Кіріспе

Математикада ішкі өнім кеңістігінің конформальды тобы — кеңістікті өзіне айналдыратын және бұрыштарды сақтайтын трансформациялар тобы. Әлдеқайда ресми түрде айтқанда, бұл кеңістіктің конформальды геометриясын сақтайтын трансформациялар тобы. Нақты конформальды топтардың бірнешеуі ерекше маңызға ие: Конформальды ортогональды топ. Егер V — Q квадраттық пішіні бар векторлық кеңістік болса, онда CO(V, Q) конформальды ортогональды тобы — V-нің T сызықтық трансформацияларының тобы, олар үшін λ скаляры бар, сондықтан V-дегі барлық x үшін

Қанысты квадраттық пішін үшін конформальды ортогональды топ ортогональды топқа көбейтілген кеңеюлер тобына тең. Сфераның конформальды тобы шеңберлердегі инверсиялар арқылы туындайды. Бұл топ Мёбиус тобы деп те аталады. Евклид кеңістігінде En, n > 2, конформальды топ гиперсфералардағы инверсиялар арқылы туындайды. Псевдоевклидтік кеңістікте Ep,q, конформальды топ Conf(p, q) ≃ O(p + 1, q + 1) / Z2 болып табылады. Барлық конформальды топтар — Ли топтары.

Бұрыш талдау

Евклид геометриясында стандартты шеңберлік бұрыш ерекше деп күтілуі мүмкін, бірақ псевдоевклид кеңістігінде гиперболалық бұрыш та болады. Арнайы салыстырмалылық теориясын зерттеуде, тынығу жүйесіне қатысты әртүрлі жылдамдықтармен қозғалатын әртүрлі есептесу жүйелері, жылдамдық арқылы немесе гиперболалық бұрыш арқылы байланыстырылады. Лоренц күшейтуін сипаттаудың бір жолы – жылдамдықтар арасындағы дифференциалдық бұрышты сақтайтын гиперболалық айналу ретінде қарастыру. Осылайша, олар гиперболалық бұрышқа қатысты конформдық түрлендірулер болып табылады. Тиісті конформдық топты құрудың бір әдісі – қарапайым комплекс жазықтықтың конформдық тобы ретінде Мёбиус тобының қадамдарын қайталау. Псевдоевклид геометриясы, нүктелері бөлінген комплекс сандар немесе дуалды сандар болатын баламалы комплекс жазықтықтармен қолдалады. Мёбиус тобы толық сипаттама үшін Риман сферасын, яғни ықшам кеңістікті қажет еткендей, баламалы комплекс жазықтықтар да конформдық бейнелеуді толық сипаттау үшін ықшамдалуды қажет етеді. Дегенмен, конформдық топ әр жағдайда тиісті жазықтықтағы сызықтық бөлшек түрлендірулермен беріледі.

Математикалық анықтамасы

Конформалық кластың (псевдо)Риманн көптүлігі үшін конформалық топ – сол көптүліктің өзіне конформалық түрлендірулердің тобы. Нақтырақ айтқанда, бұл – көптүліктің өзіне бұрыштарды сақтайтын тегіс түрлендірулердің тобы. Дегенмен, егер көптүліктің қолтаңбасы анықталмаған болса, онда "бұрыш" гипербұрыш болып табылады, ол потенциалды шексіз болуы мүмкін. Псевдоевклид кеңістігі үшін анықтама сәл өзгеше. – псевдоевклид кеңістігінің конформдық тығыздалуынан туындайтын көптүліктің конформалық тобы (кейде ортонормалды базис таңдалғаннан кейін осымен сәйкестендіріледі). Бұл конформалық тығыздалуды , нөлдік нүктелердің ішкі көптүлігі ретінде қарастыра отырып, (мұнда ол жалғыз кеңістік-уақыт векторы ретінде қарастырылады) кіріктіру арқылы анықтауға болады. Конформалық тығыздалу "антиподальді нүктелерді" теңестіру арқылы жүзеге асырылады. Бұл кеңістікті проективтендіру арқылы іске асырылады. Егер конформалық тығыздалу болса, онда . Атап айтқанда, бұл топтың құрамына инверсия кіреді, ол – көптүліктің өзінен өзіне түрлендіру емес, себебі ол нөлдік нүктені шексіздікке, ал шексіздікті нөлдік нүктеге жібереді.

Екі кеңістіктегі конформды топ

Екі өлшемді Евклид кеңістігі немесе бір плюс бір өлшемді кеңістік-уақытта конформальды симметриялар кеңістігі әлдеқайда үлкен. Физикада кейде конформальды топ шексіз өлшемді дейді, бірақ бұл толыққанды дұрыс емес, себебі жергілікті симметриялардың Ли алгебрасы шексіз өлшемді болғанымен, олар міндетті түрде жақсы анықталған жаһандық симметриялардың Ли тобына кеңейтілмейді. Кеністік-уақыт өлшемі үшін, барлық жергілікті конформальды симметриялар жаһандық симметрияларға дейін кеңейеді. Евклид кеңістігі үшін, күрделі координатқа өту арқылы, жергілікті конформальды симметриялар векторлық өрістердің шексіз өлшемді кеңістігімен сипатталады. Сондықтан 2d Евклид кеңістігінің жергілікті конформальды симметриялары шексіз өлшемді Витт алгебрасы болып табылады.