Введение

В математике, конформальная группа пространства с внутренним произведением — это группа преобразований пространства в себя, сохраняющих углы. Более формально, это группа преобразований, сохраняющих конформную геометрию пространства. Несколько специфических конформных групп особенно важны: конформная ортогональная группа. Если V — векторное пространство с квадратичной формой Q, то конформная ортогональная группа CO(V, Q) — это группа линейных преобразований T пространства V, для которых существует скаляр λ такой, что для всех x из V

Для определенной квадратичной формы конформная ортогональная группа равна ортогональной группе, умноженной на группу расширений (дилатаций). Конформальная группа сферы порождается инверсиями относительно окружностей. Эта группа также известна как группа Мёбиуса. В евклидовом пространстве En, n > 2, конформная группа порождается инверсиями относительно гиперсфер. В псевдоевклидовом пространстве Ep,q конформная группа — Conf(p, q) ≃ O(p + 1, q + 1) / Z2. Все конформные группы являются группами Ли.

Анализ угла

В евклидовой геометрии можно ожидать, что стандартный круговой угол будет определяющим, но в псевдоевклидовом пространстве также существует гиперболический угол. При изучении специальной теории относительности различные системы отсчета, соответствующие различным скоростям относительно неподвижной системы, связаны посредством быстроты – гиперболического угла. Один из способов описать преобразование Лоренца – это гиперболическое вращение, сохраняющее дифференциальный угол между быстротами. Таким образом, они являются конформными преобразованиями относительно гиперболического угла. Один из методов построения соответствующей конформной группы – это воспроизведение шагов группы Мёбиуса, как конформной группы обычной комплексной плоскости. Псевдоевклидова геометрия опирается на альтернативные комплексные плоскости, в которых точки представляются расщеплёнными комплексными числами или дуальными числами. Подобно тому, как группе Мёбиуса для полного описания требуется сфера Римана – компактное пространство, так и альтернативным комплексным плоскостям требуется компактификация для полного описания конформного отображения. Тем не менее, конформная группа в каждом случае задаётся линейными дробными преобразованиями на соответствующей плоскости.

Математическое определение

При заданном (псевдо)римановом многообразии с конформным классом, конформная группа – это группа конформных отображений этого многообразия на себя. Более конкретно, это группа гладких отображений, сохраняющих углы. Однако, когда сигнатура не является определенной, «угол» представляет собой гиперангл, который может быть бесконечным. Для псевдоевклидова пространства определение несколько иное. Это конформная группа многообразия, возникающего из конформного компактифицирования псевдоевклидова пространства (иногда отождествляемого с после выбора ортонормального базиса). Это конформное компактифицирование можно определить, рассматривая как подмногообразие нулевых точек в посредством включения (где рассматривается как единый вектор пространства-времени). Затем конформное компактифицирование определяется с отождествлением «антиподальных точек». Это достигается путем проективизации пространства. Если является конформным компактифицированием, то. В частности, эта группа включает инверсию , которая не является отображением из себя в себя, поскольку она отображает начало координат в бесконечность, а бесконечность – в начало координат.

Конформная группа в двух пространственно-временных измерениях

Для двухмерного евклидова пространства или пространства-времени размерности один плюс один, пространство конформных симметрий значительно больше. В физике иногда утверждают, что конформная группа бесконечномерна, но это не совсем точно, поскольку, хотя алгебра Ли локальных симметрий и бесконечномерна, эти симметрии не всегда могут быть расширены до группы Ли глобальных симметрий. Для пространства-времени размерности , все локальные конформные симметрии расширяются до глобальных симметрий. Для евклидова пространства, после перехода к комплексным координатам, локальные конформные симметрии описываются бесконечномерным пространством векторных полей вида

Таким образом, локальные конформные симметрии двухмерного евклидова пространства образуют бесконечномерную алгебру Витта.