Введение

Теорема в топологии

Теорема Брауэра о фиксированной точке — это теорема о фиксированной точке в топологии, названная в честь Л. Э. Дж. (Бертуса) Брауэра. Она утверждает, что для любой непрерывной функции, отображающей непустое компактное выпуклое множество в себя, существует точка такая, что . Наиболее простые формы теоремы Брауэра относятся к непрерывным функциям из замкнутого интервала в действительных числах в себя или из замкнутого диска в себя. Более общая форма, чем последняя, относится к непрерывным функциям из непустого выпуклого компактного подмножества евклидова пространства в себя. Среди сотен теорем о фиксированной точке теорема Брауэра особенно хорошо известна, отчасти благодаря её использованию в многочисленных областях математики. В своей первоначальной области этот результат является одной из ключевых теорем, характеризующих топологию евклидовых пространств, наряду с теоремой о кривой Жордана, теоремой о волосатом шаре, инвариантностью размерности и теоремой Борсука — Улама. Это обеспечивает ей место среди фундаментальных теорем топологии. Теорема также используется для доказательства глубоких результатов о дифференциальных уравнениях и рассматривается в большинстве вводных курсов по дифференциальной геометрии. Она встречается в неожиданных областях, таких как теория игр. В экономике теорема Брауэра о фиксированной точке и её обобщение, теорема Какутани о фиксированной точке, играют центральную роль в доказательстве существования общего равновесия в рыночной экономике, разработанном в 1950-х годах лауреатами Нобелевской премии по экономике Кеннетом Эрроу и Жераром Дебрё. Теорема впервые изучалась в связи с работами по дифференциальным уравнениям французскими математиками, такими как Анри Пуанкаре и Шарль Эмиль Пикар. Доказательство таких результатов, как теорема Пуанкаре — Бендиксона, требует использования топологических методов. Эта работа конца XIX века привела к нескольким последовательным версиям теоремы. Случай дифференцируемых отображений n-мерного замкнутого шара был впервые доказан Жаком Адамаром в 1910 году, а общий случай для непрерывных отображений — Брауэром в 1911 году.

Значение предварительных условий

Теорема справедлива только для функций, являющихся эндоморфизмами (функций, имеющих одно и то же множество в качестве области определения и области значений) и для непустых множеств, которые компактны (следовательно, в частности, ограничены и замкнуты) и выпуклы (или гомеоморфны выпуклым). Следующие примеры демонстрируют важность предварительных условий.

Выпуклость

Выпуклость не является строго необходимой для теоремы Брауэра о неподвижной точке. Поскольку свойства, задействованные в теореме (непрерывность, наличие неподвижной точки), инвариантны относительно гомеоморфизмов, теорема Брауэра о неподвижной точке эквивалентна формулировкам, в которых область определения требуется быть замкнутым единичным шаром. По той же причине она справедлива для любого множества, гомеоморфного замкнутому шару (и, следовательно, также замкнутого, ограниченного, связного, без отверстий и т. д.). Следующий пример показывает, что теорема Брауэра о неподвижной точке не работает для областей с отверстиями. Рассмотрим функцию , которая является непрерывной функцией с единичной окружности на саму себя. Поскольку x≠x для любой точки единичной окружности, функция f не имеет неподвижной точки. Аналогичный пример работает для n-мерной сферы (или любой симметричной области, не содержащей начало координат). Единичная окружность замкнута и ограничена, но имеет отверстие (и поэтому не является выпуклой). Функция f имеет неподвижную точку для единичного диска, поскольку она отображает начало координат в себя. Формальное обобщение теоремы Брауэра о неподвижной точке для областей "без отверстий" можно получить из теоремы Лефшеца о неподвижной точке.

