Введение
Пара диаметрально противоположных точек на окружности, сфере или гиперсфере. В математике две точки сферы (или n-сферы, включая окружность) называются антиподальными или диаметрально противоположными, если они являются концами диаметра – прямой линии, соединяющей две точки на сфере и проходящей через её центр. Для любой точки на сфере её антиподальная точка является единственной точкой, находящейся на максимальном расстоянии, независимо от того, измеряется ли это расстояние по поверхности сферы (расстояние по большому кругу) или через внутреннюю часть сферы (хордальное расстояние). Любой большой круг на сфере, проходящий через данную точку, также проходит через её антиподальную точку, и существует бесконечно много больших кругов, проходящих через пару антиподальных точек (в отличие от ситуации с любой неантиподальной парой точек, для которых существует единственный большой круг, проходящий через обе). Многие результаты в сферической геометрии зависят от выбора неантиподальных точек и становятся вырожденными, если допускаются антиподальные точки; например, сферический треугольник вырождается в неопределённый лунный сегмент, если две его вершины являются антиподальными. Точка, антиподальная данной точке, называется её антиподом, от греческого ἀντίποδες (antípodes), что означает «противоположные ноги»; см. Иногда окончание «s» опускается, и используется форма «антипод», являющаяся обратным образованием.
In mathematics, two points of a sphere (or n sphere, including a circle) are called antipodal or diametrically opposite if they are the endpoints of a diameter, a straight line segment between two points on a sphere and passing through its center. Given any point on a sphere, its antipodal point is the unique point at greatest distance, whether measured intrinsically (great circle distance on the surface of the sphere) or extrinsically (chordal distance through the sphere's interior). Every great circle on a sphere passing through a point also passes through its antipodal point, and there are infinitely many great circles passing through a pair of antipodal points (unlike the situation for any non antipodal pair of points, which have a unique great circle passing through both). Many results in spherical geometry depend on choosing non antipodal points, and degenerate if antipodal points are allowed; for example, a spherical triangle degenerates to an underspecified lune if two of the vertices are antipodal. The point antipodal to a given point is called its antipodes, from the Greek ἀντίποδες (antípodes) meaning "opposite feet"; see Sometimes the s is dropped, and this is rendered antipode, a back formation.
Высшая математика
Понятие антиподальных точек обобщается на сферы любой размерности: две точки на сфере называются антиподальными, если они лежат на прямой, проходящей через центр сферы. Каждая прямая, проходящая через центр, пересекает сферу в двух точках, по одной для каждого луча, исходящего из центра, и эти две точки являются антиподальными. Теорема Борсука — Улама — это результат из алгебраической топологии, изучающий такие пары точек. Она утверждает, что любое непрерывное отображение из в отображает некоторую пару антиподальных точек из в одну и ту же точку в Здесь обозначает -мерную сферу, а — -мерное вещественное координатное пространство. Антиподальное отображение переводит каждую точку на сфере в антиподальную ей точку. Если точки на сфере представлены как векторы смещения от центра сферы в евклидовом -мерном пространстве, то две антиподальные точки представляются противоположными по знаку векторами и , а антиподальное отображение можно определить как Антиподальное отображение сохраняет ориентацию (гомотопно тождественному отображению), когда нечетно, и меняет её на противоположную, когда четно. Его степень равна .
Если отождествить антиподальные точки (считать их эквивалентными), сфера становится моделью вещественного проективного пространства.