Введение

Асимметрия классического и квантового действия

В квантовой физике аномалия, или квантовая аномалия, — это нарушение симметрии классического действия теории при любой регуляризации полной квантовой теории. В классической физике классическая аномалия — это невозможность восстановления симметрии в пределе, при котором параметр нарушения симметрии стремится к нулю. Вероятно, первой известной аномалией была диссипативная аномалия в турбулентности: обратимость времени остаётся нарушенной (и скорость диссипации энергии конечной) при стремлении вязкости к нулю. В квантовой теории первой обнаруженной аномалией стала аномалия Адлера — Белла — Жакви, где осевой векторный ток сохраняется как классическая симметрия электродинамики, но нарушается в квантованной теории. Связь этой аномалии с теоремой об индексе Атия — Сингера стала одним из выдающихся достижений теории. Технически, аномальная симметрия в квантовой теории — это симметрия действия, но не меры, и, следовательно, не всей разделяющей функции.

Глобальные аномалии

Глобальная аномалия — это квантовое нарушение закона сохранения глобального симметричного тока. Глобальная аномалия также может означать, что непертурбативная глобальная аномалия не может быть описана вычислениями по диаграммам Фейнмана в один цикл или в любой цикл включительно. Примеры включают аномалию Виттена и аномалию Ванга-Вена-Виттена.

Масштабирование и ренормирование

Наиболее распространенная глобальная аномалия в физике связана с нарушением масштабной инвариантности квантовыми поправками, которые количественно оцениваются в процессе перенормировки. Поскольку регуляторы обычно вводят характерный масштаб длины, классически масштаб-инвариантные теории подвергаются течению группы перенормировки, то есть изменению поведения с изменением энергетического масштаба. Например, большая величина сильного ядерного взаимодействия обусловлена тем, что теория, слабо связанная на коротких расстояниях, переходит в сильносвязанную теорию на больших расстояниях из-за этой масштабной аномалии.

Жесткие симметрии

Аномалии в абелевых глобальных симметриях не вызывают проблем в квантовой теории поля и часто встречаются (см., например, хиральную аномалию). В частности, соответствующие аномальные симметрии можно устранить, фиксируя граничные условия функционального интеграла.

Аномалия Виттен и аномалия Ванг-Венг-Виттен

В теории калибровочной SU(2) в 4-мерном пространстве Минковского, калибровочное преобразование соответствует выбору элемента специальной унитарной группы SU(2) в каждой точке пространства-времени. Группа таких калибровочных преобразований связна. Однако, если нас интересует лишь подгруппа калибровочных преобразований, затухающих на бесконечности, мы можем рассматривать 3-сферу на бесконечности как одну точку, поскольку калибровочные преобразования там все равно затухают. Если 3-сферу на бесконечности отождествить с точкой, то пространство Минковского отождествляется с 4-сферой. Таким образом, мы видим, что группа калибровочных преобразований, затухающих на бесконечности в 4-мерном пространстве Минковского, изоморфна группе всех калибровочных преобразований на 4-сфере. Эта группа состоит из непрерывного выбора калибровочного преобразования в SU(2) для каждой точки на 4-сфере. Иными словами, калибровочные симметрии находятся во взаимно однозначном соответствии с отображениями с 4-сферы на 3-сферу, которая является многообразием группы SU(2). Пространство таких отображений не связно, вместо этого связанные компоненты классифицируются четвертой гомотопической группой 3-сферы, которая является циклической группой порядка два. В частности, существует две связанные компоненты. Одна содержит единичный элемент и называется компонентой идентичности, другая – несвязной компонентой. Когда теория содержит нечетное число ароматов хиральных фермионов, действия калибровочных симметрий в компоненте идентичности и несвязной компоненте калибровочной группы на физическом состоянии отличаются знаком. Следовательно, при суммировании по всем физическим конфигурациям в интеграле по траекториям обнаруживается, что вклады приходят парами с противоположными знаками. В результате все интегралы по траекториям обращаются в нуль, и теория не существует. Описанное выше относится к глобальной аномалии в теории калибровки SU(2), связанной с нечетным числом (изо)спина 1/2 фермионов Вейля в 4 пространственно-временных измерениях. Это известно как аномалия Виттена SU(2). В 2018 году Ван, Вэнь и Виттен обнаружили, что теория калибровки SU(2), связанная с нечетным числом (изо)спина 3/2 фермионов Вейля в 4 пространственно-временных измерениях, обладает более тонкой непертурбативной глобальной аномалией, обнаруживаемой на определенных не спиновых многообразиях без спиновой структуры. Эта новая аномалия называется новой аномалией SU(2). Оба типа аномалий

Высшие аномалии с участием более высоких глобальных симметрий: чистая теория калибровки Янга-Миллса в качестве примера

Понятие глобальных симметрий может быть обобщено до высших глобальных симметрий, таких что заряженным объектом для обычной симметрии 0-й формы является частица, а заряженным объектом для симметрии n-й формы является n-мерный расширенный оператор. Обнаружено, что 4-мерная чистая теория Янга — Милля с использованием только SU(2) калибровочных полей и топологического тета-члена может обладать смешанной аномалией 't Hooft между симметрией обращения времени 0-й формы и симметрией центра Z2 1-й формы. Аномалия 't Hooft 4-мерной чистой теории Янга — Милля может быть точно записана как 5-мерная обратимая топологическая теория поля или, математически, как 5-мерный инвариант бордизмов, обобщая картину притока аномалии к этому классу глобальной аномалии Z2, включающему высшие симметрии. Иными словами, 4-мерную чистую теорию Янга — Милля с топологическим тета-членом можно рассматривать как граничное условие определенной обратимой топологической теории поля класса Z2, чтобы согласовать их высшие аномалии на 4-мерной границе.

Аномалии калибровки

Аномалии в калибровочной симметрии приводят к противоречию, поскольку калибровочная симметрия необходима для устранения нефизических степеней свободы с отрицательной нормой (например, фотона, поляризованного в направлении времени). Попытка устранить их – то есть построить теории, согласующиеся с калибровочной симметрией – часто приводит к дополнительным ограничениям на эти теории (как это происходит с калибровочной аномалией в Стандартной модели физики частиц). Аномалии в калибровочных теориях тесно связаны с топологией и геометрией калибровочной группы. Аномалии в калибровочной симметрии могут быть вычислены точно на уровне одной петли. На уровне дерева (нулевых петель) воспроизводится классическая теория. Диаграммы Фейнмана с более чем одной петлей всегда содержат внутренние бозонные пропагаторы. Поскольку бозонам всегда можно придать массу, не нарушая калибровочной инвариантности, регуляризация таких диаграмм методом Паули — Вилларса возможна с сохранением симметрии. Если регуляризация диаграммы согласуется с заданной симметрией, то эта диаграмма не порождает аномалию относительно этой симметрии. Векторные калибровочные аномалии всегда являются хиральными аномалиями. Другим типом калибровочной аномалии является гравитационная аномалия.

На разных энергетических масштабах

Квантовые аномалии были обнаружены в процессе перенормировки, когда некоторые расходящиеся интегралы невозможно регуляризовать таким образом, чтобы одновременно сохранились все симметрии. Это связано с физикой высоких энергий. Однако, благодаря условию согласования аномалий, сформулированному Жераром 'т Хоофтом, любая хиральная аномалия может быть описана либо степенями свободы на высоких энергиях (УФ), либо степенями свободы на низких энергиях (ИК). Следовательно, нельзя устранить аномалию путем УФ-завершения теории — аномальная симметрия просто не является симметрией данной теории, хотя классически она может казаться таковой.