Кіріспе
Математикада, функционалдық талдаудағы Гельфандтың бейнелеуі (И. М. Гельфандтың есімімен аталған) екі нәрсенің бірін білдіреді:
коммутативті Банах алгебраларын үздіксіз функциялар алгебралары ретінде көрсету тәсілі;
коммутативті C* алгебралары үшін бұл бейнелеу изометриялық изоморфизм болып табылады. Алғашқы жағдайда Гельфандтың бейнелеуін интегралданатын функцияның Фурье түрлендіруінің кеңейтілген жалпыламасы ретінде қарастыруға болады. Екінші жағдайда Гельфанд-Наймарк бейнелеу теоремасы – қалыпты операторлар үшін спектрлік теорияны дамытудың бір жолы және қалыпты матрицаны диагональдау ұғымын жалпылайды.
the fact that for commutative C* algebras, this representation is an isometric isomorphism. In the former case, one may regard the Gelfand representation as a far reaching generalization of the Fourier transform of an integrable function. In the latter case, the Gelfand–Naimark representation theorem is one avenue in the development of spectral theory for normal operators, and generalizes the notion of diagonalizing a normal matrix.
Тарихи ескертулер
Гельфандтың бастапқы қолдануларының бірі (және Банах алгебраларын зерттеуді тарихи тұрғыдан көптеген жағдайларда ынталандырған) – Норберт Винердің белгілі леммасын (төмендегі сілтемеге қараңыз) әлдеқайда қысқа және түсінікпен дәлелдеу болды, бұл лемма L1(R) және оның ауысулары тиісті алгебралардағы тығыз кеңістіктерді құрайтын элементтерін сипаттайды.
Коммутативтік Банах алгебрасының Гельфанд бейнесі
Комплексті сандар өрісі бойынша анықталған коммутативті Банах алгебрасы болсын. Нөлдік емес алгебралық гомоморфизм (көбейтуші сызықтық функционал) ; символы деп аталады; ; -ның барлық символдары жиыны арқылы белгіленеді. ; -ның кез келген символы автоматты түрде үздіксіз екенін, демек ; , ; бойынша үздіксіз сызықтық функционалдар кеңістігінің ішкі жиыны екенін көрсетуге болады. Сонымен қатар, салыстырмалы әлсіз * топологиясымен жабдықталғанда, ; жергілікті тығыз және Хаусдорф кеңістігі болып шығады. (Бұл Банах-Алаоглу теоремасынан туындайды.) ; кеңістігі, егер алгебрада бірлік элементі болса ғана, компакт (жоғарыда анықталған топологияда) болады. Берілген , функциясы арқылы анықталады. ; және оның топологиясы үздіксіздігін және шексіздікте жоғалуын қамтамасыз етеді, ал ; картасы норманы азайтатын, бірлікті сақтайтын алгебралық гомоморфизмді ; -дан ; -ға анықтайды. Бұл гомоморфизм ; -ның Гельфанд бейнелеуі, ал ; -ның Гельфанд түрлендіруі болып табылады. Жалпы жағдайда, бұл бейнелеу инъективті де, сюръективті де емес. Егер ; бірлік элементіне ие болса, онда ; және ; -ның ең үлкен идеалдары жиыны арасында биекция бар (бұл Гельфанд-Мазур теоремасына сүйенеді). Осының салдары ретінде, Гельфанд бейнелеуінің ядросын ; -ның Джейкобсон радикалымен сәйкестендіруге болады. Осылайша, Гельфанд бейнелеуі инъективті болады, егер және тек қана ; (Джейкобсон) жартылай қарапайым болса.