Иллюстрации

Теорема имеет несколько иллюстраций из реальной жизни. Вот некоторые примеры. Возьмите два листа графической бумаги одинакового размера с системами координат, положите один ровно на стол, а другой сожмите (не разрывая и не рвя) и поместите поверх первого любым образом, так чтобы скомканная бумага не выходила за границы плоского листа. Тогда найдется как минимум одна точка на скомканном листе, которая окажется точно над соответствующей точкой (то есть точкой с теми же координатами) на плоском листе. Это следствие частного случая n = 2 теоремы Брауэра, примененного к непрерывному отображению, которое сопоставляет координатам каждой точки скомканного листа координаты точки плоского листа, находящейся непосредственно под ней. Возьмите обычную карту страны и представьте, что она лежит на столе внутри этой страны. На карте всегда найдется точка "Вы здесь", которая соответствует той же точке на местности. В трех измерениях следствием теоремы о неподвижной точке Брауэра является то, что, как бы сильно вы ни перемешивали вкусный коктейль в стакане (или представляли себе молочный коктейль), когда жидкость успокоится, какая-то точка в жидкости окажется точно в том же месте в стакане, что и до начала перемешивания, при условии, что конечное положение каждой точки является непрерывной функцией ее начального положения, что жидкость после перемешивания остается в пределах первоначального объема, и что стакан (и поверхность жидкости) сохраняют выпуклую форму. Заказ коктейля, который взбалтывают, а не перемешивают, нарушает условие выпуклости ("взбалтывание" определяется как динамическая последовательность невыпуклых инерционных состояний удержания в свободном пространстве под крышкой). В этом случае теорема неприменима, и, следовательно, все точки жидкости потенциально могут сместиться из своего первоначального положения.

Объяснения, приписываемые Брауеру

Предполагается, что теорема возникла из наблюдения Брауэра за чашкой изысканного кофе. Если помешивать, чтобы растворить кусочек сахара, кажется, что всегда есть точка, не подверженная движению. Он пришел к выводу, что в любой момент времени на поверхности существует точка, которая не движется. Фиксированная точка не обязательно является той, которая кажется неподвижной, поскольку центр турбулентности немного смещается. Результат не является интуитивно очевидным, так как исходная фиксированная точка может начать двигаться, когда появляется другая фиксированная точка. Брауэр, как говорят, добавил: "Я могу сформулировать этот замечательный результат иначе: я беру горизонтальный лист и другой идентичный, который я комкаю, разглаживаю и кладу на первый. Тогда точка на скомканном листе оказывается в том же месте, что и на другом листе". Позже это было доказано Л. Э. Брауэром в 1909 году. Жак Адамар доказал общий случай в 1910 году.

До открытия

В конце 19 века старая проблема стабильности Солнечной системы вновь привлекла внимание математического сообщества. Для её решения требовались новые методы. Как отметил Анри Пуанкаре, работавший над задачей трёх тел, надежды найти точное решение нет: «Ничто не даёт более ясного представления о сложности задачи трёх тел и, в целом, всех задач динамики, где нет единообразного интеграла и ряды Больна расходятся». Он также заметил, что поиск приближённого решения не более эффективен: «Чем точнее мы стремимся получить приближения, тем сильнее результат будет отклоняться, уходя в растущую неточность». Он изучал вопрос, аналогичный движению поверхности в чашке кофе. Что можно сказать, в общем, о траекториях на поверхности, подверженной постоянному течению? Пуанкаре обнаружил, что ответ кроется в том, что мы теперь называем топологическими свойствами области, содержащей траекторию. Если эта область компактна, то есть замкнута и ограничена, то траектория либо становится стационарной, либо приближается к предельному циклу. Пуанкаре пошёл дальше: если область имеет форму диска, как в случае с чашкой кофе, то в ней обязательно должна быть фиксированная точка. Эта фиксированная точка инвариантна относительно всех функций, которые сопоставляют каждой точке исходной поверхности её положение через короткий промежуток времени t. Если же область представляет собой кольцевую полосу или не является замкнутой, то это не обязательно так. Для лучшего понимания дифференциальных уравнений возникла новая ветвь математики. Пуанкаре назвал её анализом ситуса. Французская энциклопедия «Универсалис» определяет её как раздел, который «изучает свойства объекта, остающиеся неизменными при любом непрерывном его деформировании без разрывов». В 1886 году Пуанкаре доказал результат, эквивалентный теореме о фиксированной точке Брауэра, хотя связь с темой данной статьи ещё не была очевидна. Вскоре после этого он разработал один из фундаментальных инструментов для лучшего понимания анализа ситуса, ныне известный как фундаментальная группа или иногда группа Пуанкаре. Этот метод можно использовать для очень компактного доказательства рассматриваемой теоремы. Метод Пуанкаре был аналогичен методу Эмиля Пикара, современника, обобщившего теорему Коши — Липшица. Подход Пикара основан на результате, который позднее был формализован другой теоремой о фиксированной точке, названной в честь Банаха. Вместо топологических свойств области, эта теорема использует тот факт, что рассматриваемая функция является сжатием.

