Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Классикалық және кванттық әрекеттің асимметриясы
Asymmetry of classical and quantum action
Кванттық физикада аномалия немесе кванттық аномалия – теорияның классикалық әрекетінің симметриясы, толық кванттық теорияның кез келген реттелуінің симметриясы болмауы. Классикалық физикада классикалық аномалия – симметрияны бұзу параметрі нөлге жақындағанда симметрияның қалпына келмеуі. Бәлкім, ең алғашқы белгілі аномалия турбуленциядағы диссипативтік аномалия болды: уақыттың қайтымдылығы бұзылған күйде қалады (және энергияның таралу жылдамдығы шекті), тұтқырлықтың мәні нөлге жақындағанда. Кванттық теорияда алғашқы аномалия – Адлер-Белл-Жакви аномалиясы болды, онда осьтік векторлық ток электродинамиканың классикалық симметриясы ретінде сақталады, бірақ квантталған теориямен бұзылады. Бұл аномалияның Атия-Сингер индексі теоремасымен байланысы теорияның маңызды жетістіктерінің бірі саналды. Техникалық тұрғыдан алғанда, кванттық теориядағы аномальды симметрия – әрекеттің симметриясы, бірақ өлшемнің емес, демек, толық бөлу функциясының симметриясы емес.
In quantum physics an anomaly or quantum anomaly is the failure of a symmetry of a theory's classical action to be a symmetry of any regularization of the full quantum theory. In classical physics, a classical anomaly is the failure of a symmetry to be restored in the limit in which the symmetry breaking parameter goes to zero. Perhaps the first known anomaly was the dissipative anomaly in turbulence: time reversibility remains broken (and energy dissipation rate finite) at the limit of vanishing viscosity. In quantum theory, the first anomaly discovered was the Adler–Bell–Jackiw anomaly, wherein the axial vector current is conserved as a classical symmetry of electrodynamics, but is broken by the quantized theory. The relationship of this anomaly to the Atiyah–Singer index theorem was one of the celebrated achievements of the theory. Technically, an anomalous symmetry in a quantum theory is a symmetry of the action, but not of the measure, and so not of the partition function as a whole.
Жалпы аномалиялар
Глобалды аномалия – бұл жаһандық симметрия тогының сақталуының кванттық бұзылуы. Глобалды аномалия сонымен қатар, бір циклдық немесе кез келген циклдық бұрмалау есептеулерімен анықталмайтын, бұрмалау емес жаһандық аномалияны білдіруі мүмкін – мысалдарға Виттен аномалиясы және Ван–Вен–Виттен аномалиясы жатады.
A global anomaly is the quantum violation of a global symmetry current conservation. A global anomaly can also mean that a non perturbative global anomaly cannot be captured by one loop or any loop perturbative Feynman diagram calculations—examples include the Witten anomaly and Wang–Wen–Witten anomaly.
Өлшемін өзгерту және қайта қалыпқа келтіру
Физикадағы ең көп таралған жаһандық аномалия кванттық түзетулердің масштабтық инварианттылықты бұзуымен байланысты, бұл қайта нормалау арқылы өлшенеді. Регуляторлар көбінесе қашықтық шкаласын енгізетіндіктен, классикалық масштабтық инвариант теориялар энергия шкаласына байланысты мінез-құлқының өзгеруіне, яғни қайта нормалау тобының ағынына ұшырайды. Мысалы, күшті ядролық күштің жоғары шамасы осы масштабтық аномалияға байланысты, қысқа қашықтықта әлсіз байланысқан теориядан ұзақ қашықтықта күшті байланысқан теорияға өту нәтижесінде пайда болады.
The most prevalent global anomaly in physics is associated with the violation of scale invariance by quantum corrections, quantified in renormalization. Since regulators generally introduce a distance scale, the classically scale invariant theories are subject to renormalization group flow, i. e., changing behavior with energy scale. For example, the large strength of the strong nuclear force results from a theory that is weakly coupled at short distances flowing to a strongly coupled theory at long distances, due to this scale anomaly.