It can be shown that every character on is automatically continuous, and hence is a subset of the space of continuous linear functionals on ; moreover, when equipped with the relative weak * topology, turns out to be locally compact and Hausdorff. (This follows from the Banach–Alaoglu theorem.) The space is compact (in the topology just defined) if and only if the algebra has an identity element. Given , one defines the function by The definition of and the topology on it ensure that is continuous and vanishes at infinity, and that the map defines a norm decreasing, unit preserving algebra homomorphism from to This homomorphism is the Gelfand representation of , and is the Gelfand transform of the element In general, the representation is neither injective nor surjective. In the case where has an identity element, there is a bijection between and the set of maximal ideals in (this relies on the Gelfand–Mazur theorem). As a consequence, the kernel of the Gelfand representation may be identified with the Jacobson radical of Thus the Gelfand representation is injective if and only if is (Jacobson) semisimple.
Мысалдар
Егер , онда -ның топтық алгебрасы , сонда гомеоморфты және -ның Гельфанд түрлендіруі Фурье түрлендіруі болып табылады. Егер , онда қосылу бойынша топ емес, сондықтан Гельфанд түрлендіруі қолданылмайды, демек, осы алгебрада Лаплас түрлендіруін Гельфанд түрлендіруі деп айту дұрыс емес. Алайда, көбейту бойынша топ болып табылады, онда Гельфанд түрлендіруі Меллин түрлендіруі болып табылады.
In the case where , is not a group under addition, so the Gelfand transform is not applicable, and thus is not correct to say the Laplace transform is the Gelfand transform on this algebra. is however, a group under multiplication in which the Gelfand transform is the Mellin transform.
C*-алгебралық жағдай
Мотивация ретінде А = C0(X) ерекше жағдайын қарастырайық. X-тегі x берілген болса, x-тегі нүктелік бағалау жасалсын, яғни, онда A-дағы бір белгі болады, және A-ның барлық белгілері осы түрде екені көрсетілуі мүмкін; егжей-тегжейлі талдау ΦA-ны X-пен, ғана емес жиын ретінде, сонымен қатар топологиялық кеңістіктер ретінде сәйкестендіруге болатынын көрсетеді. Гельфанд өрнектеуі – изоморфизм.
Коммутативтік C*-алгебраның спектрі
А-дан күрделі сандарға дейінгі нөлдік емес * гомоморфизмдер жиынтығынан тұратын коммутативті С* алгебрасы А-ның спектрі немесе Гельфанд кеңістігі, Â белгісімен белгіленеді. Спектр элементтері А-дағы таңбалар деп аталады. (А-дан кешенді сандарға дейінгі әрбір алгебралық гомоморфизм автоматты түрде * гомоморфизм екенін көрсетуге болады, сондықтан "таңба" терминінің бұл анықтамасы жоғарыда келтірілгенмен келіседі.) Атап айтқанда, коммутативті C* алгебраның спектрі жергілікті тығыздықтағы Хаусдорф кеңістігі болып табылады: бірлік жағдайында, яғни C* алгебраның көбейту бірлік элементі 1 болғанда, барлық таңбалар f бірлік болуы керек, яғни f(1) – бұл күрделі сан бір. Бұл нөлдік гомоморфизмді жоққа шығарады. Сондықтан Â әлсіз * конвергенция бойынша жабылады және спектр шын мәнінде компактты болады. Бiрлiк емес жағдайда, Â-ның әлсiз * жабылуы Â ∪ {0} құрайды, мұндағы 0 – нөлдік гомоморфизм, ал компактты Хаусдорф кеңістігінен бір нүктені алып тастау жергілікті тығыз Хаусдорф кеңістігін береді. Ескеріңіз, "спектр" сөзінің мағынасы көп. Ол сондай-ақ 1 бірлігі бар алгебраның x элементінің σ(x) спектрін білдіреді, яғни x – r 1 А-да инвертті емес күрделі сандар жиыны. Бiрлiктi C* алгебралары үшін екі ұғым мынадай түрде байланысты: σ(x) – f(x) комплекс сандарының жиыны, мұндағы f А-ның Гельфанд кеңістігі бойынша өтеді. Спектрлік радиус формуласымен бірге бұл Â, A* бірлік шардың ішкі жиыны екенін көрсетеді және осыған байланысты салыстырмалы әлсіз * топологиясын беруге болады. Бұл нүктелік конвергенция топологиясы. A спектрінің элементтерінің {fk}k торы f-ке егер және тек қана A-дағы әрбір x үшін {fk(x)}k кешенді сандар торы f(x)-ке жиылса ғана жақындайды. Егер A – бөлінгіш C* алгебра болса, әлсіз * топология шектелген ішкі жиынтықтарда метрикаланады. Осылайша, бөлінгіш коммутативті C* алгебраның спектрін A метрикалық кеңістік ретінде қарастыруға болады. Сәйкесінше, топология тізбектердің жақындасуы арқылы сипатталуы мүмкін. Балама ретінде, σ(x) – γ(x) диапазоны, мұндағы γ – Гельфанд бейнелеуі.
