремы Пуанкаре — Биркгоффа — Витта. В частности, алгебра левоинвариантных дифференциальных операторов порождается элементами (левоинвариантными векторными полями), удовлетворяющими коммутационным соотношениям . Таким образом, по универсальному свойству оборачивающей алгебры, является фактор-алгеброй . Следовательно, если элементы базиса PBW линейно независимы в – что можно установить аналитически, – то они, безусловно, должны быть линейно независимы и в (и в этот момент изоморфизм с становится очевидным).

Пример: псевдодифференциальные операторы

Ключевым наблюдением при построении вышеописанного было то, что это дифференциальная алгебра, поскольку любая производная на алгебре Ли может быть продолжена до Таким образом, мы приходим к кольцу псевдодифференциальных операторов, из которого можно построить инварианты Казимира. Если алгебра Ли действует на пространство линейных операторов, как, например, в теории Фредгольма, то можно построить инварианты Казимира на соответствующем пространстве операторов. Квадратичный оператор Казимира соответствует эллиптическому оператору. Если алгебра Ли действует на дифференцируемое многообразие, то каждый оператор Казимира соответствует дифференциальному оператору высшего порядка на кокасательном многообразии, причем дифференциальный оператор второго порядка является наиболее распространенным и важным. Если действие алгебры изометрично, как это имеет место для римановых или псевдоримановых многообразий, снабженных метрикой и группами симметрии SO(N) и SO(P, Q) соответственно, то можно стягивать верхние и нижние индексы (с помощью метрического тензора) для получения более интересных структур. Для квадратичного инварианта Казимира это лапласиан. Квартичные операторы Казимира позволяют возводить в квадрат тензор энергии-импульса, что приводит к действию Янга-Миллса. Теорема Коулмана-Мандулы ограничивает форму, которую они могут принимать при рассмотрении обычных алгебр Ли. Однако супералгебры Ли способны обойти предпосылки теоремы Коулмана-Мандулы и могут использоваться для смешивания пространственных и внутренних симметрий.

Примеры в конкретных случаях

Если , то она имеет базис матриц, удовлетворяющих следующим тождествам в стандартной скобке: , , и это показывает нам, что универсальная обволакивающая алгебра имеет представление как некоммутативное кольцо. Если абелева (то есть скобка всегда равна 0), то она коммутативна; и если выбран базис векторного пространства , то она может быть отождествлена с полиномиальной алгеброй над K, с одной переменной на каждый элемент базиса. Если является алгеброй Ли, соответствующей группе Ли G, то она может быть отождествлена с алгеброй левоинвариантных дифференциальных операторов (всех порядков) на G, при этом левоинвариантные векторные поля лежат внутри нее как дифференциальные операторы первого порядка. Чтобы связать два вышеупомянутых случая: если V – векторное пространство, рассматриваемое как абелева алгебра Ли, то левоинвариантные дифференциальные операторы являются операторами с постоянными коэффициентами, которые действительно образуют полиномиальную алгебру по частным производным первого порядка. Центр состоит из лево- и правоинвариантных дифференциальных операторов; в случае некоммутативной G он часто не порождается операторами первого порядка (например, оператор Казимира полупростой алгебры Ли). Другая характеристика в теории групп Ли – это представление как сверточной алгебры распределений, сосредоточенных только в единичном элементе e группы G. Алгебра дифференциальных операторов в n переменных с полиномиальными коэффициентами может быть получена, начиная с алгебры Ли группы Гейзенберга. Обратитесь к алгебре Вейля для получения дополнительной информации; необходимо взять фактор-алгебру, чтобы центральные элементы алгебры Ли действовали как предписанные скаляры. Универсальная обволакивающая алгебра конечномерной алгебры Ли является фильтрованной квадратичной алгеброй.