Кіріспе
Евклидтік кеңістіктегі түрлендірулердің мағыналары арасындағы айырмашылық, грамматикадағы "пассивті түрлендіру" ұғымы. Геометриялық түрлендірулерді екі түрге бөлуге болады: белсенді немесе алиби түрлендірулер, олар белгілі бір координаттық жүйеге қатысты нүктелер жиынтығының физикалық орнын өзгертеді (алиби – "бір уақытта басқа жерде болу" мағынасын білдіреді); және пассивті немесе атаусыз түрлендірулер, олар нүктелерді өзгеріссіз қалдырады, бірақ олар сипатталатын координаттық жүйені өзгертеді (атаусыз – "басқа атаумен жүру" мағынасын білдіреді). Математиктер "түрлендіру" терминін әдетте белсенді түрлендірулерді білдіру үшін қолданады, ал физиктер мен инженерлер екі түрін де білдіруі мүмкін. Мысалы, белсенді түрлендірулер қатты дененің тізбектей орналасуын сипаттау үшін пайдалы. Ал пассивті түрлендірулер адам қозғалысын талдау кезінде, мысалы, тібік сүйектің сан сүйегіне қатысты қозғалысын бақылау үшін пайдалы болуы мүмкін, яғни оның (глобал) координаттық жүйесіне емес, сан сүйегімен бірге қозғалатын (локал) координаттық жүйесіне қатысты қозғалысын бақылауға болады.
the concept of "passive transformation" in grammar
Geometric transformations can be distinguished into two types: active or alibi transformations which change the physical position of a set of points relative to a fixed frame of reference or coordinate system (alibi meaning "being somewhere else at the same time"); and passive or alias transformations which leave points fixed but change the frame of reference or coordinate system relative to which they are described (alias meaning "going under a different name"). By transformation, mathematicians usually refer to active transformations, while physicists and engineers could mean either. For instance, active transformations are useful to describe successive positions of a rigid body. On the other hand, passive transformations may be useful in human motion analysis to observe the motion of the tibia relative to the femur, that is, its motion relative to a (local) coordinate system which moves together with the femur, rather than a (global) coordinate system which is fixed to the floor.
Мысал
Мысалы, вектор жазықтықтағы вектор болсын. Векторды θ бұрышына қарсы сағат тілі бағытында айналдыру келесі айналу матрицасымен беріледі:
Бұл матрицаны белсенді түрлендіру немесе пассивті түрлендіру ретінде қарастыруға болады (жоғарыдағы матрица кері қайтарылады), төменде сипатталғандай.
Евклидтік кеңістіктегі R3 кеңістіктік түрлендірулері
Жалпы алғанда, кеңістіктік түрлендіру аудармадан және сызықтық түрлендіруден құралуы мүмкін. Бұдан әрі аударма ескерілмейді, ал сызықтық түрлендіру 3×3 матрица арқылы көрсетіледі.
Белсенді түрлендіру
Белсенді түрлендіру бастапқы векторді жаңа векторға түрлендіреді. Егер жаңа негіз ретінде қараса, онда жаңа негіздегі жаңа вектордың координаттары бастапқы негіздегі координаттармен сәйкес келеді. Белсенді түрлендірулер басқа векторлық кеңістікке сызықтық түрлендіру ретінде де қолданылуы мүмкін. Жаңа векторды түпкі негізде жазу ғана трансформация кеңістіктің өзіне қатысты болғанда мағыналы.
If one views as a new basis, then the coordinates of the new vector in the new basis are the same as those of in the original basis. Note that active transformations make sense even as a linear transformation into a different vector space. It makes sense to write the new vector in the unprimed basis (as above) only when the transformation is from the space into itself.
Абстрактіл векторлық кеңістіктерде
Активті және пассивті түрлендірулердің айырмашылығын абстрактілі векторлық кеңістіктерді қарастыру арқылы математикалық тұрғыдан көруге болады. Белгілі бір өріс (немесе ) үстіндегі шекті өлшемді векторлық кеңістікті және осы кеңістіктің негізін қарастырайық. Бұл негіз компоненттік карта арқылы изоморфизмді қамтамасыз етеді.