Первые доказательства

На заре 20-го века интерес к анализу situs не остался незамеченным. Однако необходимость теоремы, эквивалентной той, которая обсуждается в этой статье, еще не была очевидна. Пирс Боль, латвийский математик, применил топологические методы к изучению дифференциальных уравнений. В 1904 году он доказал трехмерный случай нашей теоремы.

Именно Брауэр, наконец, придал теореме первый вес и признание. Его цели отличались от целей Пуанкаре. Этот математик был вдохновлен основами математики, особенно математической логикой и топологией. Его первоначальный интерес был связан с попыткой решить пятую проблему Гильберта. В 1909 году, во время поездки в Париж, он встретил Анри Пуанкаре, Жака Адамара и Эмиля Бореля. Последовавшие дискуссии убедили Брауэра в важности более глубокого понимания евклидовых пространств и стали источником плодотворного обмена письмами с Адамаром. В течение следующих четырех лет он сосредоточился на доказательстве ряда важных теорем по этому вопросу. В 1912 году он доказал теорему о волосатом шаре для двумерной сферы, а также тот факт, что любое непрерывное отображение двумерного шара на себя имеет неподвижную точку. Сами по себе эти два результата не были принципиально новыми. Как заметил Адамар, Пуанкаре показал теорему, эквивалентную теореме о волосатом шаре. Революционным аспектом подхода Брауэра было его систематическое использование недавно разработанных инструментов, таких как гомотопия – концептуальной основы группы Пуанкаре. В следующем году Адамар обобщил рассматриваемую теорему на произвольную конечную размерность, но использовал другие методы. Ханс Фрейденталь комментирует их роли следующим образом: «По сравнению с революционными методами Брауэра, методы Адамара были весьма традиционными, но участие Адамара в становлении идей Брауэра скорее напоминает роль акушерки, чем простого наблюдателя». Подход Брауэра принес свои плоды, и в 1910 году он также нашел доказательство, справедливое для любой конечной размерности. В контексте этой работы Брауэр также обобщил теорему Жордана о кривой на произвольную размерность и установил свойства, связанные со степенью непрерывного отображения. Эта область математики, первоначально задуманная Пуанкаре и развитая Брауэром, со временем изменила свое название. В 1930-х годах анализ situs стал алгебраической топологией.

Прием

Теорема доказала свою состоятельность не одним способом. В течение 20-го века было разработано множество теорем о неподвижной точке, и даже сформировалась область математики, называемая теорией неподвижной точки. Теорема Брауэра, вероятно, является наиболее важной из них. Она также входит в число основополагающих теорем топологии топологических многообразий и часто используется для доказательства других важных результатов, таких как теорема Жордана о кривой. Помимо теорем о неподвижной точке для более или менее сжимающих функций, существует множество других, которые возникли прямо или косвенно из рассматриваемого результата. Непрерывное отображение из замкнутого шара евклидова пространства на его границу не может быть тождественным отображением на границе. Аналогично, теорема Борсука — Улама утверждает, что непрерывное отображение из n-мерной сферы в Rn имеет пару антиподальных точек, которые отображаются в одну и ту же точку. В конечномерном случае теорема Лефшеца о неподвижной точке, начиная с 1926 года, предоставила метод для подсчета неподвижных точек. В 1930 году теорема Брауэра о неподвижной точке была обобщена на пространства Банаха. Это обобщение известно как теорема Шаудера о неподвижной точке, результат, который С. Какутани дополнительно обобщил для функций, задающих множества. Теорему и ее варианты можно встретить и за пределами топологии. Ее можно использовать для доказательства теоремы Хартмана — Гробмана, которая описывает качественное поведение определенных дифференциальных уравнений вблизи определенных точек равновесия. Аналогично, теорема Брауэра используется при доказательстве центральной предельной теоремы. Теорему также можно найти в доказательствах существования решений некоторых частных дифференциальных уравнений. Затронуты и другие области. В теории игр Джон Нэш использовал теорему для доказательства того, что в игре «Хекс» существует выигрышная стратегия для белых. В экономике П. Биш объясняет, что некоторые обобщения теоремы показывают, что ее применение полезно для решения определенных классических задач теории игр и, в целом, для равновесий (закон Оттеллинга), финансового равновесия и неполных рынков. Известность Брауэра обусловлена не только его топологическими работами. Доказательства его великих топологических теорем не являются конструктивными, и неудовлетворенность Брауэра этим отчасти привела его к формулировке идеи конструктивизма. Он стал основателем и ревностным защитником метода формализации математики, известного как интуиционизм, который в то время выступал против теории множеств. Брауэр отказался от своего первоначального доказательства теоремы о неподвижной точке.

