Введение

В математике представление Гельфанда в функциональном анализе (названо в честь И. М. Гельфанда) — это либо:

способ представления коммутативных банаховых алгебр как алгебр непрерывных функций;
либо тот факт, что для коммутативных C*-алгебр это представление является изометрическим изоморфизмом. В первом случае представление Гельфанда можно рассматривать как широкое обобщение преобразования Фурье интегрируемой функции. Во втором случае теорема Гельфанда — Наймарка является одним из подходов к развитию спектральной теории нормальных операторов и обобщает понятие диагонализации нормальной матрицы.

Исторические замечания

Одним из первоначальных применений теории Гельфанда (и одним из тех, которые исторически мотивировали значительную часть изучения алгебр Банаха) было получение гораздо более короткого и концептуального доказательства знаменитой леммы Норберта Винера (см. ссылку ниже), характеризующей элементы групповых алгебр L1(R) и чьи сдвиги порождают плотные подпространства в соответствующих алгебрах.

Гельфандское представление коммутативной алгебры Банаха

Пусть это коммутативная алгебра Банаха, определенная над полем комплексных чисел. Ненулевой алгебраический гомоморфизм (мультипликативный линейный функционал) называется характером ; множество всех характеров обозначается . Можно показать, что каждый характер на автоматически непрерывен, и, следовательно, является подмножеством пространства непрерывных линейных функционалов на ; более того, при оснащении относительной слабой * топологией, оказывается локально компактным и хаусдорфовым. (Это следует из теоремы Банаха — Алаоглу.) Пространство компактно (в только что определенной топологии) тогда и только тогда, когда алгебра имеет единичный элемент. Для заданного , функция определяется как . Определение и топология на гарантируют, что является непрерывной и обращается в нуль на бесконечности, и что отображение определяет убывающий по норме, сохраняющий единицу алгебраический гомоморфизм из в . Этот гомоморфизм является представлением Гельфанда , а является преобразованием Гельфанда элемента . В общем случае, представление не является инъективным и не является сюръективным. В случае, когда имеет единичный элемент, существует взаимно однозначное соответствие между и множеством максимальных идеалов в (это основано на теореме Гельфанда — Мазура). Следовательно, ядро представления Гельфанда может быть отождествлено с радикалом Джейкобсона . Таким образом, представление Гельфанда является инъективным тогда и только тогда, когда является (Джейкобсон) полупростым.

Примеры

В случае, когда , групповая алгебра , то она гомеоморфна , а преобразование Гельфанда для является преобразованием Фурье. В случае, когда , не является группой по сложению, поэтому преобразование Гельфанда неприменимо и некорректно утверждать, что преобразование Лапласа является преобразованием Гельфанда для этой алгебры. Однако, является группой по умножению, в которой преобразование Гельфанда является преобразованием Меллина.

Случай с C*-алгеброй

В качестве мотивации рассмотрим специальный случай A = C₀(X). Для x из X определим как точечную оценку в x, то есть . Тогда является характером на A, и можно показать, что все характеры A имеют такой вид. Более точный анализ показывает, что мы можем отождествить ΦA с X, не только как с множествами, но и как с топологическими пространствами. Представление Гельфанд тогда является изоморфизмом.

Спектр коммутативной C*-алгебры

Спектр или пространство Гельфэнда коммутативной C*-алгебры A, обозначаемое Â, состоит из множества ненулевых * -гомоморфизмов из A в комплексные числа. Элементы спектра называются характерами на A. (Можно показать, что каждый алгебраический гомоморфизм из A в комплексные числа автоматически является * -гомоморфизмом, так что это определение термина "характер" согласуется с вышеприведенным.) В частности, спектр коммутативной C*-алгебры является локально компактным пространством Хаусдорфа: в унитальном случае, то есть когда C*-алгебра имеет мультипликативный элемент единицы 1, все характеры f должны быть унитальными, то есть f(1) равно комплексному числу один. Это исключает нулевой гомоморфизм. Следовательно, Â замкнуто относительно слабой * -сходимости, и спектр действительно компактен. В не унитальном случае слабое * -замыкание Â равно Â ∪ {0}, где 0 — нулевой гомоморфизм, а удаление одной точки из компактного пространства Хаусдорфа дает локально компактное пространство Хаусдорфа. Следует отметить, что слово "спектр" имеет несколько значений. Оно также относится к спектру σ(x) элемента x алгебры с единицей 1, то есть к множеству комплексных чисел r, для которых x − r1 не обратимо в A. Для унитальных C*-алгебр эти два понятия связаны следующим образом: σ(x) — это множество комплексных чисел f(x), где f пробегает пространство Гельфэнда A. Вместе с формулой спектрального радиуса это показывает, что Â является подмножеством единичного шара A* и, как таковое, может быть наделено относительной слабой * -топологией. Это топология поточечной сходимости. Сеть {fk}k элементов спектра A сходится к f тогда и только тогда, когда для каждого x из A сеть комплексных чисел {fk(x)}k сходится к f(x). Если A — сепарабельная C*-алгебра, слабая * -топология метризуема на ограниченных подмножествах. Таким образом, спектр сепарабельной коммутативной C*-алгебры A можно рассматривать как метрическое пространство. Следовательно, топологию можно охарактеризовать через сходимость последовательностей. Эквивалентно, σ(x) — это область значений γ(x), где γ — представление Гельфэнда.

Заявление коммутативной теоремы Гельфанд-Наймарк

Пусть A — коммутативная C*-алгебра и X — спектр A. Пусть

— представление Гельфэнда, определенное выше. Теорема. Отображение Гельфэнда γ является изометрическим * -изоморфизмом из A в C₀(X). См. ссылку на работу Арвесона ниже. Спектр коммутативной C*-алгебры также можно рассматривать как множество всех максимальных идеалов m алгебры A, наделенное топологией ядра оболочки. (См. предыдущие замечания для общего коммутативного случая алгебры Банаха.) Для любого такого m фактор-алгебра A/m является одномерной (по теореме Гельфанд-Мазура), и поэтому любой элемент a из A порождает комплекснозначную функцию на Y. В случае C*-алгебр с единицей отображение спектра определяет контравариантный функтор из категории коммутативных C*-алгебр с единицей и непрерывными * -гомоморфизмами, сохраняющими единицу, в категорию компактных хаусдорфовых пространств и непрерывных отображений. Этот функтор является одной половиной контравариантной эквивалентности между этими двумя категориями (его сопряженный функтор присваивает каждому компактному хаусдорфову пространству X C*-алгебру C₀(X)). В частности, для компактных хаусдорфовых пространств X и Y, C(X) изоморфна C(Y) (как C*-алгебра) тогда и только тогда, когда X гомеоморфна Y. "Полная" теорема Гельфанд-Наймарка — это результат для произвольных (абстрактных) некомутативных C*-алгебр A, который, хотя и не совсем аналогичен представлению Гельфэнда, предоставляет конкретное представление A как алгебры операторов.