An active transformation is then an endomorphism on , that is, a linear map from to itself. Taking such a transformation , a vector transforms as The components of with respect to the basis are defined via the equation Then, the components of transform as
A passive transformation is instead an endomorphism on This is applied to the components: Provided that is invertible, the new basis is determined by asking that , from which the expression can be derived. Although the spaces and are isomorphic, they are not canonically isomorphic. Nevertheless a choice of basis allows construction of an isomorphism.
Активті түрлендіру – бұл кеңістіктегі эндоморфизм, яғни, өзіне сызықтық бейнелеу. Мұндай түрлендіруді алсақ, вектор түрлендіру ретінде түрленеді. Вектордың негізге қатысты компоненттері теңдеу арқылы анықталады. Содан кейін, түрлендірудің компоненттері ретінде түрленеді.
An active transformation is then an endomorphism on , that is, a linear map from to itself. Taking such a transformation , a vector transforms as The components of with respect to the basis are defined via the equation Then, the components of transform as
A passive transformation is instead an endomorphism on This is applied to the components: Provided that is invertible, the new basis is determined by asking that , from which the expression can be derived. Although the spaces and are isomorphic, they are not canonically isomorphic. Nevertheless a choice of basis allows construction of an isomorphism.
Ал пассивті түрлендіру – бұл кеңістіктегі эндоморфизм. Ол компоненттерге қолданылады: егер матрица инверттік болса, жаңа негізді анықтау үшін , одан өрнегін алуға болады. Көрсетілген кеңістіктер изоморфты болғанымен, олар канондық изоморфты емес. Дегенмен, негізді таңдау изоморфизм құруға мүмкіндік береді.
An active transformation is then an endomorphism on , that is, a linear map from to itself. Taking such a transformation , a vector transforms as The components of with respect to the basis are defined via the equation Then, the components of transform as
A passive transformation is instead an endomorphism on This is applied to the components: Provided that is invertible, the new basis is determined by asking that , from which the expression can be derived. Although the spaces and are isomorphic, they are not canonically isomorphic. Nevertheless a choice of basis allows construction of an isomorphism.
Сол және оң жақтағы әрекеттер ретінде
Көбінесе карталар өкерулі болатын жағдаймен шектеледі, сондықтан белсенді түрлендірулер түрлендірулердің жалпы сызықтық тобы, ал пассивті түрлендірулер топ болып табылады. Түрлендірулерді негіздер кеңістігіне әсер ету ретінде қарастыруға болады. Белсенді түрлендіру негізді жібереді, ал пассивті түрлендіру негізді жібереді.
The transformations can then be understood as acting on the space of bases for An active transformation sends the basis Meanwhile a passive transformation sends the basis
Пассивті түрлендірудегі кері операция, түрлендірулердің екеуі де бірдей түрленуін қамтамасыз етеді. Осыдан белсенді және пассивті түрлендірулердің арасында нақты айырмашылық туындайды: белсенді түрлендірулер негіздерге сол жағынан әсер етеді, ал пассивті түрлендірулер кері операцияның нәтижесінде оң жағынан әсер етеді. Бұл байқау негіздерді изоморфизмнің таңдауы ретінде қарастыру арқылы табиғирақ болады. Негіздер кеңістігі изоморфизмдердің кеңістігімен эквивалентті, белгіленеді. Белсенді түрлендірулер, -мен сәйкестендірілген, композиция арқылы сол жағынан әсер етеді, ал пассивті түрлендірулер, -мен сәйкестендірілген, прекомпозиция арқылы оң жағынан әсер етеді. Бұл негіздер кеңістігін сол торсор және оң торсорға айналдырады. Физикалық тұрғыдан алғанда, белсенді түрлендірулер физикалық кеңістіктің түрлендірулері ретінде сипатталады, ал пассивті түрлендірулер физикалық кеңістікті сипаттаудағы артық ақпарат ретінде сипатталады. Бұл математикалық өлшегіш теориясында маңызды рөл атқарады, онда өлшегіш трансформациялары талшықтарда оң жақтан әрекет ететін ауысу карталары арқылы математикалық түрде сипатталады.