Кіріспе
Дөңгелек, сфера немесе гиперсферадағы диаметральды қарама-қарсы нүктелер жұбы. Математикада сфераның (немесе шеңберді қоса алғанда, n сфераның) екі нүктесі, егер олар диаметрдің ұштары болса, яғни сферадағы екі нүкте арасындағы түзу сызық сегменті оның ортасынан өтетін болса, антиподальды немесе диаметральды қарама-қарсы деп аталады. Сферадағы кез келген нүкте үшін, оның антиподальды нүктесі – ең үлкен қашықтықтағы бірегей нүкте болып табылады, бұл қашықтық сфераның бетіндегі үлкен шеңбер бойынша (ішкі өлшемде) немесе сфераның ішкі бөлігі арқылы хордалық қашықтық бойынша (сыртқы өлшемде) өлшенгеніне қарамастан. Сферадағы кез келген үлкен шеңбер белгілі бір нүктеден өтетін болса, ол оның антиподальды нүктесінен де өтеді, ал антиподальды нүктелер жұбынан өтетін үлкен шеңберлер саны шексіз көп (бұл антиподальды емес екі нүктеге қарағанда өзгеше, олар арқылы өтетін тек бір ғана үлкен шеңбер бар). Сфералық геометрияның көптеген нәтижелері антиподальды емес нүктелерді таңдауға байланысты және антиподальды нүктелерге рұқсат етілген жағдайда бұрмаланады; мысалы, сфералық үшбұрыш егер оның екі төбесі антиподальды болса, толық анықталмаған айға айналады. Белгілі бір нүктеге антиподальды нүкте оның антиподары деп аталады, грек тілінде ἀντίποδες (антиподалар) сөзі "қарсы аяқтар" дегенді білдіреді; қараңыз. Кейде "s" әрпі түсіріліп, антипода деп аталады, бұл кері жасалған сөз.
In mathematics, two points of a sphere (or n sphere, including a circle) are called antipodal or diametrically opposite if they are the endpoints of a diameter, a straight line segment between two points on a sphere and passing through its center. Given any point on a sphere, its antipodal point is the unique point at greatest distance, whether measured intrinsically (great circle distance on the surface of the sphere) or extrinsically (chordal distance through the sphere's interior). Every great circle on a sphere passing through a point also passes through its antipodal point, and there are infinitely many great circles passing through a pair of antipodal points (unlike the situation for any non antipodal pair of points, which have a unique great circle passing through both). Many results in spherical geometry depend on choosing non antipodal points, and degenerate if antipodal points are allowed; for example, a spherical triangle degenerates to an underspecified lune if two of the vertices are antipodal. The point antipodal to a given point is called its antipodes, from the Greek ἀντίποδες (antípodes) meaning "opposite feet"; see Sometimes the s is dropped, and this is rendered antipode, a back formation.
Жоғары математика
Антиподальдік нүктелер ұғымы кез келген өлшемдегі сфераларға жалпыланады: сферадағы екі нүкте ортасы арқылы қарама-қарсы жатса, олар антиподальды болып табылады. Ортасынан өтетін әрбір түзу сызық сфераны екі нүктеде қиып өтеді, орталықтан шығатын әрбір сәулеге бір нүктеден, ал осы екі нүкте антиподальды болады. Борсук-Улам теоремасы – осындай нүктелер жұптарымен айналысатын алгебралық топологияның бір нәтижесі. Ол былай дейді: кез келген үздіксіз функция -ден -ге, сферасындағы бір антиподальдік нүктелер жұбын -дегі бір нүктеге бейнелейді. Мұнда - бұл өлшемді сфера, ал - өлшемді нақты координаталық кеңістік. Антиподальдік бейнелеу сферадағы әрбір нүктені оның антиподальдік нүктесіне жібереді. Егер сферадағы нүктелер Евклид кеңістігінде сфера ортасынан басталатын орын ауыстыру векторлары ретінде көрсетілсе, онда екі антиподальдік нүктелер қосындыға кері векторлармен көрсетіледі, ал антиподальдік бейнелеуді былай анықтауға болады: . Антиподальдік бейнелеу тақ болғанда бағдарды сақтайды (толықсүйектемелік бейнелеуге гомотопты), ал жұп болғанда оны керітеді. Оның дәрежесі: .
Егер антиподальдік нүктелер біріктірілсе (эквивалентті деп есептелсе), сфера нақты проекциялық кеңістіктің моделіне айналады.