Доказательство теоремы о волосатом шаре

Теорема о волосатом шаре утверждает, что на единичной сфере S в нечетномерном евклидовом пространстве не существует нигде не исчезающего непрерывного тангентного векторного поля w на S. (Условие касательности означает, что w(x) ⋅ x = 0 для каждого единичного вектора x.) Иногда теорему формулируют как утверждение о том, что "на глобусе всегда найдется место, где нет ветра". Элементарное доказательство теоремы о волосатом шаре можно найти в. Фактически, предположим сначала, что w непрерывно дифференцируема. В силу масштабирования можно считать, что w — непрерывно дифференцируемый единичный тангентный вектор на S. Его можно радиально расширить на небольшую сферическую оболочку A сферы S. При достаточно малом t обычное вычисление показывает, что отображение ft(x) = x + t w(x) является сжимающим отображением на A, а объем его образа — многочлен от t. С другой стороны, как сжимающее отображение, ft должно переходить в гомеоморфизм S на (1 + t²)½ S и A на (1 + t²)½ A. Это приводит к противоречию, поскольку, если размерность n евклидова пространства нечетна, то (1 + t²)n/2 не является многочленом. Если w — лишь непрерывный единичный тангентный вектор на S, то по теореме Вейерштрасса об аппроксимации его можно равномерно аппроксимировать полиномиальным отображением u из A в евклидово пространство. Ортогональная проекция на тангентное пространство задается выражением v(x) = u(x) - u(x) ⋅ x / ||u(x) ⋅ x||². Таким образом, v — многочлен и нигде не обращается в нуль на A; по построению v/||v|| — гладкое единичное тангентное векторное поле на S, что является противоречием. Непрерывную версию теоремы о волосатом шаре теперь можно использовать для доказательства теоремы о неподвижной точке Брауэра. Сначала предположим, что n четно. Если бы существовало непрерывное самоотображение f замкнутого единичного шара B n-мерного евклидова пространства V без неподвижных точек, то, поскольку f не имеет неподвижных точек, следует, что для x во внутренней области B вектор w(x) отличен от нуля; а для x на S скалярное произведение x ⋅ w(x) = 1 – x ⋅ f(x) строго положительно. Из исходного n-мерного евклидова пространства V построим новое вспомогательное (n + 1)-мерное пространство W = V × R с координатами y = (x, t). По построению X является непрерывным векторным полем на единичной сфере W, удовлетворяющим условию касательности y ⋅ X(y) = 0. Более того, X(y) нигде не обращается в нуль (потому что, если ||y|| = 1, то x ⋅ w(x) не равен нулю; а если ||x|| < 1, то t и w(x) оба отличны от нуля). Это противоречие доказывает теорему о неподвижной точке при четном n. При нечетном n можно применить теорему о неподвижной точке к замкнутому единичному шару B в (n + 1) измерениях и отображению F(x, y) = (f(x), 0). Преимущество этого доказательства заключается в том, что в нем используются только элементарные методы; более общие результаты, такие как теорема Борсука — Улама, требуют инструментов алгебраической топологии.

Доказательство с использованием гомологии или кохомологии

В доказательстве используется наблюдение, что граница n-мерного диска Dn является Sn−1, (n − 1)-мерной сферой. Предположим для противоречия, что непрерывная функция f : Dn → Dn не имеет неподвижных точек. Это означает, что для каждой точки x в Dn точки x и f(x) различны. Поскольку они различны, для каждой точки x в Dn можно построить единственный луч, идущий от f(x) к x, и следовать по этому лучу, пока он не пересечет границу Sn−1 (см. иллюстрацию). Обозначив эту точку пересечения F(x), мы определяем функцию F : Dn → Sn−1, которая отображает каждую точку в диске в соответствующую точку пересечения на границе. В частности, если x сама находится на границе, то точка пересечения F(x) должна совпадать с x.