Қатты симметриялар
Абельдік жаһандық симметриялардағы аномалиялар кванттық өріс теориясында ешқандай қиындықтар тудырмайды және олар жиі кездеседі (мысалы, хиральдық аномалияны қараңыз). Әсіресе, сәйкес аномалиялық симметрияларды жол интегралының шекаралық шарттарын орнату арқылы түзетуге болады.
Anomalies in abelian global symmetries pose no problems in a quantum field theory, and are often encountered (see the example of the chiral anomaly). In particular the corresponding anomalous symmetries can be fixed by fixing the boundary conditions of the path integral.
Виттен аномалиясы және ВанВенВиттен аномалиясы
SU(2) өлшегіш теориясында 4 өлшемді Минковский кеңістігінде өлшегіш түрлендіру, кеңістік-уақыттың әрбір нүктесінде SU(2) арнайы унитарлық тобының бір элементін таңдауға сәйкес келеді. Мұндай өлшегіш түрлендірулер тобы байланысқан. Дегенмен, егер біз тек шексіздікте жоғалатын өлшегіш түрлендірулердің кіші тобына ғана қызығушылық танытсақ, онда шексіздіктегі 3 сфераны бір нүкте деп қарастыруға болады, себебі өлшегіш түрлендірулер онда бәрібір жоғалады. Егер шексіздіктегі 3 сфера нүктемен сәйкестендірілсе, онда біздің Минковский кеңістігіміз 4 сферамен сәйкестендіріледі. Осылайша, Минковский 4 кеңістігінде шексіздікте жоғалатын өлшегіш түрлендірулер тобы, 4 сферадағы барлық өлшегіш түрлендірулер тобына изоморфты екенін көреміз. Бұл топ, 4 сфераның әрбір нүктесі үшін SU(2) өлшегіш түрлендіруін үздіксіз таңдаудан тұрады. Басқаша айтқанда, өлшегіш симметриялар, 4 сферадан 3 сфераға дейінгі бейнелеулермен бір-бірге сәйкес келеді, ал 3 сфера SU(2) тобының манифольды болып табылады. Мұндай бейнелеулер кеңістігі байланысқан емес, керісінше байланысқан компоненттері 3 сфераның төртінші гомотопиялық тобымен жіктеледі, ол екінші реттік циклдік топ болып табылады. Атап айтқанда, екі байланысқан компонент бар. Бірі бірлік элементін қамтиды және бірлік компоненті деп аталады, ал екіншісі – ажыратылған компонент деп аталады. Теорияда жұп емес сандағы хиральды фермиондар болған жағдайда, физикалық күйдегі өлшегіш симметриялардың әрекеттері, өлшегіш топтың бірлік компонентіндегі және ажыратылған компонентіндегі әрекеттерден таңбасымен ерекшеленеді. Осылайша, жол интегралындағы барлық физикалық конфигурацияларды қоссақ, үлестер қарама-қарсы таңбалармен жұптар түрінде келеді. Нәтижесінде, барлық жол интегралдары нөлге тең болады және теория жоқ. Жоғарыда сипатталған жаһандық аномалия, 4 кеңістік-уақыт өлшемдерінде (изо)спин 1/2 Вейл фермионының жұп емес санымен байланысты SU(2) өлшегіш теориясы үшін жарамды. Бұл Виттеннің SU(2) аномалиясы деп белгілі. 2018 жылы Ван, Вэн және Виттен, 4 кеңістікте (изо)спин 3/2 Вейл фермионының жұп емес санымен байланысты SU(2) өлшегіш теориясы, спиндік құрылымы жоқ белгілі бір спиндік емес манифольдтарда анықтауға болатын, одан да нәзік жаһандық аномалияға ие екенін тапты. Бұл жаңа аномалия жаңа SU(2) аномалиясы деп аталады. Аномалиялардың екі түрі де
In SU(2) gauge theory in 4 dimensional Minkowski space, a gauge transformation corresponds to a choice of an element of the special unitary group SU(2) at each point in spacetime. The group of such gauge transformations is connected. However, if we are only interested in the subgroup of gauge transformations that vanish at infinity, we may consider the 3 sphere at infinity to be a single point, as the gauge transformations vanish there anyway. If the 3 sphere at infinity is identified with a point, our Minkowski space is identified with the 4 sphere. Thus we see that the group of gauge transformations vanishing at infinity in Minkowski 4 space is isomorphic to the group of all gauge transformations on the 4 sphere. This is the group which consists of a continuous choice of a gauge