Коммутативтік Гельфанд Наймарк теоремасының мәлімдемесі
A коммутативті C* алгебрасы болсын және X – A спектрі болсын. Жоғарыда анықталған Гельфанд бейнелеуі болсын. Теорема. Гельфанд картасы γ – A-дан C0(X-қа дейінгі изометриялық * изоморфизм. Төмендегі Арвесон сілтемесіне қараңыз. Коммутативті C* алгебраның спектрін, сондай-ақ, корпус ядросы топологиясымен, A-ның барлық максималдық идеалдарының жиынтығы ретінде де қарастыруға болады. (Жалпы, коммутативті Банах алгебрасы туралы алдыңғы ескертулерді қараңыз.) Кез келген мұндай m үшін, A/m коэффициенттік алгебрасы бір өлшемді (Гельфанд-Мазур теоремасы бойынша), сондықтан A-дағы кез келген a, Y-дегі кешенді мәнді функцияны тудырады. Бірлікпен C* алгебралар жағдайында, спектрлік карта бірлік сақтайтын үздісіз * гомоморфизмдермен коммутативті C* алгебралар категориясынан компактты Хаусдорф кеңістіктері мен үздісіз карталар категориясына дейінгі ковариантты функторды тудырады. Бұл функтор осы екі категория арасындағы ковариантты эквиваленттіліктің жартысы (оның қосымшасы – әрбір компактты Хаусдорф кеңістігі X-ке C* алгебрасы C0(X)-ті сәйкес қоятын функтор). Атап айтқанда, егер X және Y – компактты Хаусдорф кеңістіктері болса, онда C(X) C(Y)-ге изоморфты (C* алгебра ретінде) егер және тек қана X, Y-ге гомеоморфты болса. "Толық" Гельфанд-Наймaрк теоремасы – кез келген (абстрактілі) коммутативті емес C* алгебрасы A үшін нәтиже, ол Гельфанд бейнелеуімен толыққандай ұқсас болмаса да, A-ның операторлар алгебрасы ретінде нақты бейнелеуін қамтамасыз етеді.
be the Gelfand representation defined above. Theorem. The Gelfand map γ is an isometric * isomorphism from A onto C0(X). See the Arveson reference below. The spectrum of a commutative C* algebra can also be viewed as the set of all maximal ideals m of A, with the hull kernel topology. (See the earlier remarks for the general, commutative Banach algebra case.) For any such m the quotient algebra A/m is one dimensional (by the Gelfand Mazur theorem), and therefore any a in A gives rise to a complex valued function on Y. In the case of C* algebras with unit, the spectrum map gives rise to a contravariant functor from the category of commutative C* algebras with unit and unit preserving continuous * homomorphisms, to the category of compact Hausdorff spaces and continuous maps. This functor is one half of a contravariant equivalence between these two categories (its adjoint being the functor that assigns to each compact Hausdorff space X the C* algebra C0(X)). In particular, given compact Hausdorff spaces X and Y, then C(X) is isomorphic to C(Y) (as a C* algebra) if and only if X is homeomorphic to Y. The 'full' Gelfand–Naimark theorem is a result for arbitrary (abstract) noncommutative C* algebras A, which though not quite analogous to the Gelfand representation, does provide a concrete representation of A as an algebra of operators.