Следовательно, F является специальным типом непрерывной функции, известной как ретракция: каждая точка кообласти (в данном случае Sn−1) является неподвижной точкой F.

Интуитивно кажется маловероятным, что может существовать ретракция Dn на Sn−1, и в случае n = 1 невозможность более очевидна, поскольку S0 (то есть концы замкнутого интервала D1) даже не связны. Случай n = 2 менее очевиден, но может быть доказан с использованием основных аргументов, связанных с фундаментальными группами соответствующих пространств: ретракция индуцировала бы сюръективный групповой гомоморфизм из фундаментальной группы D2 в фундаментальную группу S1, но последняя группа изоморфна Z, а первая группа тривиальна, поэтому это невозможно. Случай n = 2 также может быть доказан от противного, опираясь на теорему о ненулевых векторных полях. Однако для n > 2 доказать невозможность ретракции сложнее. Один из способов — использовать группы гомологии: гомология Hn−1(Dn) тривиальна, в то время как Hn−1(Sn−1) бесконечно циклична. Это показывает, что ретракция невозможна, поскольку она снова индуцировала бы инъективный групповой гомоморфизм из последней в первую группу. Невозможность ретракции также можно показать, используя кохомологию де Рама открытых подмножеств евклидова пространства En. Для n ≥ 2 кохомология де Рама U = En – {0} одномерна в степенях 0 и n−1 и равна нулю в остальных степенях. Если бы ретракция существовала, то U должно было бы быть стягиваемым, а его кохомология де Рама в степени n−1 должна была бы быть равна нулю, что является противоречием.

Доказательство теоремы Стоукса

Как и в доказательстве теоремы о неподвижной точке Брауэра для непрерывных отображений с использованием гомологии, задача сводится к доказательству отсутствия непрерывного отступления F с шара B на его границу ∂B. В этом случае можно предположить, что F гладкая, поскольку её можно приблизить с помощью теоремы Вейерштрасса об аппроксимации или посредством свёртки с неотрицательными гладкими функциями с компактным носителем достаточно малого размера и интегралом, равным единице (то есть, посредством сглаживания). Если ω — объёмная форма на границе, то по теореме Стокса,

что приводит к противоречию. В более общем случае, это показывает, что не существует гладкого отступления с любого непустого гладкого ориентированного компактного многообразия M на его границу. Доказательство с использованием теоремы Стокса тесно связано с доказательством с использованием гомологии, поскольку форма ω порождает группу когомологий де Рама Hn-1(∂M), которая, по теореме де Рама, изоморфна группе гомологии Hn-1(∂M).

Доказательство Хирша

Существует также быстрое доказательство Морриса Хирша, основанное на невозможности дифференцируемого отступления. Косвенное доказательство начинается с замечания о том, что отображение f можно приблизить гладким отображением, сохраняющим свойство не иметь неподвижных точек; это можно сделать, используя теорему о приближении Вейерштрасса или свертку с гладкими функциями сглаживания. Затем определяется отступление, как описано выше, которое теперь должно быть дифференцируемым. Согласно теореме Сарда, такое отступление должно иметь невырожденную точку, которая также невырождена при ограничении на границу (которая является просто тождественным отображением). Таким образом, прообраз будет одномерным многообразием с границей. Граница должна содержать как минимум две конечные точки, обе из которых должны лежать на границе исходного шара, что невозможно для отступления. Р. Брюс Келлог, Тьен Иен Ли и Джеймс А. Йорк преобразовали доказательство Хирша в вычислимое доказательство, заметив, что отступление фактически определено всюду, кроме неподвижных точек. Для почти любой точки q на границе (если она не является неподвижной точкой) существует вышеупомянутое одномерное многообразие с границей, и единственная возможность заключается в том, что оно ведет из q в неподвижную точку. Проследить такой путь от q к неподвижной точке – простая вычислительная задача, поэтому метод по существу вычислим. Была предложена концептуально схожая версия доказательства гомотопии, основанная на прослеживании путей, которая применима к широкому кругу связанных задач.