transformation in SU(2) for each point on the 4 sphere. In other words, the gauge symmetries are in one to one correspondence with maps from the 4 sphere to the 3 sphere, which is the group manifold of SU(2). The space of such maps is not connected, instead the connected components are classified by the fourth homotopy group of the 3 sphere which is the cyclic group of order two. In particular, there are two connected components. One contains the identity and is called the identity component, the other is called the disconnected component. When a theory contains an odd number of flavors of chiral fermions, the actions of gauge symmetries in the identity component and the disconnected component of the gauge group on a physical state differ by a sign. Thus when one sums over all physical configurations in the path integral, one finds that contributions come in pairs with opposite signs. As a result, all path integrals vanish and a theory does not exist. The above description of a global anomaly is for the SU(2) gauge theory coupled to an odd number of (iso )spin 1/2 Weyl fermion in 4 spacetime dimensions. This is known as the Witten SU(2) anomaly. In 2018, it is found by Wang, Wen and Witten that the SU(2) gauge theory coupled to an odd number of (iso )spin 3/2 Weyl fermion in 4 spacetime dimensions has a further subtler non perturbative global anomaly detectable on certain non spin manifolds without spin structure. This new anomaly is called the new SU(2) anomaly. Both types of anomalies
Жоғары глобалды симметрияларды қамтитын жоғары аномалиялар: Мысал ретінде таза Янг-Миллс өлшегіш теориясы
Глобалды симметриялар тұжырымын жоғары глобалды симметрияларға кеңейтуге болады, яғни, қалыпты 0 формалы симметрия үшін зарядталған объект – бөлшеке, ал n формалы симметрия үшін зарядталған объект – n өлшемді кеңейтілген оператор. Топологиялық тета-мүшесі бар және тек SU(2) өлшегіш өрістерін қамтитын 4 өлшемді таза Янг-Милл теориясының 0 формадағы уақыттың қайтымдылығы симметриясы мен 1 формадағы Z2 орталық симметриясы арасында аралас жоғары ‘t Хоофт аномалиясы болуы мүмкін екендігі анықталды. 4 өлшемді таза Янг-Милл теориясының ‘t Хоофт аномалиясын 5 өлшемді инвертирленетін топологиялық өріс теориясы немесе математикалық тұрғыдан 5 өлшемді бордизм инварианты ретінде нақты жазуға болады, бұл аномалияның ағын суретін жоғары симметрияларды қамтитын осы Z2 класындағы жаһандық аномалияға жалпылайды. Басқаша айтқанда, біз 4 өлшемді таза Янг-Милл теориясын топологиялық тета-мүшесімен белгілі бір Z2 класты инвертирленетін топологиялық өріс теориясының шекаралық шарты ретінде қарастыра аламыз, олардың 4 өлшемді шекарадағы жоғары аномалияларын сәйкестіру үшін.
The concept of global symmetries can be generalized to higher global symmetries, such that the charged object for the ordinary 0 form symmetry is a particle, while the charged object for the n form symmetry is an n dimensional extended operator. It is found that the 4 dimensional pure Yang–Mills theory with only SU(2) gauge fields with a topological theta term can have a mixed higher 't Hooft anomaly between the 0 form time reversal symmetry and 1 form Z2 center symmetry. The 't Hooft anomaly of 4 dimensional pure Yang–Mills theory can be precisely written as a 5 dimensional invertible topological field theory or mathematically a 5 dimensional bordism invariant, generalizing the anomaly inflow picture to this Z2 class of global anomaly involving higher symmetries. In other words, we can regard the 4 dimensional pure Yang–Mills theory with a topological theta term live as a boundary condition of a certain Z2 class invertible topological field theory, in order to match their higher anomalies on the 4 dimensional boundary.
