Введение
Различие между значениями преобразований евклидова пространства. Понятие "пассивного преобразования" в грамматике.
the concept of "passive transformation" in grammar
Геометрические преобразования можно разделить на два типа: активные, или преобразования "алиби", которые изменяют физическое положение набора точек относительно фиксированной системы отсчета или системы координат (термин "алиби" означает "находясь в другом месте в то же время"); и пассивные, или преобразования "псевдоним", которые оставляют точки неподвижными, но изменяют систему отсчета или систему координат, относительно которой они описываются (термин "псевдоним" означает "имеющие другое название"). Математики под преобразованием обычно подразумевают активные преобразования, в то время как физики и инженеры могут иметь в виду как активные, так и пассивные. Например, активные преобразования полезны для описания последовательных положений твердого тела. С другой стороны, пассивные преобразования могут быть полезны при анализе движений человека для наблюдения за движением большеберцовой кости относительно бедренной кости, то есть ее движением относительно (локальной) системы координат, которая перемещается вместе с бедренной костью, а не (глобальной) системы координат, закрепленной на полу.
Пример
В качестве примера, пусть вектор **v** будет вектором на плоскости. Поворот вектора на угол θ против часовой стрелки задается матрицей вращения:
которую можно рассматривать как активное преобразование или пассивное преобразование (в котором указанная выше матрица будет инвертирована), как описано ниже.
Пространственные преобразования в евклидовом пространстве R3
В общем случае, пространственное преобразование может состоять из сдвига и линейного преобразования. Далее, сдвиг опускается, а линейное преобразование представляется матрицей 3x3.
Активная трансформация
Как активное преобразование, преобразует исходный вектор в новый вектор. Если рассматривать как новый базис, то координаты нового вектора в новом базисе совпадают с координатами исходного вектора в старом базисе. Следует отметить, что активные преобразования осмысленны даже как линейные преобразования в другое векторное пространство. Записывать новый вектор в исходном базисе (как указано выше) имеет смысл только тогда, когда преобразование отображает пространство само на себя.
If one views as a new basis, then the coordinates of the new vector in the new basis are the same as those of in the original basis. Note that active transformations make sense even as a linear transformation into a different vector space. It makes sense to write the new vector in the unprimed basis (as above) only when the transformation is from the space into itself.
В абстрактных векторных пространствах
Различие между активными и пассивными преобразованиями можно увидеть математически, рассматривая абстрактные векторные пространства. Зафиксируем конечномерное векторное пространство над полем (рассматриваемым как ℝ или ℂ), и базис в этом пространстве. Этот базис обеспечивает изоморфизм посредством отображения компонент. Активное преобразование – это эндоморфизм на , то есть линейное отображение из в себя. Применяя такое преобразование , вектор преобразуется как . Компоненты вектора относительно базиса определяются уравнением . Тогда компоненты преобразуются как . Пассивное преобразование, напротив, является эндоморфизмом на . Оно применяется к компонентам: при условии, что обратимо, новый базис определяется из условия , откуда можно получить выражение . Хотя пространства и изоморфны, они не являются канонически изоморфными. Однако выбор базиса позволяет построить изоморфизм.
An active transformation is then an endomorphism on , that is, a linear map from to itself. Taking such a transformation , a vector transforms as The components of with respect to the basis are defined via the equation Then, the components of transform as
A passive transformation is instead an endomorphism on This is applied to the components: Provided that is invertible, the new basis is determined by asking that , from which the expression can be derived. Although the spaces and are isomorphic, they are not canonically isomorphic. Nevertheless a choice of basis allows construction of an isomorphism.
Как левые и правые действия
Часто рассматривают случай, когда отображения обратимы, так что активные преобразования являются общей линейной группой преобразований, а пассивные преобразования – группой. Тогда преобразования можно понимать как действующие на пространство базисов. Активное преобразование отображает базис , а пассивное преобразование отображает базис . Обратное преобразование в пассивном преобразовании обеспечивает одинаковое преобразование компонент при и . Это даёт чёткое различие между активными и пассивными преобразованиями: активные преобразования действуют слева на базисы, а пассивные – справа, из-за обратного преобразования. Это наблюдение становится более естественным, если рассматривать базисы как выбор изоморфизма. Пространство базисов эквивалентно пространству таких изоморфизмов, обозначаемому как . Активные преобразования, отождествляемые с , действуют на слева посредством композиции, а пассивные преобразования, отождествляемые с , действуют на справа посредством предкомпозиции. Это превращает пространство базисов в левый торсор и правый торсор. С физической точки зрения, активные преобразования можно характеризовать как преобразования физического пространства, а пассивные – как избыточность в описании физического пространства. Это играет важную роль в математической теории калибровки, где калибровочные преобразования математически описываются картами перехода, действующими справа на волокна.
The transformations can then be understood as acting on the space of bases for An active transformation sends the basis Meanwhile a passive transformation sends the basis
The inverse in the passive transformation ensures the components transform identically under and This then gives a sharp distinction between active and passive transformations: active transformations act from the left on bases, while the passive transformations act from the right, due to the inverse. This observation is made more natural by viewing bases as a choice of isomorphism The space of bases is equivalently the space of such isomorphisms, denoted Active transformations, identified with , act on from the left by composition, while passive transformations, identified with acts on from the right by pre composition. This turns the space of bases into a left torsor and a right torsor. From a physical perspective, active transformations can be characterized as transformations of physical space, while passive transformations are characterized as redundancies in the description of physical space. This plays an important role in mathematical gauge theory, where gauge transformations are described mathematically by transition maps which act from the right on fibers.