Доказательство с использованием ориентированной области

Вариант предыдущего доказательства не использует теорему Сарда и выглядит следующим образом. Если – гладкое втягивание, то рассматривается гладкая деформация и гладкая функция .

Дифференцируя под знаком интеграла, несложно проверить, что (t) = 0 для всех t, следовательно, φ – постоянная функция, что является противоречием, поскольку φ(0) – это n-мерный объем шара, а φ(1) равен нулю. Геометрическая идея заключается в том, что φ(t) – ориентированная площадь gt(B) (то есть, мера Лебега образа шара при отображении gt, с учетом кратности и ориентации), и должна оставаться постоянной (что особенно очевидно в одномерном случае). С другой стороны, когда параметр t изменяется от 0 до 1, отображение gt непрерывно переходит от тождественного отображения шара к втягиванию r, что является противоречием, поскольку ориентированная площадь тождественного отображения совпадает с объемом шара, а ориентированная площадь r обязательно равна 0, так как его образ – граница шара, множество меры нуль.

Доказательство с помощью игры Hex

Довольно иное доказательство, предложенное Дэвидом Гейлом, основано на игре в "Хекс". Основная теорема, касающаяся "Хекса", впервые доказанная Джоном Нэшем, утверждает, что ни одна игра в "Хекс" не может закончиться вничью; первый игрок всегда имеет выигрышную стратегию (хотя эта теорема не является конструктивной, и явные стратегии не были полностью разработаны для досок размером 10 x 10 и больше). Это оказывается эквивалентно теореме Брауэра о неподвижной точке в двумерном пространстве. Рассматривая n-мерные варианты "Хекса", можно доказать, что теорема Брауэра эквивалентна теореме о детерминированности для "Хекса".

Доказательство в слабой логической системе

В обратной математике теорема Брауэра может быть доказана в системе WKL0, и, наоборот, над базовой системой RCA0 теорема Брауэра для квадрата влечёт за собой слабое лемма Кёнига, что даёт точное описание силы теоремы Брауэра.

Обобщения

Теорема о фиксированной точке Брауэра является отправной точкой для ряда более общих теорем о фиксированных точках. Прямое обобщение на бесконечномерные пространства, то есть использование единичного шара произвольного пространства Гильберта вместо евклидова пространства, неверно. Основная проблема заключается в том, что единичные шары бесконечномерных пространств Гильберта не компактны. Например, в пространстве Гильберта ℓ2 квадратных суммируемых вещественных (или комплексных) последовательностей, рассмотрим отображение f : ℓ2 → ℓ2, которое переводит последовательность (xn) из замкнутого единичного шара ℓ2 в последовательность (yn), определяемую по формуле

Нетрудно проверить, что это отображение непрерывно, его образ лежит на единичной сфере ℓ2, но оно не имеет фиксированной точки. Поэтому обобщения теоремы о фиксированной точке Брауэра для бесконечномерных пространств всегда включают в себя некоторое предположение о компактности, а также часто предположение о выпуклости. Подробное обсуждение этих теорем можно найти в разделе «Теоремы о фиксированных точках в бесконечномерных пространствах». Существует также конечномерное обобщение для более широкого класса пространств: если является произведением конечного числа цепных континуумов, то любая непрерывная функция имеет фиксированную точку, где цепной континуум — это (обычно, но в данном случае не обязательно метрическое) компактное пространство Хаусдорфа, каждое открытое покрытие которого имеет конечное открытое уточнение, такое что если и только если Примеры цепных континуумов включают компактные связные линейно упорядоченные пространства и, в частности, замкнутые интервалы действительных чисел. Теорема о фиксированной точке Какутани обобщает теорему о фиксированной точке Брауэра в другом направлении: она остаётся в Rn, но рассматривает верхнеполунепрерывные функции, отображающие в множества (функции, которые каждой точке множества сопоставляют подмножество этого множества). Она также требует компактности и выпуклости множества. Теорема о фиксированной точке Лефшеца применима к (почти) произвольным компактным топологическим пространствам и предоставляет условие в терминах сингулярной гомологии, гарантирующее существование фиксированных точек; это условие тривиально выполняется для любого отображения в случае Dn.