Өлшегіштің аномалиясы
Гаузерлік симметриялардағы аномалиялар сәйкессіздікке алып келеді, себебі негативті нормасы бар (мысалы, уақыт бағытында поляризацияланған фотон сияқты) физикалық емес бостандық дәрежелерін жою үшін гаузерлік симметрия қажет. Оларды жоюға жасалған әрекет – яғни, гаузерлік симметриялармен үйлесімді теорияларды құру – көбінесе теорияларға қосымша шектеулер қояды (бөлшектер физикасының Стандартты моделіндегі гаузерлік аномалия осыған дәлел). Гаузерлік теориялардағы аномалиялар гаузерлік топтың топологиясы және геометриясымен тығыз байланысты. Гаузерлік симметриялардағы аномалияларды бір цикл деңгейінде нақты есептеуге болады. Ағаш деңгейінде (нөлдік циклдарда) классикалық теория қайта жаңғыртылады. Бір циклдан артық циклдары бар Фейнман диаграммаларында әрқашан ішкі бозон таратушылар кездеседі. Бозонға әрқашан масса беруге болады, сондықтан симметрияны бұзбай, мұндай диаграммаларды Паули-Вилларс реттеу арқылы түзету мүмкін. Егер диаграмманы реттеу белгілі бір симметрияға сәйкес келсе, онда бұл диаграмма сол симметрияға қатысты аномалия тудырмайды. Векторлық гаузерлік аномалиялар әрқашан хиральды аномалиялар болып табылады. Гаузерлік аномалияның тағы бір түрі – гравитациялық аномалия.
Anomalies in gauge symmetries lead to an inconsistency, since a gauge symmetry is required in order to cancel unphysical degrees of freedom with a negative norm (such as a photon polarized in the time direction). An attempt to cancel them—i. e., to build theories consistent with the gauge symmetries—often leads to extra constraints on the theories (such is the case of the gauge anomaly in the Standard Model of particle physics). Anomalies in gauge theories have important connections to the topology and geometry of the gauge group. Anomalies in gauge symmetries can be calculated exactly at the one loop level. At tree level (zero loops), one reproduces the classical theory. Feynman diagrams with more than one loop always contain internal boson propagators. As bosons may always be given a mass without breaking gauge invariance, a Pauli–Villars regularization of such diagrams is possible while preserving the symmetry. Whenever the regularization of a diagram is consistent with a given symmetry, that diagram does not generate an anomaly with respect to the symmetry. Vector gauge anomalies are always chiral anomalies. Another type of gauge anomaly is the gravitational anomaly.
Әр түрлі энергия шкалаларында
Кванттық аномалиялар ренормализация процесінде, кейбір дивергентті интегралдарды барлық симметриялар сақталатындай түрлендіру мүмкін болмағанда табылды. Бұл жоғары энергиялық физикамен байланысты. Дегенмен, Герард 'т Хоофттың аномалияны сәйкестендіру шарты бойынша, кез келген хиральды аномалияны жоғары энергиядағы (УФ) еркіндік дәрежелерімен немесе төмен энергиядағы (ИФ) еркіндік дәрежелерімен сипаттауға болады. Осылайша, теорияның УФ-толықтыруы арқылы аномалияны жоюға болмайды – аномалиялы симметрия, тіпті классикалық түрде симметрия болып көрінсе де, теорияның симметриясы емес.
Quantum anomalies were discovered via the process of renormalization, when some divergent integrals cannot be regularized in such a way that all the symmetries are preserved simultaneously. This is related to the high energy physics. However, due to Gerard 't Hooft's anomaly matching condition, any chiral anomaly can be described either by the UV degrees of freedom (those relevant at high energies) or by the IR degrees of freedom (those relevant at low energies). Thus one cannot cancel an anomaly by a UV completion of a theory—an anomalous symmetry is simply not a symmetry of a theory, even though classically it appears to be.